直线和圆的方程试卷（有解析）

直线和圆的方程测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
2．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)．
A. B.
C. D.
4．已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
6．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
7．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
8．已知圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　)
A．2＋4 B．9
C．7 D．2＋2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标不能为(　　)
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
10．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上。若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为(　　)
A．(－1,0) B．
C．(1,6) D．
11.已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有(　　)
A．(0，0) B．
C．(3，1) D．(1，1)
12．已知圆C1：x2＋y2＝r2和圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确是(　　)
A．x1＋x2＝a，y1＋y2＝b B．2ax1＋2by1＋a2＋b2＝0
C．2ax2＋2by2－a2－b2＝0 D．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
14．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．
15．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
16．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
18．(本小题满分12分)
已知两条直线：l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
19．(本小题满分12分)
已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.
(1)求d的最小值；
(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．
20．(本小题满分12分)
已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
21.(本小题满分12分)
　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
22．(本小题满分12分)
已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
参考答案
1解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
2解析：选A 若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，解得a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
3解析：选B如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
4解析：选B BC的垂直平分线为x＝1，AB的垂直平分线为y－＝，直线BC，AB的交点为P，点P为圆心，易得距离d＝.
5解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
6解析 选A 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则＝，得c＝±5，所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
7解析 选B 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.
8解析 选B.作圆C1关于x轴的对称圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝1.
|PN|－|PM|≤(|PC2|＋3)－(|PC1|－1)
＝|PC2|－|PC1|＋4＝|PC2|－|PC3|＋4≤|C2C3|＋4＝9.
当点P为x轴与直线C2C3：4x－3y－1＝0的交点Q时取得等号．
9解析 选BD.设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝＝1，
得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
10解析 选AB　设C(m，n)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到边AB所在直线的距离为4。又线段AB所在直线的方程为y－5＝－(x＋1)，即3x＋4y－17＝0。所以解得或故点C坐标为(－1,0)或。
11解析 选BD.由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.将选项中4个点代入，可得只有BD满足小于1，即BD选项中的点在圆内．
12解析 选ACD.因为圆C1：x2＋y2＝r2和圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的两点A，B，所以两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，分别把点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入2ax＋2by－a2－b2＝0 得：2ax1＋2by1－a2－b2＝0，2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以选项C正确，上面两式相减得：2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项D正确，
因为两圆的半径相等，所以由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以＝，＝，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以A正确．
13解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
14解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.
答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0
15解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案　x＋4y－4＝0
16解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案　(－2，－4)　5
17解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝(α∈[0，π))，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，即x±3y＋4＝0.
(2)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，∵直线过点(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝1.此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－，此时直线方程为4x＋3y＝0.综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.
(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
18解析 联立两直线方程当m＝0或m＝2时两直线相交；当m≠0且m≠2时，此时＝，＝，＝，当＝时，即＝，解得m＝－1或m＝3；当＝时，即＝，解得m＝3.
(1)当m≠－1且m≠3时，≠，方程组有唯一一组解．
∴l1与l2相交．
(2)当m＝－1时，＝且≠，方程组无解．∴l1与l2平行．
(3)当m＝3时，＝＝，方程组有无穷多组解．∴l1与l2重合．
19解析　(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.
(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.
20解析：(待定系数法)：根据已知条件，圆心C(a，b)是P1P2的中点，那么它的坐标为a＝＝5，b＝＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是r＝|CP1|＝＝.因此所求圆的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10.分别计算点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆心C(5，6)的距离，得|CM|＝，|CN|＝＞，|CQ|＝3＜.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
21解析　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
22解析　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.