人教A版(2019)高中数学必修第一册基本不等式课时作业(十)(含解析）

课时作业(十)　基本不等式
练 基 础
1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)
A.a＝4 B．a＝
C．a＝－ D．a＝±
2．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
3．若a，b都为正实数且a＋b＝1，则2ab的最大值是(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知p＝a＋(a＞2)，q＝－b2－2b＋3(b∈R)，则p，q的大小关系为(　　 )
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q
5．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x＞y，则下列结论正确的是(　　 )
A．＞ B．＜
C．＋≥2 D．()2＜
6．函数f(x)＝＋(x＞0)的最小值是________．
7．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
8．已知x>0，求x－1＋的最小值．
甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学的解答： 因为x＞0， 所以x－1＋≥2 . 上式中等号成立当且仅当x－1＝，即x2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝－1(舍). 当x＝2时，2＝2. 所以当x＝2时，x－1＋的最小值为2. 乙同学的解答： 因为x＞0， 所以x－1＋＝x＋－1≥2－1＝2－1. 上式中等号成立当且仅当x＝，即x2＝2，解得x1＝，x2＝－(舍). 所以当x＝时，x－1＋的最小值为2－1.
以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误．
请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因．
提 能 力
9.已知x，y，z都是正实数，若xyz＝1，则(x＋y)(y＋z)(z＋x)的最小值为(　　 )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．[2022·湖北武昌高一期末](多选)下列说法正确的是(　　 )
A．x＋(x＞0)的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．2－3x－的最小值是2－4
11．已知a，b均为正数，且2a＋b＝4，则ab的最大值为________，a2＋b2的最小值为________．
12．已知a>0，b>0，c>0，且abc＝1，求证：＋＋≤＋＋.
培 优 生
13.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
课时作业(十)　基本不等式
1．解析：此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±.
答案：D
2．解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
3．解析：因为a，b都为正实数，a＋b＝1，
所以2ab≤2×()2＝，
当且仅当a＝b，即a＝，b＝时，2ab取最大值.
答案：D
4．解析：因为a＞2，可得p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当a－2＝时，即a＝3时，等号成立，即p≥4，
又由q＝－b2－2b＋3＝－(b＋1)2＋4，所以q≤4，
所以p≥q.
答案：A
5．解析：当x＞y＞0时，得＜，A错；
当x＞0＞y时，＞，B错；
＞0，＞0，＋≥2＝2，当且仅当|x|＝|y|时，等号成立．C正确；
x，y是实数，则x2＋y2≥2xy，2(x2＋y2)≥x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，所以()2≤，当且仅当x＝y时等号成立，D正确．
答案：CD
6．解析：因为x＞0，
所以f(x)＝＋≥2 ＝2，
当且仅当＝，即x＝2时，取等号，
所以函数f(x)＝＋(x＞0)的最小值为2.
答案：2
7．解析：∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
答案： －2
8．解析：甲同学的解答是错误的，
x－1＋≥2 不对，
不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解．
9．解析：由x＞0，y＞0，z＞0可知
x＋y≥2＞0(当且仅当x＝y时等号成立)
y＋z≥2＞0(当且仅当y＝z时等号成立)
x＋z≥2＞0(当且仅当x＝z时等号成立)
以上三个不等式两边同时相乘，可得
(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8＝8(当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立)
答案：D
10．解析：当x＞0时，x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)，A正确；
＝，因为x2≥0，所以＝≥，B正确；
＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当x＝1时，2－3x－＝2－3－4＝－5<2－4，D错误．
答案：AB
11．解析：由题意，得4＝2a＋b≥2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立，
所以0a2＋b2＝a2＋(4－2a)2＝5a2－16a＋16＝5(a－)2＋≥，当a＝，b＝时取等号．
答案：2　
12．解析：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得
2(＋＋)≥2(＋＋)，即＋＋≤＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
13．解析：∵a＋b≥2，∴ab≤()2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
∵c＋d≥2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时取等号．
故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．
答案：A