2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.1.1 椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.1.1 椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 11.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:15:55 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握椭圆的定义、标准方程；
2. 通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
二、教学重难点
1. 教学重点
椭圆的标准方程，坐标法的基本思想.
2. 教学难点
椭圆标准方程的推导与化简.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
（二）探索新知
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆定义：把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆.
椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为.根据椭圆的定义，设点M与焦点的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集.
因为，
所以.①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，
得.②
对方程②两边平方，得.
整理，得.③
对方程③两边平方，得.
整理，得.④
将方程④两边同除以，得.⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以.
思考：观察下图，找出表示的线段.
由图可知，.令，那么方程⑤就是.⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里.
思考：如图，如果焦点在y轴上，且的坐标分别为，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
（学生分小组讨论，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，，所以.
所以.
所以，所求椭圆的标准方程为.
例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为.由点M是线段PD的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把代入方程①，得，即.
所以点M的轨迹是椭圆.
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点M的坐标中与之间的关系，然后消去，得到点M的轨迹方程.
例3 如图，设A，B两点的坐标分别为.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线AM的斜率.
同理，直线BM的斜率.
由已知，有，
化简，得点M的轨迹方程为.
点M的轨迹是除去两点的椭圆.
（三）课堂练习
1.若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：B
解析：依题意，得，则.故选B.
2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入，得，则所求椭圆的方程为.故选B.
3.若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为________，焦点坐标为________.
答案：9；
解析：若，则，得(舍去)；若，则，解得或1(舍去)，所以，所以焦点坐标为.
4.设分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是_________.
答案：或
解析：根据题意，设点的坐标为，点的坐标为.易得，..点都在椭圆上，，解得，故点的坐标为或.
5.设椭圆的焦点为，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求的值.
答案：（1）由题意得，，且，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）因为点满足，所以，
即，①
又点在椭圆上，所以，②
联立①②，得，所以.
（四）小结作业
小结：
1. 椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为；
（2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为.
这里.
作业：
四、板书设计
3.1.1 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程.
2
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握椭圆的定义、标准方程；
2. 通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
二、教学重难点
1. 教学重点
椭圆的标准方程，坐标法的基本思想.
2. 教学难点
椭圆标准方程的推导与化简.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
（二）探索新知
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆定义：把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆.
椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为.根据椭圆的定义，设点M与焦点的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集.
因为，
所以.①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，
得.②
对方程②两边平方，得.
整理，得.③
对方程③两边平方，得.
整理，得.④
将方程④两边同除以，得.⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以.
思考：观察下图，找出表示的线段.
由图可知，.令，那么方程⑤就是.⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里.
思考：如图，如果焦点在y轴上，且的坐标分别为，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
（学生分小组讨论，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，，所以.
所以.
所以，所求椭圆的标准方程为.
例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为.由点M是线段PD的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把代入方程①，得，即.
所以点M的轨迹是椭圆.
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点M的坐标中与之间的关系，然后消去，得到点M的轨迹方程.
例3 如图，设A，B两点的坐标分别为.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线AM的斜率.
同理，直线BM的斜率.
由已知，有，
化简，得点M的轨迹方程为.
点M的轨迹是除去两点的椭圆.
（三）课堂练习
1.若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：B
解析：依题意，得，则.故选B.
2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入，得，则所求椭圆的方程为.故选B.
3.若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为________，焦点坐标为________.
答案：9；
解析：若，则，得(舍去)；若，则，解得或1(舍去)，所以，所以焦点坐标为.
4.设分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是_________.
答案：或
解析：根据题意，设点的坐标为，点的坐标为.易得，..点都在椭圆上，，解得，故点的坐标为或.
5.设椭圆的焦点为，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求的值.
答案：（1）由题意得，，且，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）因为点满足，所以，
即，①
又点在椭圆上，所以，②
联立①②，得，所以.
（四）小结作业
小结：
1. 椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为；
（2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为.
这里.
作业：
四、板书设计
3.1.1 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程.
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