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课件61张PPT。1、3 空间几何体的表面积与体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？探究 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以： 因此，四面体S-ABC 的表面积．交BC于点D．解：先求 的面积，过点S作 ，典型例题圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 例1 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？ 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999 ．典型例题１、长方体的体积等底等高柱体
的体积相等吗？2、柱体的体积等底等高柱体的体积相等h探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系（其中S为底面面积，h为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 ． 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 ．即棱锥的体积：锥体体积3、锥体的体积等底等高锥体的体积相等4、台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台(棱台)的体积公式．根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式 其中 ， 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h 为台体高S为底面面积，h为锥体高台体体积 例2 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:答：这堆螺帽大约有252个．典型例题2、用一张长12cm、宽8cm的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为＿＿＿____________1、已知一正四棱台的上底面边长为4cm,下底面边长为8cm,高为3cm,其体积为______112cm31 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）A . B . C . D . A练习2 . 已知圆台的上下底面的半径分别为2cm和4cm,它的表面积为 ,则它的母线长为( )A3 . 若一个棱台的上、下底分别是边长为1cm和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的侧面积为( )D4 . 一个直角三角形的直角边分别为12与5,以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧面积为( )C8 . 已知圆锥表面积为 ,且侧面展开图形为扇形,扇形的圆心角为 ,则圆锥底面半径为_____.16 . 已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____.5 .五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积______.7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____度180780柱体、锥体、台体的表面积知识小结 圆台圆柱圆锥柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结第二课时：球的表面积和体积球的表面积和体积公式 球的表面积： 球的体积： 练一练： 1．正方形边长扩大n倍，其面积扩大____倍；正方体棱长扩大n倍，
其表面积扩大___倍，体积扩大___倍；
2．圆的半径扩大n倍，其面积扩大____倍；球半径扩大n倍，
其表面积扩大____倍，体积扩大____倍；
3．圆柱的底面不变，体积扩大到原来的n倍，则高扩大到原来的___倍；
反之，高不变，底面半径扩大到原来的____倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。练习：练一练： 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
(1) 球的体积等于圆柱体积的
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。说明：这种情况球叫做圆柱的内切球 思考：球的半径与其内接圆柱的底面半径、母线长之间的联系。轴截面：经过旋转轴的截面(主要是针对旋转体而言)例.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系练一练： 已知正方体的棱长为a ，球的半径为R，求在下列条件下
a与R的关系。
(1) 正方体的顶点都在球面上；
(2) 球与正方体的各个面都相切；
(3) 球与正方体的各个棱都相切。 变式3.有三个球,一球过正方体的各顶点,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱, 求这三个球的体积之比.作轴截面截正方体对角面 例1 直角三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.说明它们的结构特征，画出其直观图和三视图，并求出它们的表面积和体积.综合应用1.在梯形ABCD中，B是直角，CD=BC=1，AB=2， 其中以AB边作为旋转轴，求出该旋转体的表面积和体积。作业1.2.有一个正三棱柱，其三视图如图：
则其体积等于（ ）3. 一个长方体的三条棱长之比是1：2：3，
它的体积是48，求它的表面积。O.1、球的体积已知球的半径为R问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.例1.钢球直径是5cm,求它的体积.定理:半径是R的球的体积变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积. 课堂练习8倍1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求和,取极限”的数学方法.2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点.3.一个公式:半径为R的球的体积是4.解决两类问题:两个几何体相切和相接作适当的轴截面两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上第一步：分割O球面被分割成n个网格，
表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：设“小锥体”的体积为：2、球的表面积O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：转化为球的表面积 如果网格分的越细,则:① 由①② 得:课件46张PPT。2.1.1 《平面》教学目 标使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。
教学重点：三个公理的教学是重点为。
教学难点：公理的理解是难点。 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？空间点、直线、平面的位置关系问题 长方体由上下、前后、左右六个面围成． 有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等． 观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？实例引入观察 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？实例引入观察 观察海面，它又呈现出怎样的形象？实例引入观察 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？引入新课 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？平面的画法观察平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．被遮挡部分用虚线表示平面的画法 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．平面的表示平面 常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合语言描述）表示为：点、线、平面的关系（2）点与面的关系： 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．表示为：（4）直线L在平面 内 .表示为：表示为：表示为：α β=L，a α=A, a β=B例1 由下图，分别用文字和符号语言表示下列图形中点、直线和平面的位置关系。ABaLαβ文字表示:符号表示:文字表示:符号表示:αβabP直线a分别交平面α、 β于点A、B,平面α和β相交与直线L（2）平面α与β相交于直线L，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a和b相交于点PLa α ，b β，α β=L，
a b=P，P∈L
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？思考平面公理 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．思考平面公理 如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？ 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．AB平面公理 在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．Al点A在直线l上．点A在直线l外．直线l在平面 外．直线l在平面 内．平面 经过直线l．图形、文字、符号思考:请你用尺子做实验并回答以下问题
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？
4、过不在一直线上的三点有几个平面？不共线三点确定一个平面 生活中经常看到用三角架支撑照相机．平面公理平面公理 测量员用三角架支撑测量用的平板仪． 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．存在性唯一性作用：
确定平面的主要依据．平面公理 不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”． 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？B思考平面公理 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？思考平面公理 观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？观察 这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’.平面公理 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．②判断点在直线上．平面公理 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.这是判定两平面相交以及
它们的交点共线的依据。注意：
1.以后说到两个平面，如不特别说明都是指两个不重合的平面。 两个不重合的平面，只要它们有公共点，
它们 就是相交的位置关系，交集是一条直线，
叫做这两个平面的交线。
小结：平面的基本性质和作用会用三种数学语言表示变式.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于
A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四
条直线共面.例题3.已知三条直线两两相交且不共点，
求证：这三条直线共面（在同一平面内）例4.已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分
别与平面α并于点M、N、P三点，求证：M、N、
P三点共线. 在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：①直线 在平面 内；错误随堂练习 在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：③由点A，O，C可以确定一个平面；错误随堂练习 在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：④由 确定的平面是 ； ⑤由 确定的平面与由 确定的平面是同一个平面．正确正确随堂练习知识小结实例引入平面平面的画法和表示点和平面的位置关系平面三个公理例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面A1BD=M，求作点M。 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。 例3：求作下列截面：练习：(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。推论1过一条直线和直线外的一点
有且只有一个平面证： （存在性）（唯一性）在l上任取两点B、C，则A,B,C不共线;由公理3，经过不共线的三点A,B,C有一个平面 .因为B、C在平面 内，所以根据公理1，直线l在平面 内,即 是经过直线l和点A的平面.因为B、C在直线l上，所以任何经过l和点A的平面 一定经过A,B,C .
于是根据公理3，经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个
所以经过l和点A的平面只有一个.平面的性质推论2即：两条相交直线确定一个平面过两条相交直线
有且只有一个平面平面的性质推论3即：两平行直线确定一个平面过两条平行直线
有且只有一个平面CBA课件23张PPT。2.1.3《空间中直线与平面之间的位置关系》2.1.4《空间中平面与平面之间的位置关系》复习引入：1、空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4的内容是什么?
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.等角定理的内容是什么?
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（同向相等）
研探新知（1）一支笔所在直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？直线与平面α相交 直线与平面α平行a∥α 无交点直线在平面α内有无数个交点a?α a ∩ α= A有且只有一个交点 结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：直线与平面之间的位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点. 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。
问题（1）不正确，相交时也符合。
问题（2）不正确，
如右图中，A'B与
平面DCC'D’平行，
但它与CD不平行。
问题（3）不正确。
另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D’平行，但直线CDì平面DCC'D’
问题（4）正确，所以选（B）。例题示范:1、?已知直线a在平面α外，则 （???）
（A）a∥α??? ?
（B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）a?α=A
（D）直线a与平面α至多有一个公共点。巩固练习:D2.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（???）
（A）平行
（B）相交???
（C）平行或相交?
（D）AB ìa巩固练习:?C思考2：围成长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面，两两之间有几种位置关系？思考1：拿出两本书看作两个平面，上下左右移动和翻动，它们的位置关系有几种？研探新知:提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢?在问题中上下面，左右面，前后面是平行的，相邻的两个面是相交的，所以位置关系有平行与相交两种。结论:　两个平面之间的关系有且只有两种：
（1）两个平面平行――没有公共点；
（2）两个平面相交――有一条公共直线。结论:想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画?画两个互相平行的平面时，要注意使表示
平面的两个平行四边形的对应边平行图1图2×√两个平面的位置关系两平面平行没有公共点有一条公共直线两平面相交α∥βα∩β=a 已知平面?, ?，直线a, b，且?∥?，
a??， b??，则直线a与直线b具有怎样
的位置关系？思考： 例2 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为8，M，N，P分别是A′B′，AD，
B B′的中点.
（1）画出过点M，N，P的平面与平面
ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线；
（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长.练习巩固：1.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。答:有可能1条，也有可能3条交线。（1）（2）不妨再思考一题？1、一个平面把空间分为几部分？
2、二个平面把空间分为几部分?
3、三个平面把空间分为几部分?23或44或6或7或8了解一下：
n个平面最多可将空间分为
(n3 + 5n + 6)/6个部分2. 3个平面把空间分成几部分？练习巩固：（2）（3）（4）（5）46678点在直线上点在直线外点在平面内 点在平面外（1）空间中点与线、点与面的位置关系归纳总结a∥b（2）空间中线与线的位置关系两直线不共面且无公共点两直线异面两直线共面且有一个公共点两直线相交两直线共面且无公共点两直线平行a、b异面aIb=Aa∥（3）空间中线与面的位置关系直线上所有的点都在
平面内直线在平面内直线与平面有一个公共点直线与平面相交直线与平面无公共点
直线与平面平行（4）空间中面与面的位置关系两个平面有一公共直线两个平面相交两个平面无公共点
两个平面平行α∥β课件22张PPT。平面与平面平行的性质2.两个平面平行的判定方法：两个转化思想：线线平行?线面平行
线面平行?面面平行复习(3)平行于同一个平面的两个平面平行1.两个平面的位置关系： 平行；相交(1)定义：两个平面没有公共点(2)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 如果两个平面没有公共点，
我们就说这两个平面互相平行．两个平面平行的性质性质1： 根据定义 两个平面平行，其中一个平面内的
直线必平行于另一个平面
问题： 两个平面平行，其中一个平面内的
直线与另一个平面的位置关系是怎样的 ？要证线面平行，只要证明面面平行性质2：两个平面平行的性质例1：四边形ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点
求证MN//面PADHG思路1：在平面PAD内找MN平行线。思路2：过MN构造平面PAD的平行平面。例2：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点PQR求证：PQ∥平面BCE。思路1：在平面BCE内找PQ平行线。思路2：过PQ构造与平面BCE平行的平面。平行关系的性质平面与平面平行的性质问题:观察长方体（1）（2）平面 //平面 ，平面 分别与 ， 交于直线a,b这时a//b一般地，平面 //平面 ，平面 =a， =b, a//b吗？平行关系的性质平面与平面平行的性质 因为交线a，b分别在两个平行平面 ， 内，所以a，b不相交，又a，b都在同一平面 内，由平行线的定义知 a//b如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行定理:求证：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行．如图α//β，α ∩γ=a， β ∩γ=b，求证：a//b证明：∵∴a//b∴ α、β无公共点∵α//β∴a、b无公共点两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质3：例2：平行于同一平面的两平面平行符号表示：例3：已知：α∥β，AB、DC为夹在α、β
间的平行线段求证：AB=DC ∵AB∥DC确定的平面γ交α、β与AD、BC∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC证明：夹在两个平行平面间的平行线段相等.两个平面平行的性质2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行两个平面平行4、夹在两个平行平面间的平行线段相等1、两个平面没有公共点小结 线
平行
线 线
平行
面 面
平行
面线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化小结证明线面平行思路： 线线平行 线面平行过线段端点作平面内直线平行线即构造平行平面 面面平行 线面平行练习1: P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP。求证：MN∥平面PBC。MN练习2：平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异面直线M、N分别是AB、CD的中点，
求证：MN// β;分析：看到中点，自然会想到“平行截割定理”或者”中位线定理”。可惜构成比例关系的线段不在一个平面上。因此，要构造能与已知比例线段均共面的线段，将不共面的比例关系转化为共面的比例关系。 MNEP练习3：平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异面直线M、N分别是AB、CD的中点，
求证：MN// β;G连接AD，取AD中点G在ΔABD中，∴MG//β同理GN// α,因α//β∴GN//β∴平面MNG//β∴MN//β证明1：MG//DB变式1：已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9， CD=34，求SC。证明:过A作直线AH//DF,连结AD,GE,HF(如图).变式3：如图，平面自点O引三条直线分别交α、β于点A、B、C和点A1、B1、C1，
证明：△ABC与△A1B1C1的相似。小结面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面，那么这两个平面平行。推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行面面平行性质定理: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。课件46张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图．一般采用中心投影或平行投影． 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征． 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量． 立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法．问题提出 1.把一本书正面放置，其视觉效果是一个矩形；把一本书水平放置，其视觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放置的平面图形的画法问题. 2.对于柱体、锥体、台体及简单的组合体，在平面上应怎样作图才具有强烈的立体感？这涉及空间几何体的直观图的画法问题.知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法 思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？水平直观图正三角形的水平直观图M0思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？思考4:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗？思考5:上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，你能概括出斜二测画法的基本步骤和规则吗？（1）建坐标系，定水平面；（3）水平线段等长，竖直线段减半.（2）与坐标轴平行的线段保持平行；思考6:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时有什么办法？知识探究（二):空间几何体的直观图的画法 思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？M思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画轴思考5:已知一个几何体的三视图如下，这个几何体的结构特征如何？试用斜二测画法画出它的直观图.理论迁移 例 如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图1.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 轴，两轴相交于点 ，使注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性
(2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原
来的一半．~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使
　　　 ，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．说明 关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．练习P19)1,2,3例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图2.用斜二测画法画空间几何体的直观图 联想水平放置的平面图形的画法，并注意到高的处理41.5例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图·····正视图侧视图俯视图练习P20)4,5 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几何体,正是因为这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构想象实物的形象．小结投影视图根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几何体可以根据直观图的结构想象实物的形象上面这些在纸上(二维平面)画出的空间几何体(三维)既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系。他们都是几何体的直观图。 那么，这种画法是怎么做到的呢？首先,空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的什么叫直观图 ?
把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形．例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图斜二测画法例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图41.5例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
探求空间图形的直观图的画法（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy,再取oz轴，使∠xoy=450，且∠xoz=900 ；（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半（2）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使 所确定的平面表示水平平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴 轴或 轴的线段；例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出
它的直观图····正视图侧视图俯视图由三视图可知：该几何体是怎么的一个组合体？
如何画出一个圆柱的直观图？
如何画出一个圆锥的直观图？
思考三视图与直观图有何关系？·例题4.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。 变式、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B‘到x’轴的距离为（　） 3、如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ 　）
6，右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3，则ΔABC的面积是（　 ） 课堂小结：1、水平放置的平面图形的直观图的画法2、空间几何体的直观图的画法课件101张PPT。投影与三视图学习目标掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化
能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型． 思考１：如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?思考２：通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?知识探究（一）：中心投影与平行投影 思考３：请同学们观察下图的投影过程，它们的投影过程有什么不同？思考４：上图（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？ AAAADCBADCBADCB中心
投影ADCB平行投影中心
投影ADCB中心
投影平行投影ADCB平行投影中心
投影ADCB平行投影中心
投影ADCB平行投影中心
投影ADCB平行投影正投影中心
投影ADCB平行投影正投影中心
投影ADCB平行投影正投影中心
投影ADCB平行投影斜投影正投影中心
投影特点：
　　中心投影的投影大小与物体和投影面之间的距离有关。
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影。投射线投影面2.平行投影：
　　当把投影中心移到无穷远，在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影。正投影：投影方向垂直于投影面的投影.斜投影：投影方向与投影面倾斜的投影。
(3)特点：　　与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的形状大小完全相同，与物体和投影面之间的距离无关。思考１：在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？ 思考２：正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？ 知识探究（二）：柱、锥、台、球的三视图 三视图包含正视图、侧视图和俯视图 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图. 长方体的三视图 思考３：一般地，怎样排列三视图？ 三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图所示.从正面看到的图从左边看到的图从上面看到的图三视图：
我们从不同的
方向观察同一物体
时，可能看到不同
的图形.其中，把从
正面看到的图叫做
正视图，从左面看
到的图叫做侧视图，
从上面看到的图叫
做俯视图.三者统称
三视图. 从正面看到的图从左边看到的图从上面看到的图三视图：
我们从不同的
方向观察同一物体
时，可能看到不同
的图形.其中，把从
正面看到的图叫做
正视图，从左面看
到的图叫做侧视图，
从上面看到的图叫
做俯视图.三者统称
三视图. 正视图 从正面看到的图从左边看到的图从上面看到的图三视图：
我们从不同的
方向观察同一物体
时，可能看到不同
的图形.其中，把从
正面看到的图叫做
正视图，从左面看
到的图叫做侧视图，
从上面看到的图叫
做俯视图.三者统称
三视图. 侧视图 正视图 从正面看到的图从左边看到的图从上面看到的图三视图：
我们从不同的
方向观察同一物体
时，可能看到不同
的图形.其中，把从
正面看到的图叫做
正视图，从左面看
到的图叫做侧视图，
从上面看到的图叫
做俯视图.三者统称
三视图. 侧视图 正视图 正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤侧视图方向正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤侧视图方向1. 确定正视图方向；正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤侧视图方向1. 确定正视图方向；2. 布置视图；正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤侧视图方向1. 确定正视图方向；3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)； 2. 布置视图；正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤侧视图方向1. 确定正视图方向；3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)； 4. 运用长对正、高平
齐、宽相等原则画出
其它视图；2. 布置视图；正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤1. 确定正视图方向；3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)； 4. 运用长对正、高平
齐、宽相等原则画出
其它视图；5. 检查.2. 布置视图；侧视图方向正视图方向俯视图方向侧视图 正视图 三视图的作图步骤1. 确定正视图方向；3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)；4. 运用长对正、高平
齐、宽相等原则画出
其它视图；5. 检查.2. 布置视图； 要求：俯视图安
排在正视图的正下方，
侧视图安排在正视图
的正右方.侧视图方向正视图方向侧视图方向俯视图方向长高宽 画一个物体的
三视图时，正视图，
侧视图，俯视图所
画的位置如图所示，且要符合如下原则:宽相等长对正高平齐正视图侧视图俯视图长对正高平齐宽相等三视图的特点下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看:下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看: 长方形 等腰三角形 圆下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?侧面看:正面看: 长方形 等腰三角形 圆下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看: 长方形 等腰三角形 圆侧面看: 长方形 等腰三角形 圆上面看:下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看: 长方形 等腰三角形 圆侧面看: 长方形 等腰三角形 圆上面看: 圆 圆 圆下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看: 长方形 等腰三角形 圆侧面看: 长方形 等腰三角形 圆上面看: 圆 圆 圆你能画出各物体的三视图吗?下面各图中物体形状分别可以看成什么样的
几何体?圆柱圆锥球从正面，侧面，上面看这些几何体，它们
的形状各是什么样的?正面看: 长方形 等腰三角形 圆侧面看: 长方形 等腰三角形 圆正视图正视图侧视图正视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图正视图正视图侧视图正视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图正视图正视图侧视图正视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图长方体圆台练习 画出下列基本几何体的三视图六棱锥长方体正视图长方体侧视图正视图长方体俯视图侧视图正视图长方体圆台圆台正视图圆台侧视图正视图圆台俯视图侧视图正视图变式 请同学们画下面这两个圆台的三视图，如果你认为这两个圆台的三视图一样，画一个就可以；如果你认为不一样，请分别画出来。注意：不可见的轮廓线，用虚线画出. 六棱锥的三视图俯视图侧视图正视图六棱锥的三视图俯视图侧视图正视图 小结：若相邻
的两平面相交，表
面的交线是它们的
分界线，在三视图
中，分界线和可见
轮廓线都用实线画
出.例 画出下面几何体的三视图. 简单组合体的三视图简单组合体的三视图正视图侧视图正视图简单组合体的三视图简单组合体的三视图侧视图正视图简单组合体的三视图注意：不可见的轮廓线，用虚线画出. 侧视图正视图俯视图简单组合体的三视图正视图简单组合体的三视图侧视图正视图简单组合体的三视图俯视图侧视图正视图简单组合体的三视图思考ACBD下图中的三视图表示下面哪个几何体？俯视图侧视图正视图变式：画正三棱锥几何体的三视图.例2 试画出下图所示的矿泉水瓶的三视图.变式 画出下图所示的几何体的三视图 圆 台 圆台根据三视图判断几何体俯视图 正视图 侧视图 例3根据三视图判断几何体变式根据三视图判断几何体正视图侧视图俯视图 例5例3、画下例几何体的三视图例四、画下例几何体的三视图小结： 画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线
或棱用虚线表示。
三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。
正视图与侧视图------高平齐。
俯视图与侧视图------宽相等。

1、2、3 空间想象能力,逆向思维能力课件64张PPT。空间几何体的结构（一）问题提出 1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？ 2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？知识探究（一）：空间几何体的类型 思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？多面体旋转体平面几何研究的对象是平面图形，研究的内容是平面内的点、线的位置关系，平面图形的画法，长度、角度、面积等相关的计算及应用.那么空间几何学研究的对象、内容分别是什么呢?空间几何学研究的对象是:空间图形. 研究的内容是空间的点、线、面的位置关系,空间图形的画法,长度、角度、面积、体积等相关的计算及应用.问题1：观察下面的实物图片, 这些图片中的物体具有怎样的形状?属于哪种空间几何体?问题2：观察上述空间几何体，分析它的结构特征，打算把上述几何体分成几类？问题3：如何定义多面体与旋转体呢? 一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，定义 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴. 那么到底什么样的多面体叫棱柱呢？你能用文字语言给棱柱下个定义吗？请大家从棱柱结构中面的特点以及面与面的关系、棱与棱的关系找到它们的共同结构特征吗？合作探究 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫棱柱．棱柱的结构特征用表示底面各顶点字母
表示棱柱,如：
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。三棱柱四棱柱五棱柱 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、…… 3、棱柱的表示法(下图) 用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。如何判断一个多面体是不是棱柱？１．有两个面互相平行（底面）２．其余各面都是四边形（侧面）３．每相邻两个侧面的公共边都互相平行棱柱思考?观察下面的几何体，哪些是棱柱？练习：1.观察长方体,共有多少对平行平面?
能做为棱柱底面的有多少对?探究4: 观察右边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？ 答：四对平行平面；只有一对可以作为棱柱的底面． 棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？ 答：不是．问题：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？答：不一定是．如图所示，不是棱柱．长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？探究3:A’B’C’D’ABCD长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？探究3:ABCDA’B’C’D’EFGHF’E’H’G’ 答：都是棱柱．四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面是
平行四边形侧棱与底面
垂直底面是
矩形底面为
正方形侧棱与底面
边长相等补充：几种四棱柱（六面体）的关系：长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l ，则l 2 = a 2 + b 2 + c 2二、棱锥的结构特征观察下列几何体,有什么相同点？1、棱锥的概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面或底。有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。2、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。4、如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.正棱锥的基本性质 各侧棱相等，各侧面 是全等的等腰三角形，各等腰 三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。练习.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
(A)至多只有一个是直角三角形
(B)至多只有两个是直角三角形
(C)可能都是直角三角形
(D)必然都是非直角三角形C 例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？思考：有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥吗？棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比三、棱台的结构特征BCADSB1A1C1D1 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如右图，棱台ABCD-A1B1C1D1 。4、用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。5、棱台的特点：两个底面是相似多边形,侧面都是梯形;侧棱延长后交于一点。侧面侧棱上底面下底面①两个底面多边形间的关系？②上下底面对应边间的关系？
④侧棱之间的关系？③侧面是什么平面图形？平行且相似平行不等延长后交于一点(思考：为什么？？)梯形棱台的性质棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较两底面是全等的多边形平行四边形平行且相等与两底面是全等的多边形平行四边形多边形三角形相交于顶点与底面是相似的多边形三角形两底面是相似的多边形梯形延长线交于一点与两底面是相似的多边形梯形课堂练习:1. 下面的几何体中，哪些是棱柱？2、判断:下列几何体是不是棱台,为什么?(1)(2)例1、①下列命题是否正确？
（1）直棱柱的侧棱长与高相等；
（2）直棱柱的侧面及过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形；
（3）正棱柱的侧面是正方形；
（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，那么它是直棱柱；
（5）如果棱柱有两个相邻侧面是矩形，那么它是直棱柱. ②在棱柱中（ ）
A.只有两个面平行 B.所有棱都相等 C.所有的面均是平行四边形
D.两底面平行，且各侧棱相等 F.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
E.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 例2、下列说法正确的是 （请把你认为正确说法的
序号都填在横线上）。
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围
成的几何体是棱锥。（2）四面体的任何一个面都可以作为棱
锥的底面。（3）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥。
（4）棱锥的各侧棱长相等。 例3、棱台不具有的性质是（ ）.
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点,一条侧棱长为例4、(1)长方体三条棱长分别是=1=2，，则从点出发，,底面面积为沿长方体的表面到C′的最短矩离是______.
(2)已知正四棱锥，计算它的高和斜高。例5、如图所示， ABCD-A1B1C1D1是长方体，
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
如果不是，说明理由.
（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，
各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几
棱柱？如果不是，说明理由.
（3）ABCD-A1EFD1是棱台吗？如果是，是几棱台？
如果不是，说明理由.例1.已知：正三棱锥V －ABC，VO为高，AB=6,VO= ，求侧棱长及斜高。ABDCOV练习：棱长为2的正四面体的体积为_____________知识探究（二）：圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗？ 侧面轴母线底面母线思考3：平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？思考4：经过圆柱的轴的截面称为轴截面，你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征吗？ 知识探究（三）：圆锥的结构特征 思考1：将一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周，那么其余两边旋转形成的面所围成的旋转体是一个什么样的空间图形？你能画出其直观图吗？ 思考2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，那么如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？ 旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中的任何位置叫做圆锥侧面的母线. 侧面顶点母线底面母线轴思考3：经过圆锥任意两条母线的截面是什么图形？思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征吗？思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？知识探究（四）：圆台的结构特征 思考2:与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？ 侧面上底面下底面母线轴思考3:经过圆台任意两条母线的截面是什么图形？轴截面有哪些基本特征？ 思考4:设圆台的上、下底面圆圆心分别为O′、O，过线段OO′的中点作平行于底面的截面称为圆台的中截面，那么圆台的上、下底面和中截面的面积有什么关系？ 例1 将下列平面图形绕直线AB旋转一周，所得的几何体分别是什么？理论迁移 例2 在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC= ， ，以直线AC为轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.AA’定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。（1）圆柱的轴——旋转轴.
（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。
（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。
（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。B’OBO’4.圆柱的结构特征圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆柱OO'”SABO定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.圆锥的结构特征圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆锥SO”定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.6.圆台的结构特征想一想:圆台能否用旋转的方法得到?若能,请指出用什么图形?怎样旋转?思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？O半径球心定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.7.球的结构特征球的表示方法：用表示球心的字母表示,如:“球O”练习:见P8页A组第1题的(4)小题,第2题.几何体的分类柱体锥体台体球多面体旋转体知识小结简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台课件18张PPT。二面角二面角从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 二 面 角 ?－AB－ ?
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 ?－ l－ ?1、二面角的平面角必须满足
三个条件
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量 1、定义法
2、三垂线（逆）定理法
3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”??l二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D2、二面角的画法 平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.边在面内3.边与棱垂直二面角的大小: 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的大小的范围:互相垂直的平面:1、定义法2、三垂线定理法3、垂面法4、二面角的平面角的作法二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”练习1、已知二面角α-AB- ? 的平面角是
锐角θ， α内一点C到?的距离为3，
点C到棱AB的距离为4，则tan θ=（ C）ABC例1 求正四面体A-BCD中的侧面与底面所
成角的余弦值。注意：每个侧面与底面所成角相等，余弦值都为？定义法思考题：P为三角形ABC所在平面外一点，
过P作PA⊥面ABC，求证：二面角P-BC-A
的平面角的余弦值为射影面积法例2、如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.求证:折叠问题注意折叠前后的对比二面角CO三垂线法C D解：在PB上取不同于P 的一点O，在?内过O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90o练习1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过
P 分别在?、?内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。∠COD是二面角 的平面角①②③一“作”
二“证”
三“计算”练习2 如图，已知A、B是120?的二面角?—l—?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。l河堤斜面例 4例5：如图所示，DB、EC都垂直于正 所在的平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小。 解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF，∴∠CAF=900,由三垂线定理AE⊥AF ∴∠EAC为二面角E-AF-C的平面角。在直角三角 形 ACE中，AC=EC，
∴∠EAC=450
因此平面ABC与平面ADE所成的角为450.
AF就是平面ADE与平面ABC的交线，也就是这两个平面所成的二面角的棱AC、AE都垂直于二面角的棱AF，它就是二面角的平面角想想还有没有其它的方法？练习已知△ ABC中，AB=2，BC=4， ∠ABC=45，BC在平面α内， △ ABC所在的平面与面α成300角，则△ ABC在α内的射影面积可能是：（ D）ABC解：O二面角练习．如图P 为二面角 内一点，PA⊥?,PB⊥?,
且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。取AB 的中点为E，连PE，OE练习．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。解：二面角二面角平面角的求作方法：1、定义法
2、垂面法
3、三垂线法
4、射影面积法3、三垂线法课件44张PPT。二面角复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ aba’b’新课引入 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。1、二面角的相关概念： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。 ??lABPQ2、二面角的表示??l二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D3、二面角的画法如何度量二面角的大小？能否转化为平面角来处理？找一个能变化的平面角∠AOB,把它放入二面角的模型内,将顶点O放在棱上,两边紧贴在两个面上。A O⊥ l ，B O⊥ lAOBAOBAOBlll怎样才能找到这样的一个角，它的大小唯一，且由二面角的大小决定？OA,OB不可随意，要使∠AOB唯一确定，只有OA,OB与棱垂直。 缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪个角来表示？1、二面角的平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角角 的平面角 一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面定义二：PA⊥ l ，PB ⊥ lAB定义一：二、二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.边在面内3.边与棱垂直二面角的大小: 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的大小的范围:互相垂直的平面:1、定义法2、三垂线定理法3、垂面法2、二面角的平面角的作法练习：指出下列各图中的二面角的平面角：二面角B--B’C--Al二面角?--l--?OEOO二面角A--BC--DD例1、(1)、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任
一点，则二面角P-BC-A的平面角
为:A.∠ABP B.∠ACP C.都不是(2)、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιAB60o三、例题讲解AOD例2、 已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的大小。解：过 A作 AO⊥?于O，过 A作 AD⊥ l 于D，连OD则由三垂线定理得 OD⊥ l∴AO=2 ，AD=4∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °在Rt △ADO中，AO
AD①②③l二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”例3、在300二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。 所以∠AOH就是二面角α-EF-β的一个平面角，∠AOH=300，OA=20cm.
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H，由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。HO它就是二面角的平面角！例4 求正四面体A-BCD中的侧面与底面所
成角的余弦值。注意：每个侧面与底面所成角相等，余弦值都为？定义法思考题：P为三角形ABC所在平面外一点，
过P作PA⊥面ABC，求证：二面角P-BC-A
的平面角的余弦值为射影面积法例5、如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.求证:折叠问题注意折叠前后的对比解：O二面角练习3．如图P 为二面角 内一点，PA⊥?,PB⊥?,
且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。取AB 的中点为E，连PE，OE练习4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。解：二面角二面角从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 二 面 角 ?－AB－ ?
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 ?－ l－ ?1、二面角的平面角必须满足
三个条件
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量 1、定义法
2、三垂线（逆）定理法
3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算” § 两个平面垂直的判定3、二面角的范围：[0。,180。]4、直二面角——平面角为直角的二面角
叫做直二面角两个平面垂直的判定两个平面互相垂直定义：一般地，如果两个平面相交，且其所成二面角为直二面角，则两个平面垂直。记作：ABC画法：问题引入：建筑工人砌墙时，如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？问题引入方法一： 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，问题引入那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
求证：α⊥β.∪ 证明：αβCDAB在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，设α∩β=CD,则B∈CD.
两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.关键是找或作其中一个平面的垂线课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）
一、判断：××4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )∪√ 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条
直线，则α⊥β.（ ）√1.过平面α的一条垂线可作_____个平面
与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂
直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平
面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.一无数无数一例1、设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBCPABCO例题讲解例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADCACBDO例题讲解例３、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC?平面PBD。证明：ABDPCO例题讲解例4、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直已知：a // α， a ⊥β求证： α ⊥βb例5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点，
求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC练习1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC ⊥平面ABCPABCO2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？PDABC归纳小结： (1)判定面面垂直的两种方法：
①定义法②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面
互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
课件44张PPT。平面与平面平行的判定复习回顾：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（2）直线与平面平行的判定定理：（1）定义法；1.?到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢?如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
　D1B1是否平行平面DBC1?为什么?.复习练习：（1）平行（2）相交α∥β复习回顾：怎样判定平面与平面平行呢？问题：2.?平面与平面有几种位置关系？分别是什么？生活中有没有平面与平面平行的例子呢?(1)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？
(2)三角板或课本的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？观察：思考：教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。探究：当三角板的两条边所在直线分别与地面平行时,这个三角板所在平面与地面平行。结论：（１）平面?内有一条直线与平面?平行，?，?平行吗？（２）平面?内有两条直线与平面?平行，?，?平行吗？探究1：（两平面平行）（两平面相交）（两平面平行）（两平面相交）探究2：-----否P(两平面平行)结论：（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。书本上P56-57结论：（2）分两种情况讨论：如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？直线的条数不是关键直线相交才是关键 如果一个平面内有两条相交直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行 两个平面平行的判定定理：线不在多，重在相交符号语言：　ａ??，ｂ??，ａ?ｂ＝Ｐ，ａ???，ｂ????????图形表示：结论：abαβc如何证明定理？反证法例1：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
　 求证:平面AB1D1 ∥平面C1BD.分析：只要证到一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平
平行即可．从这里你能得出证明面面平行的更直接方法吗？例题讲解： 推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.p证明的关键是 在两个面内分别找两条相交直线对应平行变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。ABCA1B1C1D1DMNEF线面平行 面面平行线线平行例2：如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点，
求证：平面DEF∥平面ABC。变式：如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。BACDN·M··G例题讲解：第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。第三步：利用判定定理得出结论。证明两个平面平行的一般步骤：方法总结：小结：1、面面平行的定义；2、面面平行的判定定理；3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决。1：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
　 求证:平面ABCD∥平面A1B1C1D1.巩固性练习：巩固性练习：1：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别为BC、DC、C1C的中点
求证:平面AB1D1∥平面EFG.变式练习：2：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为A1D1、A1B1、CD、BC的中点
求证:平面AEF∥平面HGC1.EFGHK变式练习：3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其中P,Q, R,分别为A1A,AB,AD的中点
求证：平面PQR∥平面CB1D1.变式练习：4：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。求证：面EFG//平面BDD1B1.G分析：由FG∥B1D1
易得FG∥平面BDD1B1
同理GE ∥平面BDD1B1
∵FG∩GE＝G
故得面EFG//平面BDD1B1变式练习：思考：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。
求证：EF//平面BDD1B1.G另解：取B1C1中点G，
连结FG，EG，
若可证得
面EFG∥面BDD1B1
则推出：
EF ∥面BDD1B1线面平行的又一证明方法证明：如图，连接BD1 ，
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF 平面ABC1D1 ， BD1 平面ABC1D1
所以BD1//平面ABC1D1例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.解：直线BD1//平面AEC，证明如下:
如图，连接BD交AC于O，再连接OE
在△DBD1中，OE为三角形中位线，
所以OE//BD1，
又BD1 平面AEC，OE 平面AEC，
故BD1//平面AEC.P56 2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.O注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在.练习如图，已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 ,面ABCD的中心.求证PQ// 平面AA1B1B,并求线段的PQ长.解:（1）连接AB1，在△AB1D1中，
显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，
所以，PQ//AB1，且PQ= CD1
又因为PQ 平面AA1B1B
CD1 平面AA1B1B
所以 PQ// 平面AA1B1B（2）AB1 = ，PQ= 问：PQ// 平面DD1C1C？∵PQ//C1D练习C1ACB1BMNA1F证明：取A1C1中点F，连结NF，FC．∵N为A1B1中点，M是BC的中点，∴NFCM为平行四边形，故MN∥CF∴ MN∥平面AA1C1C.例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、 N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C练习练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点，求证：A1B//平面ADC1 .法一：线面平行判定定理连接BC1，则DE为△ABC1中位线，所以EF//AB,又EF 平面ABC ，AB 平面ABC，故EF//平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行取CC1的中点G，连接GE和GF，则GE为△ACC1中位线，所以GE//AC,又GE 平面ABC ，AC 平面ABC，故GE//平面ABC.G同理可证GF//平面ABC.又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.解：依题意点D为边BC的中点.
连接A1C交AC1于E，连接DE.
在△ADC1中，DE为三角形中位线，
所以DE//A1B,
又DE 平面ADC1 ，A1B 平面ADC1
故A1B//平面ADC1练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是BC上的点，若AD⊥BC，求证：A1B//平面ADC1 .E练习例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.HG法二：取DC的中点G，连接GN，GM ，往证面GMN//面PAD即可.证明：取PD的中点H，连接HN，AH ，
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线，
所以HN//DC且 HN= DC
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
所以AM//DC且 AM= DC
∴ AM//HN且 AM=HN
即AMNH为平行四边形，故MN//AH
又AH 平面PAD ，MN 平面PAD，
故MN//平面PAD.练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F分别是PC，BD的中点，求证：EF//平面PAD.证明：分别取PD，AD的中点G，H ，连接GE，HF ，GH
在△PDC中，GE为三角形中位线，
所以GE//DC且 GE= DC
同理，HF//AB且 HF= AB
又∵底面为正方形，∴AM//DC且 AM=DC
∴ GE//HF且 GE=HF
即HFEG为平行四边形，故EF//GH
又GH 平面PAD ，EF 平面PAD，
故EF//平面PAD.GH练习例 如图，点B为△ACD所在平面外一点，M，N分别为△ABC，△ABD的重心.(1)求证：MN//平面ACD.(2)若底面边长为1为正三角形，求线段的MN的长度.解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.因为M，N分别为对应三角形的重心，故E，F为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
∴MN//EF且MN= EF.
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD所以 MN// 平面ACD.EF(2) 又因为在△ACD中，EF是三角形的中位线，
所以，EF//CD且EF= CD.
∴MN= ，CD=线段成比例也是常用的找平行线的方法.练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心.(1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 的值.EFH同理，连接BG交CD于中点H，可证NG//平面ACD且NG= FH.又因为MN∩NG=N，所以面MNG//面ACD.练习解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.因为M，N分别为对应三角形的重心，故E，F为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
∴MN//EF且MN= EF.
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD所以 MN// 平面ACD.同理可证明NG= AC且NG//AC， MG= AD且NG//AD练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心.(1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 的值.练习解：(2)因为EF是△ACD的中位线，
所以，EF//CD且EF= CD.
由(1)知MN= EF.
∴MN= CD且MN//CD练1：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在AB1上，F在BD上，B1E=BF，求证：EF// 平面BB1C1C.解:（1）连接AF交BC于点Ｋ，再连接B1K，K又因为EF 平面BB1C1C
B1K 平面BB1C1C
所以EF// 平面BB1C1C练习练2：P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP.求证：MN∥平面PBC.练习过M作ME//AD交BD于点E，连接EN2. 线面平行判定定理应用时应注意: “面外，面内，平行”；面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条，相交”；小结：1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系.方法三：线段成比例.3.判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（3）如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,
那么这两个平面平行；
（4）平行于同一直线的两个平面平行；
（5）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行；
（6）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×××××P58 1、3证明：假设α∩β＝c. 则c∈α，c∈β
∵a∥β，a α，a与c没有交点，
又因为直线a和c共面于面α，∴而a∥c.
同理b∥c.
于是在平面α内过点P有两条相交直线与c平行，
这与平行公理矛盾，假设不成立. ∴ α ∥β.aαβcbbackback课件25张PPT。平面的斜线和平面所成的角2.线面垂直的判定方法有哪些?法1、定义法法2、判定定理法3、常用结论：一、复习回顾：1. 线线角——异面直线所成的角4、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？5、转化思想的应用：
点面距离 线面距离 点面距离.初始的(一般的)特殊的(可操作的) 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。二、新课讲授： 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。关键在于找二个足HC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？BC与A点DC与BCHC与EF在平面ADHE上的射影分别是什么？HD与E点 垂线段比任何一条斜线段都短。 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；3.一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。直线和平面所成角的范围是[0?，90?]。说明1.平面的斜线和平面所成角的范围是( 0?，90? )。最小角原理 平面的斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。0BACθ1最小角原理θ1与θ的大小关系如何？在Rt△OAB中，在Rt △AOC中，∵OB＜OC，∴sinθ1＜sin θ∴θ1＜θ
斜线和斜线在平面上的射影所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。最小角原理推广 平面的斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内任一条
直线所成的角中最小的角。练习1.两条平行直线和一个平面所成的角
相等吗？ 2.如果两条直线与一个平面所成的角
相等，它们平行吗？思考如何证明？例题讲解：1、已知一斜线L与平面α所成的角为300，则
L与α内的直线所成角中，最大、最小角各为
多少度？引申： 点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是ABC的 心。外2、P是△ABC所在平面外一点，且PA=PC，
试证明：P点在平面ABC上的射影在边AC的
中垂线上。变形：若PA、PB、PC与面ABC所成的角
相等？练习：1若PA=PB=PC=10，AB=6，BC=8
CA=10，则P到平面ABC的距离为多少？
与平面ABC所成的角依次是多少？ 练习:课本P74 练习1.2.3三、课堂小结：1、直线在平面上的射影；
2、射影定理；
3、直线与平面所成的角：
①求角的过程；②角的范围；③最小角原理.
4、求直线与平面所成的角的关键：
找直线在平面内的射影.四、作业布置：导学教程平面的斜线和平面所成的角22019年1月12日星期W练市中学 高数一学备课组一、复习回顾：1. 已知一个平面和它的一条斜线，如何求作斜线在平面内的射影？2、线面角指的是？它的范围是？求线面角
关键在于什么？练习1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求
（1）BC1与平面ABCD所成的角
（2）BD1与平面A1B1C1D1所成的角
（3）BC1与平面BDD1B所成的角引申：求AB与面AB1C所成角的正弦值。例题 例1.如图，OA是平面?的斜线，OB⊥平面 ?于B，AC是 ?内不与AB重合的任意直线，∠OAB=? ，∠BAC= ? ，∠OAC=? ，
求证：cos ? =cos ? cos?OABC?——线面角（斜射角）， ?——射非角
?——斜非角变式： 例3.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。O∠MOM'就是MN与β所成的角例4　如图，PD垂直于矩形ABCD所在的平面，连结PB，PC，BD，求证：∠PBD+∠BPC＜90?.分析：要证结论成立，只要证
∠PBD＜90? -∠BPC探索90? -∠BPC与∠PBC的关系例5　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角。O分析：找出A1B
在平面A1B1CD内的射影。30?课件14张PPT。1.1 空间几何体的结构 第二课时几类旋转体圆柱OO`圆锥SO圆台OO`轴母线底面侧面OO`OSOO`AA’什么叫圆柱定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。（1）圆柱的轴——旋转轴.
（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。
（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。
（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。B’OBO’圆柱的表示：圆柱oo’SABO定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆锥的结构特征圆锥的表示：圆锥so定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.圆台的结构特征圆台的表示：圆台oo’O半径球心定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.球的结构特征球的表示：球o球的基本属性：
球面可看作与定点（球心）的距离
等于定长（半径）的所有点的集合. 日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？简单组合体圆柱圆台圆柱 由柱、锥、台、球这些简单几何体组成（拼接或截去）的几何体叫做简单组合体． 走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特征是什么？简单组合体 一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征呢？简单组合体 蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几何结构特征是什么？简单组合体 居民的住宅又有什么主要几何结构特征？简单组合体 下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的主要几何结构特征吗？简单组合体 你能从旋转体的概念说说天坛是由什么图形旋转而成的吗？ 你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？ 这顶可爱的草帽又是由什么样的曲线旋转而成的呢？这个轮胎呢？旋转体课件51张PPT。§2.2.1 直线与平面平行的判定1.直线与平面有几种位置关系？复习引入: 其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多，而且是学习平面和平面平行的基础．有三种位置关系：在平面内，相交、平行．怎样判定直线与平面平行呢？问题探究: 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？ 在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．实例感受实例感受 将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 如果平面 内有直线 与直线 平行，那么直线 与平面 的位置关系如何？是否可以保证直线 与平面 平行？观察直线与平面平行 平面 外有直线 平行于平面 内的直线 ．（1）这两条直线共面吗？（2）直线 与平面 相交吗？探究直线与平面平行共面不可能相交平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．说明:(1)证明直线与平面平行，三个条件必须
具备，才能得到线面平行的结论．1.直线与平面平行判定定理(3)思想:空间问题转化为平面问题.假设 与 有公共点P，则 ，点P是a与b的公共点，这与 矛盾，证明：经过a，b确定一个平面是两个不同的平面直线与平面平行判定定理证明（1）定义法：证明直线与平面无公共点；（2）判定定理：证明平面外直线与平面内
直线平行．2.直线与平面平行判定方法说明:证明线面平行一般用判定定理.找线线平行的方法：1）空间直线平行关系的传递性
2）三角形中位线法
3）平行四边形法
4）成比例线段法已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证:EF//平面BCD.分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可.EF和面BCD哪一条直线平行呢？直线BD例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点证明：∴EF∥BD∴EF∥平面BCD 又∵ EF 平面BCD， 连接BD，三角形的中位线是常用的找平行线的方法.1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；练习解：(1)E、F、G、H四点共面.∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.∴EH∥BD且同理GF∥BD且∴ EH∥GF且 EH＝GF∴E、F、G、H四点共面.(2) AC ∥平面EFGH解:（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACD，AC∥平面EFGH，HG∥平面ABC.由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGH，EH∥平面BCD，FG∥平面ABD.1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系； 1．如图，长方体 中， （1）与AB平行的平面是 ；（2）与 平行的平面是 ；（3）与AD平行的平面是 ；平面平面平面平面平面平面随堂练习 例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
截面，并说明理由.
（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，
求证直线EF//平面ABCD.2．如图，正方体 中，E为 的中点，试判断 与平面AEC的位置关系，并说明理由．证明：连接BD交AC于点O,连接OE,随堂练习AEBDC如图，空间四边形ABCD中，E是AB上的一点,试过
CE作一平面平行于BD，并说明画法的理论依据F变式引申已知四棱锥S-ABCD,ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M为SC的中点.
求证:SA//平面MDB知识扩展BSMCADo证明：如图，连接BD1 ，
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF 平面ABC1D1 ， BD1 平面ABC1D1
所以BD1//平面ABC1D1例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.解：直线BD1//平面AEC，证明如下:
如图，连接BD交AC于O，再连接OE
在△DBD1中，OE为三角形中位线，
所以OE//BD1，
又BD1 平面AEC，OE 平面AEC，
故BD1//平面AEC.P56 2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.O注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在.练习如图，已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 ,面ABCD的中心.求证PQ// 平面AA1B1B,并求线段的PQ长.解:（1）连接AB1，在△AB1D1中，
显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，
所以，PQ//AB1，且PQ= CD1
又因为PQ 平面AA1B1B
CD1 平面AA1B1B
所以 PQ// 平面AA1B1B（2）AB1 = ，PQ= 问：PQ// 平面DD1C1C？∵PQ//C1D练习C1ACB1BMNA1F证明：取A1C1中点F，连结NF，FC．∵N为A1B1中点，M是BC的中点，∴NFCM为平行四边形，故MN∥CF∴ MN∥平面AA1C1C.例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、 N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C练习练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点，求证：A1B//平面ADC1 .法一：线面平行判定定理连接BC1，则DE为△ABC1中位线，所以EF//AB,又EF 平面ABC ，AB 平面ABC，故EF//平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行取CC1的中点G，连接GE和GF，则GE为△ACC1中位线，所以GE//AC,又GE 平面ABC ，AC 平面ABC，故GE//平面ABC.G同理可证GF//平面ABC.又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.解：依题意点D为边BC的中点.
连接A1C交AC1于E，连接DE.
在△ADC1中，DE为三角形中位线，
所以DE//A1B,
又DE 平面ADC1 ，A1B 平面ADC1
故A1B//平面ADC1练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是BC上的点，若AD⊥BC，求证：A1B//平面ADC1 .E练习例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.HG法二：取DC的中点G，连接GN，GM ，往证面GMN//面PAD即可.证明：取PD的中点H，连接HN，AH ，
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线，
所以HN//DC且 HN= DC
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
所以AM//DC且 AM= DC
∴ AM//HN且 AM=HN
即AMNH为平行四边形，故MN//AH
又AH 平面PAD ，MN 平面PAD，
故MN//平面PAD.练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F分别是PC，BD的中点，求证：EF//平面PAD.证明：分别取PD，AD的中点G，H ，连接GE，HF ，GH
在△PDC中，GE为三角形中位线，
所以GE//DC且 GE= DC
同理，HF//AB且 HF= AB
又∵底面为正方形，∴AM//DC且 AM=DC
∴ GE//HF且 GE=HF
即HFEG为平行四边形，故EF//GH
又GH 平面PAD ，EF 平面PAD，
故EF//平面PAD.GH练习例 如图，点B为△ACD所在平面外一点，M，N分别为△ABC，△ABD的重心.(1)求证：MN//平面ACD.(2)若底面边长为1为正三角形，求线段的MN的长度.解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.因为M，N分别为对应三角形的重心，故E，F为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
∴MN//EF且MN= EF.
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD所以 MN// 平面ACD.EF(2) 又因为在△ACD中，EF是三角形的中位线，
所以，EF//CD且EF= CD.
∴MN= ，CD=线段成比例也是常用的找平行线的方法.练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心.(1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 的值.EFH同理，连接BG交CD于中点H，可证NG//平面ACD且NG= FH.又因为MN∩NG=N，所以面MNG//面ACD.练习解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.因为M，N分别为对应三角形的重心，故E，F为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
∴MN//EF且MN= EF.
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD所以 MN// 平面ACD.同理可证明NG= AC且NG//AC， MG= AD且NG//AD练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心.(1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 的值.练习解：(2)因为EF是△ACD的中位线，
所以，EF//CD且EF= CD.
由(1)知MN= EF.
∴MN= CD且MN//CD练1：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在AB1上，F在BD上，B1E=BF，求证：EF// 平面BB1C1C.解:（1）连接AF交BC于点Ｋ，再连接B1K，K又因为EF 平面BB1C1C
B1K 平面BB1C1C
所以EF// 平面BB1C1C练习练2：P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP.求证：MN∥平面PBC.练习过M作ME//AD交BD于点E，连接EN2. 线面平行判定定理应用时应注意: “面外，面内，平行”；面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条，相交”；小结：1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系.方法三：线段成比例.§2.2.2 平面与平面 平行的判定（两平面平行） （两平面相交） 问题探究:（两平面平行） （两平面相交） 问题探究:问题探究:两个平面平行的判定定理: 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．P符号语言：随堂练习：
下面的说法正确吗？
(1) 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(2) 如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(3) 如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )××判定定理剖析： 判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

直线符号语言：证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.

分析:
只要证明：一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行例题讲练
　证明：应用练习： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
×随堂练习1．证明直线与平面平行的方法：（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想方法：转化的思想知识小结直线与平面没有公共点2、证明平面与平面平行的方法：
①定义
②判定定理（线面平行证面面平行） 作业：
P68-69 习题2.2A组
3, 4, 7，8
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．说明:(1)证明直线与平面平行，三个条件必须
具备，才能得到线面平行的结论．1.直线与平面平行判定定理(3)思想:空间问题转化为平面问题.两个平面平行的判定定理: 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．P符号语言：分析:
只要证明：一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行例题讲练
　证明：