华师大版九年级数学上册 第23章图形的相似 单元测试（含解析）

华师大版九年级数学上册单元测试
第23章图形的相似
一、选择题（每题3分，共24分）
1．已知三条线段的长分别为3，4，6，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 （ ）
A．2 B．4.5 C．5 D．8
2．若，，则的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DEAB），那么小管口径DE的长度是 （ ）
A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
5．如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是 （　　）
A．5 B．7.5 C．9 D．10
6．如图，在平行四边形ABCD中，AE=6，EF=3，BG⊥AE，垂足为G，若BG=8，则△EFC的面积是 （　　）
A．12 B．6 C．8 D．10
7．如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与，，，，分别交于点，，，，，设，，的面积依次为，，．若，则的值为 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若2a-3b=0，则___________．
10．已知，，，则的周长之比为____．
11．若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．
12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________．
13．如图，已知＝，AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，则AC＝______ cm．
14．如图，在ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且，则___________．
15．如图，，若 AC 8 ， BD 12 ，则 EF ___________．
16．现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝_____米．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
18．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长．
19．如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB＝4，AD＝6．求点A到直线DE的距离．
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．
22．已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．
(1)如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
23．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
(1)求证：CH＝BE；
(2)如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；
(3)设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．
24．在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．
(1)如图1，若AE=AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的长；
(2)如图2，若AE=BC且F为EC中点，求证：∠AFD=∠C；
(3)若2∠AED-∠C=180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．
25．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．
②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
试卷第2页，共2页
试卷第2页，共6页
参考答案：
1．
解：A、∵2×6=3×4，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；
B、∵3×6=4×4.5，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；
C、∵3×6≠4×5，∴四条线段不能组成比例线段，故选项符合题意；
D、∵3×8=4×6，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意．
故选：C．
2．
解：设，则，，，
，即，
，
，
故选：D．
3．
解：∵abc，
∴＝，
∵DE＝2EF，AC＝6，
∴＝2，
解得：AB＝4，
故选：C．
4．
∵DEAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
解得：DE=，
故选B．
5．
解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG＝2GE，
∵BE＝BG+GE＝15，
∴BG＝10，
故选：D．
6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠BAE，
∵∠FEC=∠AEB，
∴△EFC∽△EAB，
∴；
∵BG⊥AE，BG=8，
∴，
∴，
故选：B．
7．
解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，
∴，
∴∠AED=∠EGF=∠GBH，
∴∠DEF=∠FGH=∠HBC，
∵FEHGBC，
∴∠AQE=∠AMG=∠ACB，
∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，
∵QEMG，
∴△AEQ∽△AGM，
∴
∵MGCB，
∴△AGM∽△ABC，
∴则
∵
∴
∴，
故选D．
8．
解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，
而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴，
∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，
∴在Rt△DCE中，，
∴，
解得，
∵DF⊥AF，
∴，
∴，
而AD=AB=3，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴D的坐标为．
故选：D．
9．
解：∵2a-3b=0，
∴2a=3b，即，
∴．
故答案为：3
10．
解：∵，，，
∴；
故答案为：4∶3．
11．
解：设线段a，b的比例中项是xcm，
∵a＝4cm，b＝9cm，
∴，
∴x=6cm．
故答案为：6
12．
解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2），
∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称，
∴△PQR和△ABC关于原点对称．
∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点，
∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）．
故答案为：（﹣x，﹣y）．
13．
解：∵＝，且AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，
∴＝，
∴AE＝6cm，
∴AC＝AE＋EC＝6＋4＝10cm，
故答案为：10．
14．
解：如图所示，平行四边形，过点作交于点，交于点，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
故答案是：．
15．
解：∵，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ADB，
∴，
∴，
即，
∴，
∵AC 8 ， BD 12 ，
∴，
解得：．
故答案为：
16．
解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，
∴，
∴，，
∴△AOH∽△ABN，
∴，
即①，
同理可得：△BOH∽△BAM，
∴，
即②，
①+②，得，
∴OH=1.2（米），
故答案为：1.2．
17．
证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，

又
∽
18．
解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，
∴AC=AD+CD=24，
∴AE=8，AB=18，
∴BE=AB-AE=10．
19．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴CE＝3，
由勾股定理得，，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠DFA＝∠C，
∴，
∴，
∴，
∴AF＝，
即点A到直线DE的距离为．
20．
解：△PMN是等腰三角形，
理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△DBC的中位线，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．
21．
解：在中， ，，
由勾股定理得：，
∴，
根据题意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴．
22．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴．
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴△PDA∽△OCP；
（2）∵，△PDA∽△OCP，
∴，即，
∴．
设，则，
由折叠可知，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC+∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）解：∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DHBC，
∴，
∴GC＝2GH，
设GH＝x，则CG＝2x，
∴3x＝8，
∴x＝．
即GH＝；
（3）解：当的值为时，则，
∵DH＝CE，DC＝BC，
，
∵DHBC，
，
，
设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，
∴S△BCD＝49a+21a＝70a，
∴S1＝2S△BCD＝140a，
∵S△DEG：S△CEG＝4：3，
∴S△DEG＝12a，
∴S2＝12a+9a＝21a．
∴．
24．
（1）证明：取AC的中点G，连接DG，（如图1）
∵D为AB的中点，
∴DG为△ACB的中位线，
∴DG=BC=1，DGBC，
∵∠C=90°，
∴DG⊥BC，
∵AE=AC，AC=4，
∴AE=1，
在Rt△DGE中，DE=；
（2）证明：连接BE，取BE中点M，再连接MF、MD．（如图2）
∵F为EC中点，D为AB中点，
∴MFBC且MF=BC，MDAB且MD=AE，
∴MF=MD，
∴∠MDF=∠MFD，
又∵MDAE，
∴∠AFD=∠MDF，
∴∠AFD=∠AFM，
∵MFAC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFD=∠ACB，
即：∠AFD=∠C；
（3）解：AC=2AE+BC，（如图3）
证明：在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM，
∵AE=EM，AD=DB，
∴DEBM，
∴∠AED=∠AMB=∠MHC+∠MCH=90°+∠MCH，
∵2∠AED-∠ACB =180°，
∴∠AED=90°+∠ACB，
∴∠MCH=∠ACB，
∴∠ACB =2∠MCH，
∴△CHM≌△CHB，
∴BC=MC，
∴AC=2AE+BC．
25．
（1）解：，，，
，，
点是的中点，
、是的中位线，
，，
，
故答案为：3；
（2）①过点作于点，于点，如图2所示：
则，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
同（1）得：，
，
故答案为：3；
②过点作于点，于点，如图3所示：
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
与①同理得：，
；
（3）如图所示：
在中，由勾股定理得：，
，
与相似分两种情况：
①，则，即，整理得：，
，
；
②，则，即，整理得：，
，
；
综上所述，当或时，与相似；
故答案为：或．
答案第1页，共2页