函数的概念与性质试卷及答案（含解析）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，与y＝x相同的函数是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝lg 10x
C．y＝ D．y＝()2＋1
2．与函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B.
C. D．[1，2)
5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
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6．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
7．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，
④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是(　　)
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A．①甲，②乙，③丙，④丁 B．①乙，②丙，③甲，④丁
C．①丙，②甲，③乙，④丁 D．①丁，②甲，③乙，④丙
8．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)
A．多于4 B．4
C．3 D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　)
A．－1 B.
C．－ D．1
10．下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C. F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
11.已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A．a＝1，b> B．0C．a＝－1，b＝2 D．a＝，b＝1
12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　)
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
14．函数y＝的值域为________．
15．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
16．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
(本小题满分12分)
求下列函数解析式
(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x).
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x).
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，求f(x).
19．(本小题满分12分)
某镇充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a(单位：万元)满足M＝N＝a＋20。设甲合作社的投入为x(单位：万元)，两个合作社的总收益为f(x)(单位：万元)。
(1)当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
参考答案
1解析： 选B　选项A，y＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B，y＝lg 10x＝x，
是相同函数；选项C，y＝＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同；选项D，函数的定义域不相同，不是相同函数．
故选B.
2解析：选B　y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
3解析：选C (log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．故.
4解析：选D f(x)的定义域为(－∞，2)，且f(1)＝0.当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，f(x)为增函数．
5解析　选D 由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0，
由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.
6解析 选A 由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.
7解析 选D 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.
8解析 选B　由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，
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观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
9解析 选AD 根据题意，f(x)＝若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解得x＝－1；②当－110解析 选CD 于A项，因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；对于B项，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，关于原点对称．所以g(x)＝＝＝，满足g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；
对于C项，因为F(x)＝f(x)f(－x)，所以F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，所以F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，C项正确；对于D项，由解得x＝±1.故函数h(x)的定义域为{－1，1}，且h(x)＝0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确．
11解析 选ABD 由题意知，不等式ax＋2≠0对任意的x∈(－2，＋∞)恒成立。①当a＝0时，f(x)＝x＋在区间(－2，＋∞)上单调递增，则>0，解得b>0；②当a>0时，由ax＋2≠0，可得x≠－，则－≤－2，解得0所以b>a，当a＝1时，b>a＝合乎题意；当0a恒成立，合乎题意；当a＝时，b＝1>a恒成立，合乎题意；③当a<0时，则－>0，函数y＝f(x)在x＝－没有定义，C项不合乎题意。
12解析 选BCD 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.
在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；
在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；
在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；
在选项D中，当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
13解析： 由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1答案：(－1,3)
14解析： y＝＝＝1－，因为≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．
答案：{y|y∈R且y≠1}．
15解析：∵f(－x)＝＝，∴f(－x)＋f(x)
＝
＝.由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得k2＝1，∴k＝±1.
答案：±1.
16解析　(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合题意．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．
答案：a＝－
17解析：(1)由得解得所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：
18解析　(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(3)(消去法)在f(x)＝2f()·－1中，用代替x，
得f()＝2f(x) ·－1，将f()＝－1代入f(x)＝2f()·－1中，可求得f(x)＝＋.
19解析　(1)当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入47万元，此时两个合作社的总收益为f(25)＝4＋25＋×47＋20＝88.5(万元)。
(2)设甲合作社的投入为x万元(15≤x≤57)，则乙合作社的投入为(72－x)万元。当15≤x≤36，则36≤72－x≤57，f(x)＝4＋25＋(72－x)＋20＝－x＋4＋81。令t＝，得≤t≤6，则总收益为g(t)＝－t2＋4t＋81＝－(t－4)2＋89，显然当t＝4时，g(t)max＝89＝f(16)，即当甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元。当36f(x)＝49＋(72－x)＋20＝－x＋105 ，显然f(x)在(36,57]上单调递减，所以f(x)因为89>87，所以该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元
20解析　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝.
①当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增．∴f(x)min＝f()＝－＝－.
②当>1，即0∴f(x)在[0,1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
21解析 (1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．
(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.又f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x)＝＝.
所以解析式为f(x)＝
22解析 (1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)x2，则x1－x2＞0.则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，
∴f(x1－x2)<0，即f(x1)(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.