2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.2.2 双曲线的简单几何性质
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.2.2 双曲线的简单几何性质 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 15.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:13:57 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1. 理解双曲线的简单几何性质；
2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
双曲线的几何性质.
2. 教学难点
双曲线几何性质的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？
答：范围、对称性、顶点、离心率.
类比椭圆的几何性质，来研究双曲线的几何性质.
（二）探索新知
1. 范围
如图，双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
下面利用双曲线的方程求出它的范围.
由方程可得，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.
所以，或；.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
2. 对称性
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3. 顶点
在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4. 渐近线
实际上，经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5. 离心率
双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程.
由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是；离心率；渐近线方程为.
例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图（1））.它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且.
设双曲线的方程为，点C的坐标为，则点B的坐标为.
因为直径是实轴，所以. 又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程②，得（负值舍去）.代入方程①，得.
化简得.③
解方程③，得（负值舍去）.
因此所求双曲线的方程为.
例3 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
例4 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为.
因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，所以直线AB的方程为.①
由消去y，得.
解方程，得.
将的值分别代入①，得.
于是，A，B两点的坐标分别为.
所以.
（三）课堂练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于( )
A. B. C.4 D.
答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.故选A.
2.若实数满足，则曲线与曲线的( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
答案：A
解析：因为，所以方程与均表示焦点在轴上的双曲线.双曲线中，实轴长为10，虚轴长为，焦距为；双曲线中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为.因此两曲线的焦距相等，故选A.
3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为.由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为.故选D.
4.设分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线左支于两点，且，则双曲线的离心率为____________.
答案：
解析：结合双曲线的定义，得，又，所以，即.又，故为直角，所以，则，所以双曲线的离心率为.
5.已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
答案：（1）由双曲线方程得焦点坐标分别为，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，
则.
（四）小结作业
小结：
双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
作业：
四、板书设计
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1. 范围
2. 对称性
3. 顶点
4. 渐近线
5. 离心率
6.
2
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1. 理解双曲线的简单几何性质；
2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
双曲线的几何性质.
2. 教学难点
双曲线几何性质的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？
答：范围、对称性、顶点、离心率.
类比椭圆的几何性质，来研究双曲线的几何性质.
（二）探索新知
1. 范围
如图，双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
下面利用双曲线的方程求出它的范围.
由方程可得，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.
所以，或；.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
2. 对称性
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3. 顶点
在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4. 渐近线
实际上，经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5. 离心率
双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程.
由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是；离心率；渐近线方程为.
例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图（1））.它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且.
设双曲线的方程为，点C的坐标为，则点B的坐标为.
因为直径是实轴，所以. 又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程②，得（负值舍去）.代入方程①，得.
化简得.③
解方程③，得（负值舍去）.
因此所求双曲线的方程为.
例3 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
例4 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为.
因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，所以直线AB的方程为.①
由消去y，得.
解方程，得.
将的值分别代入①，得.
于是，A，B两点的坐标分别为.
所以.
（三）课堂练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于( )
A. B. C.4 D.
答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.故选A.
2.若实数满足，则曲线与曲线的( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
答案：A
解析：因为，所以方程与均表示焦点在轴上的双曲线.双曲线中，实轴长为10，虚轴长为，焦距为；双曲线中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为.因此两曲线的焦距相等，故选A.
3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为.由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为.故选D.
4.设分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线左支于两点，且，则双曲线的离心率为____________.
答案：
解析：结合双曲线的定义，得，又，所以，即.又，故为直角，所以，则，所以双曲线的离心率为.
5.已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
答案：（1）由双曲线方程得焦点坐标分别为，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，
则.
（四）小结作业
小结：
双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
作业：
四、板书设计
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1. 范围
2. 对称性
3. 顶点
4. 渐近线
5. 离心率
6.
2