14.3.2 公式法-完全平方公式 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
14.3.2 公式法
完全平方公式
人教版八年级上册
知识回顾
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
知识回顾
提公因式法分解因式
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
教学目标
1.了解并掌握公式法分解因式的运算法则.
2.熟练运用公式法分解因式的运算法则进行实际的计算.
新知导入
我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，完全平方公式可以用来分解因式吗？
新知探究
问题1：完全平方公式内容是什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
问题2：将下列多项式分解因式
a2+2ab+b2= .
a2-2ab+b2= .
(a+b)2
(a-b)2
新知探究
问题3：多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？
一共有三项，首、末两项和是两个数的平方和的形式，而中间的一项是这两个数的积的2倍或-2倍.
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
符合两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍这个特点的式子就是完全平方式.
新知探究
形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的完全平方式，可以用完全平方公式进行分解因式。
例如
a2+2ab+b2= .
a2-2ab+b2= .
(a+b)2
(a-b)2
新知探究
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
新知练习
(3).a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
(2).m –6m+9=( ) – 2· ( ) ·( )+( ) =( )
(1). x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
1.对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m – 3
3
x
2
m
3
新知探究
下列各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4; (2)1+4a ;
(3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
不是
是
ab不是a与b的积的2倍.
新知探究
公式法：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
a2-b2=(a+b)(a-b);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
新知典例
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ (3)2.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
新知练习
2. 把下列多项式因式分解.
(1)x2–12xy+36y2. (2)16a4+24a2b2+9b4.
解：(1)x2–12xy+36y2
=x2–2·x·6y+(6y)2
=(x–6y)2.
(2)16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2.
新知探究
例2 把下列各式分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 ； (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1) 3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2) (a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看成一个整体，设原式化为m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.
新课练习
2.把下列多项式因式分解.
(1)–2xy–x2–y2. (2)4–12(x–y)+9(x–y)2.
解：(1)–2xy–x2–y2
= –(x2+2xy+y2)
= –(x+y)2.
(2)4–12(x–y)+9(x–y)2
=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2
=［2–3(x–y)］2
=(2–3x+3y)2.
新知典例
例3 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
课堂练习
3. 如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
±8
新知典例
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002–2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100–99)
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
新知练习
4. 计算: 7652×17–2352 ×17.
解：7652×17–2352 ×17
=17 ×(7652 –2352)
=17 ×(765+235)(765 –235)
=17 ×1 000 ×530
=9010000.
新知典例
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
新知典例
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0
即(a+1)2+(b–2)2=0
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．
新知练习
5. 已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，
∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.
∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，
∴x–2＝0，y–5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
小结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
课堂小结
检查是否分解彻底，若没有则继续分解
一提
考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式
二套
看多有无公因式，若有应先提取公因式
因式分解的一般步骤：
三查
不能直接套公式时可适当变形整理
课堂总结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2–6a＋9
C．x2＋5y D．x2–5y
2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x–y)–x3 B．–x(x–2y)2
C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)
B
B
课堂练习
3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．
1
4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．
±4
课堂练习
5. 把下列多项式因式分解.
(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1–x2;
(2)原式=[2(2a+b)] – 2·2(2a+b)·1+(1) =(4a+2b– 1)2;
解：(1)原式=x2–2·x·6+(6)2=(x–6)2;
(3)原式=(y+1) –x =(y+1+x)(y+1–x).
课堂练习
(2)原式
6.计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9–48.9)2
＝100.
谢谢
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