2022年九年级上册《旋转》专项练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年九年级上册《旋转》专项练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 22:06:09 | ||
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文档简介
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2022年九年级上册《旋转》专项练习
1．（2022 渝北区自主招生）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春 胶州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）
3．（2022春 萧山区期中）点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
4．（2021 贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
5．（2022春 锦江区校级期中）如图，△AOB中，∠B＝25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
6．（2022春 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋 江汉区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2021秋 天门期中）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°，将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．88°
9．（2021秋 江汉区期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
10．（2021秋 汉川市期中）如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则△PQC的面积为 ．
11．（2021秋 章贡区期末）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是 ．
12．（2021秋 赤壁市期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 ．
13．（2021秋 天门期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 ．
14．（2021秋 沙市区校级期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE+PB+PC的最小值为 ．
15．（2021秋 汉川市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2；若△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
16．（2021秋 汉川市期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）如图1，求证：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①点H在运动的过程中，求证：∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当△AQG为等腰三角形时，EH的长为 ．
17．（2021秋 赤壁市期中）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：△EAG≌△EAF；
（2）若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝ ．
18．（2021 房县一模）（1）问题发现：
如图（1），△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： ；
（2）操作探究：
如图（2），将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系；
（3）解决问题：
将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE＝2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数．
19．（2021秋 河口县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 ．
20．（2021秋 天门期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
21．（2021秋 十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为 ；∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当∠ABC＝60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
22．（2019秋 铁力市期末）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M．
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
2022年九年级上册《旋转》专项练习
参考答案与试题解析
1．（2022 渝北区自主招生）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（2022春 胶州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）
【解答】解：过A点作AD⊥y轴，过B点作BE⊥x轴，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴AD＝2，OD＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠AOE＝90°，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOD＝∠BOE，
∵OA＝OB，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∵BE＝AD＝2，OA＝OD＝3
∴点A的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：B．
3．（2022春 萧山区期中）点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【解答】解：∵点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，
∴，
解得，
∴x的值为，
故选：C．
4．（2021 贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
5．（2022春 锦江区校级期中）如图，△AOB中，∠B＝25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，
∴∠B＝∠B'＝25°，∠BOB'＝60°，
∴∠A'CO＝∠B'+∠BOB'＝85°，
故选：C．
6．（2022春 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，
∴AC＝＝＝＝3，
由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'＝＝＝3．
故选：D．
7．（2021秋 江汉区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故选：C．
8．（2021秋 天门期中）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°，将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．88°
【解答】解：∵AB∥CC'，
∴∠ABC+∠C′CB＝180°，
而∠B＝90°，
∴∠C′CB＝90°，
∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，
∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
即旋转角为100°．
故选：B．
9．（2021秋 江汉区期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 7 ．
【解答】解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，
∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案为：7．
10．（2021秋 汉川市期中）如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则△PQC的面积为 6 ．
【解答】解：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
∴BP＝QC＝3，
∵AP＝PQ＝4，PC＝5．
∴32+42＝52，
∴QC2+PQ2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠PQC＝90°，
∴△PQC的面积＝PQ QC＝4×3＝6．
故答案为：6．
11．（2021秋 章贡区期末）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是 （2，﹣2） ．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（2）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH＝＝2，
∴A（2，2），
∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
12．（2021秋 赤壁市期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 ．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，
∴BD＝CD＝＝1，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADG中，AG＝＝＝，
故答案为：．
13．（2021秋 天门期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC＝4，AC＝3，
则AB＝5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，
则AE＝1，
故IE＝3﹣1＝2，
OE＝4﹣1＝3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
14．（2021秋 沙市区校级期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE+PB+PC的最小值为 2 ．
【解答】解：连接PE，BF，过点F作FH⊥BA，交BA的延长线于H，
∵将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，
∴AP＝AE，AC＝AF，∠PAE＝∠CAF＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AE＝PE，
∴当点B、P、E、F共线时，AE+PB+PC最小，最小值为BF的长，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝60°+60°＝120°，
∴∠FAH＝60°，
∴AH＝3，FH＝3，
∴BH＝AB+AH＝4+3＝7，
在Rt△BFH中，由勾股定理得，
BF＝＝2，
∴AE+PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
15．（2021秋 汉川市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2；若△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；旋转中心的坐标为（0，﹣1）．
16．（2021秋 汉川市期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）如图1，求证：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①点H在运动的过程中，求证：∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当△AQG为等腰三角形时，EH的长为 或2 ．
【解答】解：（1）证明：由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠HAC＝∠CAG，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，，，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG＝90°﹣∠HAF，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
故答案为：或2．
17．（2021秋 赤壁市期中）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：△EAG≌△EAF；
（2）若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝ 2 ．
【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
即∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS）；
（2）解：设BE＝x，则EF＝GE＝3+x，CE＝6﹣x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2．
故答案为：2．
18．（2021 房县一模）（1）问题发现：
如图（1），△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： BE＝CD ；
（2）操作探究：
如图（2），将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系；
（3）解决问题：
将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE＝2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE﹣AB＝AD﹣AC，
∴BE＝CD；
（2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
由旋转的性质得，∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE＝CD；
（3）如图，
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵ED＝2AC，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝45°
或360°﹣90°﹣45°＝225°，或360°﹣45°＝315°
∴角α的度数是45°或225°或315°．
故答案为：BE＝CD．
19．（2021秋 河口县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 （2，1） ．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；
②如图，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，点M即为所求，M（2，1），
故答案为：（2，1）．
20．（2021秋 天门期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
【解答】解：∵把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，
∵∠BDC+∠BAC＝60°+120°＝180°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠ACD+∠DCE＝180°，
∴A，C，E在一条直线上，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝120°﹣60°＝60°；
∴AE＝AD＝AC+EC＝AC+AB＝10．
21．（2021秋 十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为 AC＝BD ；∠AMB的度数为 40° ；
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当∠ABC＝60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴AC＝BD；∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°，
故答案为：AC＝BD，40°；
（2）AC＝BD，AC⊥BD，
理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，∠OBD＝∠OAC，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∠ABO＝∠ABM+∠OBD，
∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BD；
（3）如图3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠ABC＝30°，
∵C，M重合，
∴B，C，D共线，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝OC，
由（2）得△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC，
∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB，
由勾股定理得：AC＝＝AB，
∴CD＝AC﹣BC＝AB，
∴OC＝×OA，
∴OD＝OC＝OA．
如图4，同上易求得OD＝OC＝OA，
综上所述，OD＝OA或OD＝OA．
22．（2019秋 铁力市期末）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M．
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 90 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°．
故答案为90．
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣60°＝120°；
（3）如图3中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKO＝∠BKM，
∴∠AOK＝∠BMK＝α．
∴∠AMD＝180°﹣α．
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2022年九年级上册《旋转》专项练习
1．（2022 渝北区自主招生）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春 胶州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）
3．（2022春 萧山区期中）点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
4．（2021 贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
5．（2022春 锦江区校级期中）如图，△AOB中，∠B＝25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
6．（2022春 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋 江汉区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2021秋 天门期中）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°，将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．88°
9．（2021秋 江汉区期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
10．（2021秋 汉川市期中）如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则△PQC的面积为 ．
11．（2021秋 章贡区期末）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是 ．
12．（2021秋 赤壁市期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 ．
13．（2021秋 天门期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 ．
14．（2021秋 沙市区校级期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE+PB+PC的最小值为 ．
15．（2021秋 汉川市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2；若△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
16．（2021秋 汉川市期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）如图1，求证：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①点H在运动的过程中，求证：∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当△AQG为等腰三角形时，EH的长为 ．
17．（2021秋 赤壁市期中）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：△EAG≌△EAF；
（2）若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝ ．
18．（2021 房县一模）（1）问题发现：
如图（1），△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： ；
（2）操作探究：
如图（2），将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系；
（3）解决问题：
将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE＝2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数．
19．（2021秋 河口县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 ．
20．（2021秋 天门期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
21．（2021秋 十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为 ；∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当∠ABC＝60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
22．（2019秋 铁力市期末）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M．
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
2022年九年级上册《旋转》专项练习
参考答案与试题解析
1．（2022 渝北区自主招生）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（2022春 胶州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）
【解答】解：过A点作AD⊥y轴，过B点作BE⊥x轴，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴AD＝2，OD＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠AOE＝90°，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOD＝∠BOE，
∵OA＝OB，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∵BE＝AD＝2，OA＝OD＝3
∴点A的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：B．
3．（2022春 萧山区期中）点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【解答】解：∵点A（x+2y，1）与点B（2x﹣y，y）关于原点成中心对称，
∴，
解得，
∴x的值为，
故选：C．
4．（2021 贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
5．（2022春 锦江区校级期中）如图，△AOB中，∠B＝25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，
∴∠B＝∠B'＝25°，∠BOB'＝60°，
∴∠A'CO＝∠B'+∠BOB'＝85°，
故选：C．
6．（2022春 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝6，AB＝9，
∴AC＝＝＝＝3，
由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'＝＝＝3．
故选：D．
7．（2021秋 江汉区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故选：C．
8．（2021秋 天门期中）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°，将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．88°
【解答】解：∵AB∥CC'，
∴∠ABC+∠C′CB＝180°，
而∠B＝90°，
∴∠C′CB＝90°，
∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，
∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
即旋转角为100°．
故选：B．
9．（2021秋 江汉区期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 7 ．
【解答】解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，
∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案为：7．
10．（2021秋 汉川市期中）如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则△PQC的面积为 6 ．
【解答】解：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
∴BP＝QC＝3，
∵AP＝PQ＝4，PC＝5．
∴32+42＝52，
∴QC2+PQ2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠PQC＝90°，
∴△PQC的面积＝PQ QC＝4×3＝6．
故答案为：6．
11．（2021秋 章贡区期末）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是 （2，﹣2） ．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（2）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH＝＝2，
∴A（2，2），
∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
12．（2021秋 赤壁市期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 ．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，
∴BD＝CD＝＝1，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADG中，AG＝＝＝，
故答案为：．
13．（2021秋 天门期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC＝4，AC＝3，
则AB＝5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，
则AE＝1，
故IE＝3﹣1＝2，
OE＝4﹣1＝3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
14．（2021秋 沙市区校级期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE+PB+PC的最小值为 2 ．
【解答】解：连接PE，BF，过点F作FH⊥BA，交BA的延长线于H，
∵将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，
∴AP＝AE，AC＝AF，∠PAE＝∠CAF＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AE＝PE，
∴当点B、P、E、F共线时，AE+PB+PC最小，最小值为BF的长，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝60°+60°＝120°，
∴∠FAH＝60°，
∴AH＝3，FH＝3，
∴BH＝AB+AH＝4+3＝7，
在Rt△BFH中，由勾股定理得，
BF＝＝2，
∴AE+PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
15．（2021秋 汉川市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2；若△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；旋转中心的坐标为（0，﹣1）．
16．（2021秋 汉川市期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）如图1，求证：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①点H在运动的过程中，求证：∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当△AQG为等腰三角形时，EH的长为 或2 ．
【解答】解：（1）证明：由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠HAC＝∠CAG，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，，，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG＝90°﹣∠HAF，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
故答案为：或2．
17．（2021秋 赤壁市期中）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：△EAG≌△EAF；
（2）若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝ 2 ．
【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
即∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS）；
（2）解：设BE＝x，则EF＝GE＝3+x，CE＝6﹣x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2．
故答案为：2．
18．（2021 房县一模）（1）问题发现：
如图（1），△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： BE＝CD ；
（2）操作探究：
如图（2），将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系；
（3）解决问题：
将图（1）中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE＝2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE﹣AB＝AD﹣AC，
∴BE＝CD；
（2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
由旋转的性质得，∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE＝CD；
（3）如图，
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵ED＝2AC，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝45°
或360°﹣90°﹣45°＝225°，或360°﹣45°＝315°
∴角α的度数是45°或225°或315°．
故答案为：BE＝CD．
19．（2021秋 河口县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 （2，1） ．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；
②如图，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，点M即为所求，M（2，1），
故答案为：（2，1）．
20．（2021秋 天门期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD的度数和AD的长．
【解答】解：∵把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，
∵∠BDC+∠BAC＝60°+120°＝180°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠ACD+∠DCE＝180°，
∴A，C，E在一条直线上，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝120°﹣60°＝60°；
∴AE＝AD＝AC+EC＝AC+AB＝10．
21．（2021秋 十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为 AC＝BD ；∠AMB的度数为 40° ；
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当∠ABC＝60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴AC＝BD；∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°，
故答案为：AC＝BD，40°；
（2）AC＝BD，AC⊥BD，
理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，∠OBD＝∠OAC，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∠ABO＝∠ABM+∠OBD，
∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BD；
（3）如图3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠ABC＝30°，
∵C，M重合，
∴B，C，D共线，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝OC，
由（2）得△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC，
∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB，
由勾股定理得：AC＝＝AB，
∴CD＝AC﹣BC＝AB，
∴OC＝×OA，
∴OD＝OC＝OA．
如图4，同上易求得OD＝OC＝OA，
综上所述，OD＝OA或OD＝OA．
22．（2019秋 铁力市期末）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M．
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 90 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°．
故答案为90．
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣60°＝120°；
（3）如图3中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKO＝∠BKM，
∴∠AOK＝∠BMK＝α．
∴∠AMD＝180°﹣α．
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