课时作业(十九) 幂函数
练 基 础
1.[2022·江苏徐州高一期末]若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(2)的值为( )
A. B. C. D.2
2.如图,①②③④对应四个幂函数的图象,其中①对应的幂函数是( )
A.y=x3 B.y=x2
C.y=x D.y=x
3.设a=(),b=(),c=(2),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.ac>a
4.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是幂函数,且为偶函数,则实数m=( )
A.2或-1 B.-1
C.4 D.2
5.(多选)已知幂函数f(x)=(m-2)xm,则( )
A.m=3
B.定义域为[0,+∞)
C.(-1.5)m<(-1.4)m
D.=2
6.写出一个在区间[-1,1]上单调递增的幂函数:f(x)=________.
7.已知幂函数f(x)=xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=________.
8.已知幂函数f(x)的图象过点(3,27).
(1)求出此函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明.
提 能 力
9.(多选)已知幂函数f(x)=xα图象过点(4,2),则下列命题中正确的是( )
A.α=
B.函数f(x)的定义域为(0,+∞)
C.函数f(x)为偶函数
D.若x>1,则f(x)>1
10.若幂函数y=(m2+3m+3)的图象不过原点,且关于原点对称,则( )
A.m=-2 B.m=-1
C.m=-2或m=-1 D.-3≤m≤-1
11.已知幂函数f(x)的图象过点(-2,16),则f(x)=________,f(x+1)≤f(3x-1)的解集为________.
12.已知幂函数f(x)=(m2-3m-9)xm-3在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a-1)m>(a+2)m,求a的取值范围.
培 优 生
13.已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0<m<1)与y=xa,y=xb的图象分别交于A,B,C,D四点,且|AB|=|CD|,则ma+mb=( )
A. B.1 C. D.2
课时作业(十九) 幂函数
1.解析:设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象过点(4,2),所以4α=2,解得α=,所以f(x)=x,所以f(2)=2=.
答案:C
2.解析:根据函数图象可得:①对应的幂函数y=xα在[0,+∞)上单调递增,且增长速度越来越慢,故α∈(0,1),故D选项符合要求.
答案:D
3.解析:构造幂函数y=x,x>0,由该函数在定义域内单调递增,知1>a>b;又c=2>1,知aa>b.
答案:B
4.解析:由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
又因为f(x)为偶函数,所以指数m2-2m-2为偶数,故只有m=2满足.
答案:D
5.解析:∵f(x)为幂函数,∴m-2=1,得m=3,∴f(x)=x3,A对;
函数f(x)的定义域为R,B错误;
由于f(x)在R上为增函数,-1.5<-1.4,∴(-1.5)3<(-1.4)3,C对;
∴f(2)=23=8,∴=2,D错误.
答案:AC
6.解析:因为幂函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
所以幂函数可以是f(x)=x.
答案:x(答案不唯一)
7.解析:由题意得=1且m<0,则m=-2,f(x)=x-2,故f(2)=.
答案:
8.解析:(1)设幂函数f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(3,27),所以有3α=27 α=3,因此f(x)=x3;
(2)函数f(x)是奇函数,理由如下:
∵定义域为R且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
9.解析:∵幂函数f(x)=xα图象过点(4,2),
∴4α=2,即α=,
∴f(x)=x,故A正确;
又函数的定义域为[0,+∞),故B错误;
函数为非奇非偶函数,故C错误;
当x>1时,f(x)=x>1,故D正确.
答案:AD
10.解析:根据幂函数的概念,得m2+3m+3=1,解得m=-1或m=-2.
若m=-1,则y=x-4,其图象不关于原点对称,所以不符合题意,舍去;
若m=-2,则y=x-3,其图象不过原点,且关于原点对称.
答案:A
11.解析:依题意,设f(x)=xα,则f(-2)=(-2)α=16,解得α=4,于是得f(x)=x4,显然f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,而f(x+1)≤f(3x-1) f(|x+1|)≤f(|3x-1|),
即有|x+1|≤|3x-1|,解得x≤0或x≥1,
所以f(x+1)≤f(3x-1)的解集为(-∞,0]∪[1,+∞).
答案:x4 (-∞,0]∪[1,+∞)
12.解析:(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-3m-9=1,
所以m2-3m-10=0,即(m+2)(m-5)=0,
解得m=-2或m=5.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-3<0,即m<3,则m=-2.
(2)由(1)可知m=-2,则(2a-1)m>(a+2)m等价于>,
所以,即,
解得-<a<或<a<3.
故a的取值范围是(-,)∪(,3).
13.解析:由题意,|AB|=(m2)a-(m2)b,|CD|=ma-mb,根据图象可知b>1>a>0,因为0<m<1时,(m2)a>(m2)b,ma>mb,因为|AB|=|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,因为ma-mb>0,可得ma+mb=1.
答案:B