课时作业(四十四) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
练 基 础
1.sin (－)cos ＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．已知sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．已知cos α＝，则sin (－2α)＝( )
A．－ B． C．－ D．
4．已知α∈(0，π)，tan α＝，则sin 2α＝( )
A． B． C． D．
5．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．2sin215°－1
C． D．
6.＝________．
7．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝________．
8．已知sin α＝－，α∈(－，0).
(1)求sin 2α，cos 2α的值；
(2)求tan (2α＋)的值．
提 能 力
9.已知tan (＋α)＝－2，则＝( )
A．2 B．
C．－2 D．－
10．[2022·广东东莞高一期中](多选)已知sin 2α＝，则sin (α＋45°)的值可能是( )
A．－ B．－
C． D．
11．已知sin (α－)＝，其中α∈(，π)，则cos (α－)＝____________，sin (2α－)＝____________．
12．已知tan (π＋α)＝.
(1)求cos 2α的值；
(2)求的值．
培 优 生
13.设函数f(x)与g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f(g(x))＝g(f(x))成立，称函数f(x)与g(x)是M上的“互嵌函数”．若函数f(x)＝2x与g(x)＝tan x是M上的“互嵌函数”，则集合M＝____________.
课时作业(四十四) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．解析：sin (－)cos ＝－sin cos ＝－sin (×2)＝－.
答案A
2．解析：由题意得，cos α＝1－2sin2＝.
答案：D
3．解析：∵cosα＝，
∴sin (－2α)＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.
答案：A
4．解析：sin2α＝2sin αcos α＝＝，
因为tanα＝，所以sin 2α＝＝.
答案：C
5．解析：A：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，不合题设；
B：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－，不合题设；
C：＝tan30°＝，符合题设；
D：＝＝＝＝，符合题设．
答案：CD
6．解析：原式＝＝＝2.
答案：2
7．解析：sin α－cos α＝，
两边平方得：1－sin 2α＝，则sin 2α＝－.
答案：－
8．解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，且α∈(－，0)，则cosα＞0.
∴cos α＝＝＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－)×＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝.
(2)由(1)知sin2α＝－，cos 2α＝，
所以tan 2α＝＝－×＝－.
所以tan (2α＋)＝＝＝－.
9．解析：已知tan (＋α)＝－2＝，∴tan α＝3，
则＝＝＝－.
答案：D
10．解析：sin2α＝2sin αcos α＝，则sin α，cos α同号，由于sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)，所以sin (α＋45°)＝±＝± ＝±.
答案：AD
11．解析：因为sin (α－)＝，
所以cos (α－)＝cos (－α)＝sin
＝sin (－α)＝－sin (α－)＝－，
因为α∈(，π)，
所以α－∈(，π)，sin (α－)＝，
所以sin (2α－)＝sin [2(α－)]，
＝2sin (α－)cos (α－)，
＝2×(－)×＝－.
答案：－ －
12．解析：(1)tan (π＋α)＝tan α＝.
∵tan α＝＝，∴cos α＝2sin α，
两边平方得cos2α＝4sin2α，
∴cos2α＝4(1－cos2α)解得cos2α＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
(2)＝＝
＝－tan α＝－×＝.
13．解析：依题意，2tan x＝tan 2x，化简得2tan x＝，解得tanx＝0，则x＝kπ，k∈Z，
所以集合M＝{x|x＝kπ，k∈Z}．
答案：{x|x＝kπ，k∈Z}课时作业(四十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)
练 基 础
1.为了得到函数 y＝sin (3x－)的图象，需将函数 y＝sin (x－)的图象( )
A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
2．[2022·江苏盐城高一期末]将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．cos 2x B．－cos 2x
C．sin (2x＋) D．sin (2x－)
3．函数y＝sin (2x＋)在区间[－，π]上的简图是( )
4．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式是( )
A.g(x)＝sin 2x
B．g(x)＝sin (2x＋)
C．g(x)＝sin (2x－)
D．g(x)＝sin (2x＋)
5．(多选)记函数y＝cos x的图象为C1，函数y＝cos (2x＋)的图象为C2，则( )
A．把C1上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到C2
B．把C1上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到C2
C．把C1向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到C2
D．把C1向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到C2
6．函数y＝2sin (2x－)的对称轴方程为________________.
7．已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则φ＝________．
8．已知函数f(x)＝sin (2x－).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
提 能 力
9.将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)·sin x的图象，则f(x)的表达式可以是( )
A．f(x)＝－2cos x
B．f(x)＝2cos x
C．f(x)＝sin 2x
D．f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)
10．(多选)已知f(x)＝cos (2x＋)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在[0，]上单调递增
C．f(x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＋(k∈Z)
11.
函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，BC∥x轴，则ω＝________，φ＝________．
12．已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(0＜ω＜3，|φ|＜)，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是；②f()＝3；③f(－)＝0.
(1)请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数f(x)的解析式；
(2)将(1)中函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，请写出函数g(x)的解析式，并求其单调递减区间．
培 优 生
13.已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)＋2(ω＞0，0＜φ＜π)为偶函数，点A(x1，2)，B(x2，－2)是f(x)图象上的两点，若|x1－x2|的最小值为2，则f()＝__________．
课时作业(四十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)
1．解析：将函数y＝sin (x－)的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
即可得到函数y＝sin (3x－)的图象．
答案：C
2．解析：把函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后可得：
y＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x.
答案：A
3．解析：因为y＝f(x)＝sin (2x＋)，
∴f(0)＝－，所以排除BD；
由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
由2kπ＋≤2x＋π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以可知函数f(x)在[，]上单调递增．在[0，]上单调递减，所以排除A.
答案：C
4．解析：由图可知A＝1；设周期为T，则T＝－＝，所以T＝π；
又T＝＝π，所以ω＝2.
由2×＋φ＝kπ，k∈Z，令k＝0，得φ＝.
所以f(x)＝sin (2x＋)；
因为将y＝f(x)的图象向右平移单位长度得到函数y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝sin (2x－).
答案：C
5．解析：把C1上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到y＝cos x，不符合题意，A选项错误．把C1上所有点的横坐标缩短到原来的得到y＝cos 2x，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos [2(x＋)]＝cos (2x＋)，符合题意，B选项正确．把C1向左平移个单位长度得到y＝cos (x＋)，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos (2x＋)，符合题意，C选项正确．把C1向左平移个单位长度得到y＝cos (x＋)，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos (x＋)，不符合题意，D选项错误．
答案：BC
6．解析：由2x－＝＋kπ(k∈Z)，得2x＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，
所以函数y＝2sin (2x－)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
答案：x＝＋(k∈Z)
7．解析：由图可知＝－＝，因为ω＞0，所以T＝＝π，解得ω＝2，
因为函数y＝sin (2x＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象过点(，1)，
所以sin (2×＋φ)＝1，又|φ|＜，
所以φ＝－.
答案：－
8．解析：(1)因为f(x)＝sin (2x－)，
取值列表：
x
2x－ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，可得函数图象如图所示：
(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝sin (x－)，再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin (2x－)，即f(x)的图象．
9．解析：∵将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位得y＝cos 2(x－)＝cos (2x－)＝sin 2x＝2sin x cos x＝f(x)·sin x，∴f(x)＝2cos x.
答案：B
10．解析：T＝＝π，A正确；0≤x≤，2x＋∈[，]，所以f(x)在[0，]上不单调，所以B错误；f(x)的图象向左平移个单位长度得到：y＝cos [2(x＋)＋]＝cos (2x＋)＝－sin 2x，为奇函数，C正确；由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，D正确．
答案：ACD
11．解析：通过函数的图象可知，
点B、C的中点为(，－1)，与它相邻的一个零点是，
设函数的最小正周期为T，则T＝－ T＝π，
而T＝＝π，∵ω＞0，∴ω＝2，把(，－1)代入函数解析式中，
得sin (2·＋φ)＝－1 2·＋φ＝2kπ－ φ＝2kπ－，
∵|φ|＜，∴φ＝.
答案：2
12．解析：(1)选①②，因为相邻两个对称中心的距离为，
所以＝，得T＝π.由T＝，得ω＝2.
由f()＝3，得×2＋φ＝2kπ＋，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝3sin (2x＋).
选①③，因为相邻两个对称中心的距离为，所以＝，得T＝π.
由T＝，得ω＝2.由f(－)＝0，得(－)×2＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，因为|φ|＜，
所以φ＝，所以f(x)＝3sin (2x＋).
选②③，由题意－(－)＝(＋n)×或
－(－)＝(＋n)×(n∈Z)，
即＝(＋n)×或＝(＋n)×(n∈Z)，
得ω＝8n＋2或ω＝8n＋6(n∈Z).因为0＜ω＜3，
所以ω＝2.由f(－)＝0，得(－)×2＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝3sin (2x＋).
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝3sin (2x－)的图象，
再将横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝3sin (3x－)的图象．
由＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)，
所以函数g(x)的单调递减区间为[＋，＋](k∈Z).
13．解析：因为函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)＋2为偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，
又因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin (ωx＋)＋2＝4cos ωx＋2，
因为|x1－x2|的最小值为2，所以T＝8，所以＝8，即ω＝，
所以f(x)＝4cos x＋2，所以f()＝4cos (×)＋2＝4.
答案：4课时作业(三十三) 弧度制
练 基 础
1.780°＝( )
A． B．
C． D．
2．下列角中与－π终边相同的角是( )
A．－30° B．－40°
C．20° D．390°
3．已知角α＝5，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2rad，则扇形的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．－150°化成弧度是－
B．－化成角度是－600°
C．若角α＝2rad，则角α为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为3 cm，则扇形面积为 cm2
6．高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为________．
7．已知扇形的周长为4，圆心角为2rad，则扇形面积为________．
8．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
提 能 力
9.现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是( )
A． B． C． D．
10．(多选)下列表述中正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B.终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C.终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
11．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为4，则圆心角所对的弧长为________，该扇形的面积为________．
12．已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l.
(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值．
培 优 生
13.C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对(C，S)取值的是( )
A．(3，1) B．(5，1)
C．(4，2) D．(4，3)
课时作业(三十三) 弧度制
1．解析：因1°＝，所以780°＝780×＝.
答案：D
2．解析：由角度制与弧度制的互化公式，可得－π＝－330°，
与角－330°终边相同的角的集合为A＝{α|α＝－330°＋k·360°，k∈Z}，
令k＝2，可得α＝390°，
所以与角α＝－330°终边相同的角是α＝390°.
答案：D
3．解析：因为5≈5×57.30°＝286.5°，所以α是第四象限角．
答案：D
4．解析：设扇形的弧长为l，
由题得2＝，∴l＝4.
所以扇形的面积为S＝×4×2＝4.
答案：C
5．解析：对于A选项，－150°＝－150×＝－，A错；
对于B选项，－＝－×180°＝－600°，B对；
对于C选项，∵＜2＜π，故角α为第二象限角，C对；
对于D选项，∵30°＝，故扇形的面积为××32＝πcm2，D错．
答案：BC
6．解析：时间经过2小时，钟表的时针顺时针方向转过60°，
故时针转过的弧度数为－.
答案：－
7．解析：设扇形的半径为r，则4r＝4，可得r＝1，而扇形的弧长为l＝2r＝2，
所以扇形面积为S＝lr＝1.
答案：1
8．解析：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，
所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
9．解析：当小轮转一周时，大轮转动周，
所以大轮转动的弧度是×2π＝.
答案：C
10．解析：终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．
答案：ABC
11．解析：
由已知可得∠AOB＝，AB＝4，
连接圆心O与弦AB的中点C，则OC⊥AC，∠AOC＝，AC＝2，
∴OA＝4，即扇形的半径为4，
∴圆心角所对的弧长l＝×4＝，扇形的面积S＝××4＝.
答案：
12．解析：(1)∵α＝135°＝，∴扇形的弧长l＝αr＝×10＝；
(2)∵扇形AOB的周长L＝2r＋l＝2r＋αr＝(α＋2)r＝22，∴α＝－2，
∴扇形AOB面积S＝αr2＝(－1)r2＝－r2＋11r，
则当r＝时，Smax＝，
即当α＝2时，扇形面积最大值Smax＝.
13．解析：设扇形半径为r，弧长为l，l≤2πr，
则C＝2r＋l，S＝lr，
当C＝2r＋l＝3，S＝lr＝1，有2r2－3r＋2＝0，Δ＝9－4×2×2＜0，则r无解，故A错；
当C＝2r＋l＝5，S＝lr＝1，有2r2－5r＋2＝0，得r＝2，l＝1，故B正确；
当C＝2r＋l＝4，S＝lr＝2，有r2－2r＋2＝0，Δ＝4－4×2＜0，则r无解，故C错；
当C＝2r＋l＝4，S＝lr＝3，有r2－2r＋3＝0，Δ＝4－4×3＜0，则r无解，故D错．
答案：B课时作业(四十五) 简单的三角恒等变换
练 基 础
1.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知cos 2α＝，其中α∈(－，0)，则sin α的值为( )
A． B．－ C． D．－
3.的值等于( )
A．sin 40° B．cos 40°
C．cos 130° D．±cos 50°
4．函数f(x)＝sin x－2cos x的最大值为( )
A．1 B． C． D．3
5．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则f(x)( )
A．为偶函数
B．在区间(0，)单调递减
C．最大值为2
D．为奇函数
6．函数f(x)＝sin －cos 的最小正周期为________．
7．若sin θ＝，＜θ＜3π，那么sin ＝________.
8．求证：＝.
提 能 力
9.若α∈(0，)，＝tan ，则tan α＝( )
A． B． C． D．
10．(多选)已知4cos (α＋)＝cos 2α，则( )
A．sin α＋cos α＝ B．α＝kπ＋(k∈Z)
C．tan 4α＝0 D．tan α＝1
11．函数f(x)＝cos x＋sin x的最大值为________，记函数取到最大值时的x＝θ，则cos (θ－)＝________．
12．已知函数f(x)＝2sin cos －2sin2＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)设g(x)＝f(＋)，求函数g(x)的单调区间．
[培优生]
13.
北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ＝________．
课时作业(四十五) 简单的三角恒等变换
1．解析：∵＜α＜π，∴＜＜，∵cos α＝－，∴sin ＝ ＝.
答案：D
2．解析：由cos 2α＝1－2sin2α，cos2α＝
所以sin α＝± ＝±.
∵α∈(－，0)，∴sin α＝－.
答案：B
3．解析： ＝＝＝|cos130°|，
所以 ＝－cos 130°＝sin 40°.
答案：A
4．解析：f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin (x－θ)(其中tan θ＝2)，
所以当sin (x－θ)＝1时，f(x)取最大值.
答案：C
5．解析：f(x)＝sin (2x＋＋)＝sin (2x＋)＝cos 2x，
所以f(x)是偶函数，A正确，D错误．
2kπ≤2x≤2kπ＋π kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，减区间为[0，]，所以B正确．
f(x)最大值为，C错误．
答案：AB
6．解析：f(x)＝sin －cos ＝2sin (－)，
所以函数的最小正周期为＝4π.
答案：4π
7．解析：若sin θ＝，＜θ＜3π，
∴∈(，)，cos θ＝－＝－，
那么sin＝－＝－.
答案：－
8．证明：左式＝＝
＝＝，即得证＝.
9．解析：因为tan ＝，所以＝，
又因为α∈(0，)，sin ≠0，所以2－cos α＝2cos2，即2－cosα＝1＋cos α，
所以cos α＝，又因为α∈，
所以α＝，tan α＝.
答案：B
10．解析：依题意4cos (α＋)＝cos 2α，
4(cos αcos －sin αsin )＝cos2α－sin2α，
2(cosα－sin α)＝cos2α－sin2α，
(cosα＋sin α)(cos α－sin α)－2(cos α－sin α)＝0，
(cos α＋sin α－2)(cos α－sin α)＝0，
所以cos α＋sin α－2＝0或cos α－sin α＝0，
sin (α＋)＝2，或sin α＝cos α，
sin (α＋)＝2(舍去)，或tan α＝1，
所以α＝kπ＋(k∈Z)，
4α＝4kπ＋π(k∈Z)，tan 4α＝tan (4kπ＋π)＝tan π＝0.
所以A选项错误，BCD选项正确．
答案：BCD
11．解析：∵f(x)＝cos x＋sin x＝sin (x＋φ)，cos φ＝，sin φ＝，
∴f(x)max＝，
此时，x＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝2kπ＋－φ，k∈Z，
∴θ＝2kπ＋－φ，k∈Z，
∴cos θ＝sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，
cos (θ－)＝cos θcos ＋sin θsin ＝＋＝.
答案：
12．解析：(1)∵f(x)＝sin x－(1－cos x)＋＝sin x＋cos x＝2sin (x＋).
所以，f(x)的最小正周期T＝2π.
当sin (x＋)＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (x＋)，
又g(x)＝f(＋)＝2sin (＋)＝2cos ，
由2kπ－π＜＜2kπ(k∈Z)，解得4kπ－2π所以，函数g(x)的单调增区间为(4kπ－2π，4kπ)(k∈Z).
由2kπ＜<2kπ＋π(k∈Z)，解得4kπ＜x＜4kπ＋2π(k∈Z).
所以，函数g(x)的单调减区间为(4kπ，4kπ＋2π)(k∈Z).
13．解析：由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈(0，)，
所以cos θ－sin θ＝，
又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
答案：课时作业(四十二) 两角差的余弦公式
练 基 础
1.sin sin ＋cos cos ＝( )
A． B． C．－ D．－
2．sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是( )
A． B． C． D．
3．已知角α为第二象限角，sin α＝，则cos (α－)的值为( )
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos (α－β)＝( )
A． B．－ C． D．－
5．(多选)下列各式化简正确的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°
D.cos (α－)＝cos α＋sin α
6．cos 165°＝________．
7．已知cos (α－)＝cos α，则tan α＝________．
8．已知sin α＝－，cos β＝，且α，β均为第四象限角，求cos (α－β).
提 能 力
9.已知sin (α＋)＝，α∈(，)，则cos α＝( )
A． B． C． D．
10．(多选)已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值可能为( )
A．－ B．－ C．－ D．
11．化简：＝________．
12．已知α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－.
(1)求的值；
(2)求cos β的值．
培 优 生
13.已知2sin α－sin β＝，2cos α－cos β＝1，则cos (α－β)＝( )
A．－ B．－
C． D．
课时作业(四十二) 两角差的余弦公式
1．解析：sin sin ＋cos cos ＝cos (－)＝cos ＝－.
答案：D
2．解析：sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝.
答案：C
3．解析：∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－，
∴cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝.
答案：C
4．解析：∵角α与角β的终边关于y轴对称，
∴sin α＝sin β＝，cos α＝－cos β，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
答案：D
5．解析：cos80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos (80°－20°)＝cos 60°，A正确；cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°，B正确；sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos (α＋45°－α)＝cos 45°，C正确；cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α，D错误．
答案：ABC
6．解析：cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°＝－cos (45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)
＝－(×＋×)
＝－.
答案：－
7．解析：cos (α－)＝cos αcos ＋sin α·sin ＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝.
答案：
8．解析：由已知得：cos α＝，sin β＝－，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋(－)×(－)＝＋＝.
9．解析：由α∈(，)，得α＋∈(，)则cos (α＋)＝－＝－，
cosα＝cos [(α＋)－]＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝－×＋×＝.
答案：A
10．解析：因cos α＝，则sin α＝±＝±，又cos(α＋β)＝－，则sin (α＋β)＝±＝±，cos(α＋β)cos α＝－×＝－，而cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
sin α与sin (α＋β)同号，即sin (α＋β)sin α＝，则cos β＝－，
sin α 与sin (α＋β)异号，即sin (α＋β)sin α＝－，则cos β＝－，
所以cos β的值可能为－或－.
答案：AC
11．解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：
12．解析：(1)因为α为锐角，
所以sin α＞0，sin α＝＝＝，
＝＝sin α
＝.
(2)因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，sin (α＋β)＞0，
所以sin (α＋β)＝＝＝，
所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
＝－×＋×＝.
13．解析：由2sin α－sin β＝，2cos α－cos β＝1，
两边平方后相加得4sin2α＋4cos2α＋cos2β＋sin2β－4sinαsin β－4cos αcos β＝4，
即5－4sin αsin β－4cos αcos β＝4得sin αsin β＋cos αcos β＝，
所以cos (α－β)＝.
答案：C课时作业(四十三) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
练 基 础
1.sin 105°的值为( )
A． B．
C． D．
2.的值为( )
A．1 B．
C． D．
3．已知α∈(0，)，若cos α＝，则cos (α＋)等于( )
A． B．
C． D．
4．[2022·山西太原高一期中]已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin (θ＋45°)＝( )
A． B．－
C． D．－
5．(多选)下列选项中，值为的是( )
A．cos
B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C．cos 22°sin 52°－sin 158°cos 52°
D．
6．已知角α的终边经过点(－2，)，则tan (α＋)＝________．
7.sin ＋cos ＝________．
8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，).
(1)求cos (α＋π)的值；
(2)若tan β＝－2，求tan (α－β)的值．
提 能 力
9.若α，β均为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β＝( )
A．－ B．
C．－ D．－
10．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，则以下结论一定正确的是( )
A．sin α＝－cos β B．cos α＝sin β
C．cos (α－β)＝0 D．sin (α＋β)＝1
11．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β＝________．
12．已知α，β都为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝.
(1)求sin β的值； (2)求cos β的值．
[培优生]
13.
如图，单位圆上两点A，B与圆心O组成正三角形，其中点A的坐标为(，)，点B在第二象限，则点B的坐标为________．
课时作业(四十三) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
答案：D
2．解析：＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：C
3．解析：∵α∈(0，)，cos α＝，
∴sin α＝＝＝，
∴cos (α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝.
答案：B
4．解析：因为θ为锐角，且sin θ＝，所以cos θ＝＝.
又sin(θ＋45°)＝sin θcos 45°＋cos θsin 45°
＝(sin θ＋cos θ)＝×＝.
答案：A
5．解析：对于A选项，cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－，故错误；
对于B选项，cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos (42°＋18°)＝cos 60°＝，故正确；
对于C选项，cos 22°sin 52°－sin 158°cos 52°＝cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝，故正确；
对于D选项，＝tan (30°＋15°)＝tan 45°＝1，故错误．
答案：BC
6．解析：由题意得tan α＝－，
tan (α＋)＝＝.
答案：
7．解析：原式＝2(sin ＋cos )
＝2(sin cos ＋sin cos )
＝2sin (＋)
＝2sin ＝.
答案：
8．解析：(1)由于角α的终边过点P(，)，由三角函数的定义可得cos α＝，
则cos (α＋π)＝－cos α＝－.
(2)由已知得tan α＝，
则tan (α－β)＝＝＝－2.
9．解析：因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝＝＝，
又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
答案：B
10．解析：设角α的终边与单位圆的交点为(a，b)，则角β的终边与单位圆的交点为(b，a)，
则cos α＝a＝sin β，sin α＝b＝cos β，A错B对；
取α＝，β＝，则角α与角β的终边关于直线y＝x对称，
此时cos (α－β)＝cos (－)≠0，C错；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin2α＋cos2α＝1，D对．
答案：BD
11．解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝， ②
①＋②得：2cos αcos β＝，解得：cos αcos β＝；
①－②得：－2sin αsin β＝－，解得：sin αsin β＝，
∴tan αtan β＝＝＝.
答案：
12．解析：(1)因为α，β都为锐角，故0＜α，β＜，0＜α＋β＜π，
故cos α＞0，sin (α＋β)＞0，
又sin α＝，cos (α＋β)＝，
故cos α＝＝，sin(α＋β)＝＝，
∴sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－×
＝.
(2)由(1)知sin α＝，cos (α＋β)＝，cos α＝，sin (α＋β)＝，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝，故cos β＝.
13．解析：设∠xOA＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，B，
cos (θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝×－×＝，
sin (θ＋)＝sin θcos ＋cos θsin ＝×＋×＝，
所以B(，).
答案：(，)课时作业(三十二) 任意角
练 基 础
1.与－390°角的终边相同的最小正角是( )
A．－30° B．30° C．60° D．330°
2．与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
3．若角2α与240°角的终边相同，则α等于( )
A.120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
4．[2022·河北张家口高一期中]下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A．－37° B．143° C．379° D．－143°
5．(多选)下列四个角为第二象限角的是( )
A．－200° B．100° C．220° D．420°
6．小于360°且终边与角－45°重合的正角是________．
7.
如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是________，逆时针旋转两圈半所得角的度数是________．
8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；
(2)650°.
提 能 力
9.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α的终边在( )
A.第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
10．(多选)已知α是第三象限角，则可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
11．若角α与角β的终边相同，则α－β＝________．
12．写出终边在如图中阴影部分的角的取值范围．
培 优 生
13.钟的时针和分针一天内会重合( )
A．21次 B．22次
C．23次 D．24次
课时作业(三十二) 任意角
1．解析：与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.
答案：D
2．解析：因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
答案：C
3．解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
答案：B
4．解析：与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.
故选D.
答案：D
5．解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；
对于B选项，100°是第二象限角；
对于C选项，220°是第三象限角；
对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．
答案：AB
6．解析：与角－45°终边相同的角为β＝－45°＋k·360°，k∈Z，
当k＝1时，β＝315°，
因此小于360°且终边与角－45°重合的正角是315°.
答案：315°
7．解析：顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－900°，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°.
答案：－900° 900°
8．解析：(1)因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
9．解析：因为α＝k·180°＋45°，k∈Z，所以
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．
综上，α的终边在第一、三象限．
答案：A
10．解析：因为α是第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋<当k为偶数时，是第二象限角；当k为奇数时，是第四象限角，故选BD.
答案：BD
11．解析：因与角β终边相同连同角β在内的角的集合为{θ|θ＝β＋k·360°(k∈Z)}，
而角α与角β的终边相同，则α＝β＋k·360°(k∈Z)，即α－β＝k·360°(k∈Z)，
所以α－β＝k·360°(k∈Z).
答案：k·360°(k∈Z)
12．解析：(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
13．解析：一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是24－2＝22，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合22次．
答案：B课时作业(三十四) 三角函数的概念
练 基 础
1.sin 405°的值为( )
A．－ B． C．－ D．
2．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆⊙O的交点坐标为( )
A.(，－) B．(－，)
C．(－，) D．(，－)
3．若角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋cos α的值为( )
A．－ B． C．－或 D．1
4．[2022·山东菏泽高一期中]已知角的终边上有一点P(1，a)，则a的值是( )
A．－ B．± C． D．
5．(多选)若sin α·cos α＜0，则α终边可能在( )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(－1，2)，则sin θ＝________．
7．当α为第二象限角时，－的值是________．
8．求下列各式的值：
(1)cos ＋tan (－)；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
提 能 力
9.已知角α的终边经过点P(－8，m)，且tan α＝－，则sin α的值是( )
A． B．－ C．－ D．
10．(多选)下列各式的值为正的是( )
A．tan 288°cos 158° B．sin 305°cos 460°
C．cos 378°sin 1 100° D．tan 400°tan 470°
11．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________，tan α＝________．
12．已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
培 优 生
13.已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数的a值是( )
A．－2 B．
C．－2或 D．1
课时作业(三十四) 三角函数的概念
1．解析：sin 405°＝sin (360°＋45°)＝sin 45°＝.
答案：B
2．解析：因为sin α＝－，cos α＝，
所以角α的终边与单位圆⊙O的交点坐标为(，－).
答案：A
3．解析：角α的终边过点P(－4，3)，则sin α＝，cos α＝－，则2sin α＋cos α＝.
答案：B
4．解析：由题得tan ＝＝，
∴a＝.
答案：D
5．解析：因为sin α·cos α＜0，
若sin α＞0，cos α＜0，则α终边在第二象限；
若sin α＜0，cos α＞0，则α终边在第四象限．
答案：BD
6．解析：由题设，sin θ＝＝.
答案：
7．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴－＝－＝2.
答案：2
8．解析：(1)cos ＋tan (－)＝cos (8π＋)＋tan (－4π＋)＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°
＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (360°＋60°)
＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝.
9．解析：由题设＝－，可得m＝6，
所以sin α＝＝.
答案：A
10．解析：由tan 288°＜0，cos 158°＜0，可知A选项正确；由sin 305°＜0，cos 460°＜0，可知B选项正确；由cos 378°＞0，sin 1 100°＞0，可知C选项正确；由tan 400°＞0，tan 470°＜0，可知D选项不正确．
答案：ABC
11．解析：∵α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，
∴x＜0，
∵cos α＝＝，
∴x＝－3，
∴tan α＝－.
答案：－3 －
12．解析：令x＝5m，y＝12m，
则r＝＝＝13|m|，
①当m＞0时，r＝13m，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝；
②当m＜0时 ，r＝－13m，
sin α＝＝－＝－，cos α＝＝－＝－，tan α＝＝.
13．解析：由题设，＝且2a＋1＞0，即a＞－，
∴＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，
综上，a＝.
答案：B课时作业(四十七) 三角函数的应用
练 基 础
1.函数f(x)＝sin (x＋)的周期，振幅，初相分别是( )
A．π，， B．4π，－2，－
C．4π，， D．2π，2，
2.
音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400
C．200π D．400π
3．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张．心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压．某人的血压满足函数p(t)＝110＋25sin (150πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是( )
A. B．
C． D．
4．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上海浪高度：y(米)可看作时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋B的图象，下表是某日各时的浪高数据：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 2 1.5 1 1.5 2 1.5 0.99 1.5 2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝cos t＋1 B．y＝cos t＋
C．y＝2cos t＋ D．y＝cos 6πt＋
5．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos [(x－6)](A>0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
8．[2022·河北沧州高一期中]如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<).
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
提 能 力
9.
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示．设水车的直径为8 m，其中心O到水面的距离为2 m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120 s．当水车上的一个水筒A从水中(A0处)浮现时开始计时，经过t(单位：s)后水筒A距离水面的高度为f(t)(在水面下高度为负数)，则f(140)＝( )
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
10．(多选)气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则( )
A．φ＝
B．函数f(x)的最小正周期为16π
C． x∈R，f(x)＋f(x＋8)＝40
D．若g(x)＝f(x＋m)是偶函数，则|m|的最小值为2
11．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足y＝23.439 391 1·sin (0.017 202 5x)，则一个回归年对应的天数约为________(精确到0.01)；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期________．(≈182.624)
12．如图，某年某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；
(2)猜测当年3月1日该动物的种群数量．
培 优 生
13．一半径为2 m的水轮，水轮圆心O距离水面1 m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记h＝f(t)，则f(t)＋f(t＋1)＋f(t＋2)＝( )
A.0 B．1 C．3 D．4
课时作业(四十七) 三角函数的应用
1．解析：函数f(x)＝sin (x＋)的周期为T＝＝4π，振幅为A＝，初相为φ＝.
答案：C
2．解析：由图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
答案：D
3．解析：由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，则T＝＝，时间间隔为T＝.
答案：A
4．解析：由题中表格知T＝12，所以ω＝，A＝＝，B＝＝.
答案：B
5．解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．
答案：BCD
6．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分).
答案：80
7．解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos [(x－6)]，当x＝10时，y＝23＋5cos (×4)＝20.5.
答案：20.5
8．解析：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin (x＋φ)＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
所求解析式为y＝10sin (x＋)＋40，x∈[8，14].
9．解析：
由题设，水车的角速度为＝/s，又水车的直径8 m，中心O到水面的距离2 m，∴∠HOA0＝，故t(单位：s)后水筒A距离水面的高度为f(t)＝2－4cos (＋)m，∴f(140)＝2－4cos (＋)＝4 m.
答案：B
10．解析：依题意A>0，ω>0，0<φ<π，
根据图象可知 ，
f(x)＝10sin (ωx＋φ)＋20，根据图象可知＝14－6＝8，T＝16，ω＝＝＝，B项错误．
f(x)＝10sin (x＋φ)＋20，
f(6)＝10sin (＋φ)＋20＝10，sin (＋φ)＝－1，
0<φ<π，<＋φ<，
＋φ＝ φ＝，A项正确．
f(x)＝10sin (x＋)＋20.
f(x＋8)＝10sin [(x＋8)＋]＋20＝10sin (x＋＋π)＋20＝－10sin (x＋)＋20，
所以f(x)＋f(x＋8)＝40，C项正确．
g(x)＝f(x＋m)＝10sin [(x＋m)＋]＋20＝10sin (x＋m＋)＋20是偶函数，
m＋＝kπ＋，k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，
所以当k＝0时，|m|的最小值为2，D项正确．
答案：ACD
11．解析：因为周期T＝＝≈182.624×2＝365.248≈365.25，所以一个回归年对应的天数约为365.25；
一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.25×4＝1 461.因为1 461＝208×7＋5，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四．
答案：365.25 四
12．解析：(1)设种群数量y关于时间t的表达式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，b>0)，则，
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin (t＋φ)＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin (×6＋φ)＋800，
∴sin (π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－，
∴y＝100sin (t－)＋800.(答案不唯一)
(2)当t＝2时，y＝100sin (×2－)＋800＝750，
即当年3月1日该动物种群数量约是750.
13．解析：根据题意，设h＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，(－<φ<0)，则A＝2，k＝1，
因为T＝3，所以ω＝＝，所以h＝2sin (t＋φ)＋1，
又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sin φ＋1，
所以sin φ＝－，
又因为－<φ<0，所以φ＝－，
所以h＝f(t)＝2sin (t－)＋1；
所以f(t)＝sin t－cos t＋1，
f(t＋1)＝2sin (t＋)＋1＝2cos t＋1，
f(t＋2)＝2sin (t＋)＋1＝－sin t－cos t＋1，
所以f(t)＋f(t＋1)＋f(t＋2)＝3.
答案：C课时作业(三十五) 同角三角函数的基本关系
练 基 础
1.已知cos α＝，α∈(0，π)，则sin α＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．已知α∈(π，)，cos α＝－，则tan α＝( )
A.－ B．－ C． D．
3．若α是第二象限角， 的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－ C． D．
5．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝ B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
6．已知α∈(π，)，tan α＝2，则cos α＝________．
7．若tan θ＝－2，则的值为 ________．
8．求解下列问题
(1)已知cos α＝－，且α为第二象限角，求tan α的值；
(2)已知tan β＝－3，求cos2β－sin2β的值．
提能 力
9.已知tan α＝2，那么sin2α＋2sin αcos α－3cos2α的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．－
10．(多选)＋的值可能为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知sinα＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的值为 ____________，tan α＝____________．
12．已知f(α)＝＋，其中α是第三象限角．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝4，求sin α，cos α.
培 优 生
13.(多选)已知θ∈(0，π)，且满足sin θ·cos θ＝－，|sin θ|＞|cos θ|，则下列说法正确的是( )
A. θ∈(，π) B．tan θ＝－
C．tan θ＝ D．sin θ＋cos θ＝
课时作业(三十五) 同角三角函数的基本关系
1．解析：因为cos α＝，α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝1，sinα＞0，所以sin α＝α＝＝.
答案：D
2．解析：∵α∈(π，)，cosα＝－，
∴sin α＝－＝－，
∴tanα＝＝.
答案：D
3．解析：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α，
＝＝＝1.
答案：A
4．解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案：B
5．解析：∵sinα＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确；∴tan α＝＝＝，故A正确；∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误；∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
答案：AB
6．解析：由α∈(π，)及tan α＝2，得sin α＝2cos α＜0，
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，cosα＝－.
答案：－
7．解析：∵tan θ＝－2
∴＝＝＝.
答案：
8．解析：(1)∵cos α＝－，且α为第二象限角，
∴sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝－.
(2)∵tan β＝－3＝，
∴sin β＝－3cos β，
又∵sin2β＋cos2β＝1，
∴cos2β＝，
∴cos2β－sin2β＝－8cos2β＝－.
9．解析：因为sin2α＋2sinαcos α－3cos2α＝
＝，
又tan α＝2
所以＝＝1.
答案：A
10．解析：令f(x)＝＋＝＋，
当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝3，
当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝1，
当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－3，
当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－1.
答案：BD
11．解析：∵sin α＝，cos α＝－，
∴()2＋(－)2＝1，
∴m＝4或m＝.
∵α为第二象限角，
∴＞0，－＜0，∴m＝4，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝－.
答案：4 －
12．解析：(1)∵α是第三象限角，
∴sin α＜0，1－cos α＞0，1＋cos α＞0.
∴f(α)＝＋＝＋＝＋＝－，
∴f(α)＝－.
(2)∵f(α)＝－＝4，
∴sin α＝－，则cos α＝－＝－.
13．解析：因为θ∈(0，π)，且满足sinθ·cos θ＝－＜0，可得θ∈(，π)，所以A正确，
因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝1－＝，
sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1＋＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，(sin θ－cos θ)2＝，
因为|sin θ|＞|cos θ|，sin θ＞0，cos θ＜0，
所以sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝，所以D正确，
所以解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝＝－，所以B正确，C错误．
答案：ABD课时作业(三十六) 诱导公式二、三、四
练 基 础
1．sin 210°＝( )
A．－ B． C．－ D．
2．cos 840°＝( )
A． B． C．－ D．－
3.＝( )
A． B．－ C． D．－
4．已知α为第三象限角，sin (3π－α)＝－，则cos α＝( )
A． B．－ C． D．－
5．(多选)已知sin (θ＋π)＜0，cos (θ－π)＞0，则下列不等关系中成立的是( )
A．sin θ＜0 B．sin θ＞0
C．cos θ＞0 D．cos θ＜0
6．求值：tan 600°＝________．
7．已知cos (π－α)＝，α∈(π，2π)，则sin α＝________．
8．化简：.
提 能 力
9.已知＝3，则tan α等于( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
10．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值可能为( )
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
11．已知cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则cos α＝________，sin (2π－α)＝________．
12．设函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 020)＝－1，求f(2 021)的值．
培 优 生
13.在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)开始，在圆C上按逆时针方向，以角速度 rad/s 匀速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )
A.(，－) B．(，－)
C．(－，－) D．(－，－)
课时作业(三十六) 诱导公式二、三、四
1．解析：sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－.
答案：A
2．解析：cos 840°＝cos (720°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－.
答案：D
3．解析：原式＝＝
＝＝.
答案：C
4．解析：∵sin (3π－α)＝－，∴sin α＝－，
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－.
答案：D
5．解析：因为sin (θ＋π)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，故B正确；
因为cos (θ－π)＝－cos θ＞0，所以cos θ＜0，故D正确．
答案：BD
6．解析：tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝.
答案：
7．解析：由cos (π－α)＝ －cos α＝ cos α＝－＜0，因为α∈(π，2π)，
所以α∈(π，)，于是有sin α＝－＝－＝－.
答案：－
8．解析：原式＝＝－cosθ.
9．解析：＝＝＝3，
∴－tan α－1＝－3tan α＋3，可得tan α＝2.
答案：B
10．解析：当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
答案：AC
11．解析：由cos (π＋α)＝－，得－cos α＝－，则cos α＝，又＜α＜2π，
∴sin (2π－α)＝－sin α＝＝＝.
答案：
12．解析：∵f(2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)＝－1，
∴f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)
＝a sin [π＋(2 020π＋α)]＋b cos [π＋(2 020π＋β)]
＝－[a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)]＝1.
13．解析：点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，
点P′落在角β＝＋3×π＝π的终边上，
cos β＝cos π＝－cos π＝－，sin β＝sin π＝－sin π＝－，
故P′的坐标为(－，－).
答案：D课时作业(三十七) 诱导公式五、六
练 基 础
1.下列各式化简后的结果为cos x的是( )
A．sin (x＋) B．sin (2π＋x)
C．sin (x－) D．sin (2π－x)
2．已知sin α＝，则cos (α－)＝( )
A． B．－ C．－ D．
3．已知cos (π－α)＝－，则cos (α＋)＝( )
A.± B．± C． D．
4．化简的结果是( )
A.－1 B．1 C．－2 D．2
5．(多选)已知cos α＝－，且α为第二象限角，则下列选项正确的是( )
A．cos (π－α)＝ B．sin α＝
C．tan α＝ D．tan (α＋)＝－
6．若角α的终边经过点P(－1，)，则cos (α－)＝________．
7.＝________．
8．已知cos α＝－，且tan α＞0.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
提 能 力
9.已知sin (－x)＝，则cos (x＋)等于( )
A. B． C．－ D．－
10．(多选)已知sin (x＋)＝－，x∈(，π)，则( )
A.cos (x＋)＝－ B．tan (x＋)＝2
C.cos (－x)＝－ D．sin (－x)＝
11．已知α是第三象限角，且cos (α－)＝时，则tan α＝________；＝________．
12．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，－m－1)，且cos α＝.
(1)求实数m的值；
(2)若m＞0，求的值．
培 优 生
13.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
课时作业(三十七) 诱导公式五、六
1．解析：A.sin (x＋)＝cos x；B.sin (2π＋x)＝sin x；C.sin (x－)＝－cos x；D.sin (2π－x)＝－sin x.
答案：A
2．解析：cos (α－)＝sin α＝.
答案：D
3．解析：由cos (π－α)＝－cos α可得cos α＝，
而cos (α＋)＝－sin α，sin α＝±＝±，
所以cos (α＋)＝±.
答案：A
4．解析：原式＝
＝
＝＝＝1.
答案：B
5．解析：由诱导公式得：cos (π－α)＝－cos α＝，A正确；因为sin2α＋cos2α＝1，且α为第二象限角，sinα＞0，所以sin α＝＝，B正确；tanα＝＝－，C错误；tan (α＋)＝＝＝，D错误．
答案：AB
6．解析：角α的终边经过点P(－1，)，
则sin α＝＝，
所以cos (α－)＝sin α＝.
答案：
7．解析：原式＝＝1.
答案：1
8．解析：(1)因为cos α＝－，且tan α＞0，则α为第三象限角，故sin α＝－＝－，因此tanα＝＝.
(2)原式＝＝tan α＋＝＋＝.
9．解析：设－x＝θ，则x＝－θ，则sin θ＝，
则cos (x＋)＝cos (－θ＋)＝cos (－θ)＝sin θ＝.
答案：A
10．解析：∵x∈(，π)，∴x＋∈(，)，
又sin (x＋)＝－，∴x＋∈(π，)，
∴cos (x＋)＝－＝－.故A正确；
∴tan(x＋)＝＝，故B错误；
又cos (－x)＝cos ＝sin (x＋)＝－，故C正确；
sin (－x)＝sin ＝cos (x＋)＝－≠，故D错误．
答案：AC
11．解析：因为cos (α－)＝，所以－sin α＝，所以sin α＝－，
又因为α是第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝＝；因为＝＝cos α，所以＝－.
答案： －
12．解析：(1)由题意可得x＝1，y＝－m－1，r＝，
所以cos α＝＝，整理得(m＋1)2＝4，
解得m＝1或m＝－3.
(2)因为m＞0，所以由(1)可得m＝1，
所以cos α＝，sin α＝－，
所以＝＝－＝.
13．解析：∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，
若α＋β＝，则β＝－α.
A中，sin β＝sin (－α)＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝－cos (－α)＝－sin α＝－，故B不符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件．
答案：AC课时作业(四十一) 正切函数的性质与图象
练 基 础
1.函数f(x)＝2tan (＋)的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
2．函数y＝tan (x＋)的单调递增区间为( )
A.(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
3．已知函数f(x)＝tan 2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为的偶函数
B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f(x)是最小正周期为的奇函数
D．f(x)是最小正周期为2π的奇函数
4．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图象( )
A.关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
5．(多选)下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1<－tan 2
C．tan ＜tan D．tan ＜tan
6．函数y＝tan πx的最小正周期是________．
7．函数y＝tan (2x＋)的定义域是________．
8．设函数f(x)＝tan (－).
(1)求函数f(x)的周期；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
提 能 力
9.(多选)已知函数f(x)＝tan (2x－)，则( )
A.f(x)的周期为
B．f(x)的定义域为
C．f()＞f(－)
D．f(x)在(，)上单调递增
10．函数y＝tan (x－)，x∈(－，)的值域为( )
A．(－，1) B．(－1，)
C．(－∞，－)∪(1，＋∞) D．(，1)
11．不等式tan (x＋)≥1的解集为________．
12．已知函数f(x)＝2tan (－).
(1)求f(x)的最小正周期、定义域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．
培 优 生
13.已知函数f(x)＝2tan ωx，ω＞0，若f(x)在区间上的最大值是2，则ω＝________；若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是________．
课时作业(四十一) 正切函数的性质与图象
1．解析：函数f(x)＝2tan (＋)的最小正周期为＝2π.
答案：C
2．解析：由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，可得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝tan (x＋)的单调递增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z).
答案：C
3．解析：f(x)＝tan 2x的最小正周期为T＝，
令2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
答案：C
4．解析：由题意得定义域关于原点对称，又tan |－x|＝tan |x|，
故原函数是偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：C
5．解析：对于A，tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，所以tan 735°＜tan 800°；
对于B，－tan 2＝tan (π－2)，而1＜π－2＜，
所以tan 1＜－tan 2；
对于C，＜＜＜π，tan ＜tan ；
对于D，tan ＝tan ＜tan .
答案：BD
6．解析：函数y＝tan πx的最小正周期T＝＝1.
答案：1
7．解析：函数y＝tan (2x＋)的定义域满足2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan (2x＋)的定义域为.
答案：
8．解析：(1)∵ω＝，∴周期T＝＝＝2π.
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan (－)的图象与x轴的一个交点坐标是(，0)，在这个交点左，右两侧相邻的两条直线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－，)内的简图(如图).
9．解析：函数f(x)＝tan (2x－)的最小正周期为T＝，故A正确；
由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为，故B错误；
f()＝tan (2×－)＝tan ＝，f(－)＝tan (－2×－)＝tan (－)＝，所以f()＞f(－)，故C正确；
x∈(，)时，2x－∈(，)，所以f(x)在(，)上单调递增，故D正确．
答案：ACD
10．解析：设z＝x－，因为x∈(－，)，所以z∈(－，)，因为正切函数y＝tan z在(－，)上为单调递增函数，且tan (－)＝－，tan ＝1，所以tan z∈(－，1).
∴函数y＝tan (x－)，x∈(－，)的值域为(－，1).
答案：A
11．解析：由已知可得kπ＋≤x＋＜kπ＋，k∈Z，所以kπ≤x＜kπ＋，k∈Z.
答案：[kπ，kπ＋)，k∈Z
12．解析：(1)对于函数f(x)＝2tan (－)，它的最小正周期为＝2π，由－≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定义域为.
(2)f(x)≥2，即tan ≥1，故＋kπ≤－13．解析：因为x∈，且在此区间上的最大值是2，所以0≤ωx≤＜.
因为f(x)max＝2tan ＝2，所以tan ＝，＝，即ω＝1.
由kπ－＜ωx＜kπ＋，k∈Z，得－＜x＜＋，k∈Z.
令k＝0，得－＜x＜，即f(x)在区间(－，)上单调递增．
又因为f(x)在区间上单调递增，所以<，即0＜ω＜.
所以ω的取值范围是0＜ω＜.
答案：1 0＜ω＜课时作业(四十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
练 基 础
1.函数f(x)＝cos x是( )
A．奇函数，且在区间(0，)上单调递增
B．奇函数，且在区间(0，)上单调递减
C．偶函数，且在区间(0，)上单调递增
D．偶函数，且在区间(0，)上单调递减
2．函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π])的一个单调递增区间为( )
A． B．[0，π]
C． D．[－π ，0]
3．在下列区间中，函数f(x)＝cos (x－)单调递增的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
4．[2022·河北邯郸高一期中]已知a＝cos 46°，b＝sin 134°，c＝cos (－43°)，则( )
A.b＞c＞a B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
5．(多选)函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(－π，－) D．(－，0)
6．函数y＝－cos x的单调递增区间是________．
7．函数y＝－3sin x＋2的最小值为________．
8．已知函数f(x)＝3sin (2x＋).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
提 能 力
9.(多选)设函数f(x)＝sin (2x＋)＋1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的一个最高点坐标为(π，2)
D．f(x)是偶函数
10．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最大值为( )
A．－4 B．3 C．4 D．5
11．已知函数f(x)＝cos(2x＋)，则f(x)的单调递增区间为________；f(x)在区间上的最小值是________．
12．已知函数f(x)＝3sin (ωx－)的最小正周期为π，其中ω＞0.
(1)求ω的值；
(2)当x∈时，求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间上的值域．
培 优 生
13.已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在区间(，)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0，] B．
C．[1，3] D．(0，3]
课时作业(四十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
1．解析：由题意，函数f(x)＝cos x的定义域R，且f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，所以函数f(x)＝cos x为偶函数，又由余弦函数的性质，可得f(x)＝cos x在区间(0，)为递减函数．
答案：D
2．解析：函数y＝－3sin x＋4的增区间，即y＝sin x的减区间，为，k∈Z.
结合x∈[－π，π]，可得y＝sin x的减区间为.
答案：C
3．解析：因为f(x)＝cos (x－)，令－π＋2kπ≤x－≤2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时可得函数的一个单调递增区间为，因为(，2π)?，所以函数在(，2π)上单调递增．
答案：D
4．解析：由题意得：b＝sin (180°－46°)＝sin 46°＝sin (90°－44°)＝cos 44°，c＝cos 43°，因为y＝cos x在(0°，90°)上单调递减，所以cos 43°＞cos 44°＞cos 46°，即c＞b＞a.
答案：B
5．解析：y＝sin x在(0，)上单调递增，y＝cos x在(0，)上单调递减，所以A不合题意，y＝sin x在(，π)上单调递减，y＝cos x在(，π)上单调递减，所以B符合题意，y＝sin x在(－π，－)上单调递减，y＝cos x在(－π，－)上单调递增，所以C不合题意，y＝sin x在(－，0)上单调递增，y＝cos x在(－，0)上单调递增，所以D符合题意．
答案：BD
6．解析：根据复合函数的单调性知，函数y＝－cos x的单调增区间对应函数y＝cos x的单调递减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以函数y＝－cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
7．解析：∵y＝－3sin x＋2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－1.
答案：－1
8．解析：(1)因函数f(x)＝3sin (2x＋)，则周期T＝＝π，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)当－≤x≤时，－≤2x＋≤，而正弦函数y＝sin x在上递增，在上递减，且sin (－)＜sin ，
因此，当2x＋＝，即x＝时，sin (2x＋)取最大值1，则f(x)max＝3，当2x＋＝－，即x＝－时，sin (2x＋)取最小值－，则f(x)min＝－，
所以f(x)的最大值为3，最小值为－.
9．解析：函数f(x)＝sin (2x＋)＋1＝cos 2x＋1，T＝＝π，所以2π也是f(x)的周期，故A正确；因为x∈R，f(－x)＝cos 2x＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误，D正确；因为x∈R，－1≤cos 2x≤1，所以0≤f(x)＝cos 2x＋1≤2，
所以f(π)＝cos 2π＋1＝2，f(x)的一个最高点坐标为(π，2)，故C正确．
答案：ACD
10．解析：f(x)＝2(1－sin2x)－sin2x＋2＝4－3sin2x，所以当sin2x＝0时，函数取最大值4.
答案：C
11．解析：由题意得2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，因此函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)；
当－≤x≤时，－≤2x＋≤，
当2x＋＝时，函数f(x)取得最小值－.
答案：(k∈Z) －
12．解析：(1)由函数f(x)的最小正周期为π，ω＞0，所以T＝＝π，可得ω＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝3sin(2x－)，当x∈时，有－≤2x≤，－≤2x－≤，
当－≤2x－≤，可得－≤x≤，
故当x∈时，函数f(x)的单调减区间为[－，－)，单调增区间为.
(3)当x∈时，有0≤2x≤π，－≤2x－≤，
可得－≤sin (2x－)≤1，
有－≤f(x)≤3，
故函数f(x)在区间上的值域为.
13．解析：设f(x)的周期为T，因为≤，即≤，解得0<ω≤3，由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，解得＋≤x≤＋(k∈Z)，
即f(x)在区间上单调递减，因为0＜ω≤3，显然k只能取0，所以≤且≥，解得ω∈.
答案：B课时作业(三十八) 正弦函数、余弦函数的图象
练 基 础
1.函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
2.
如图是下列哪个函数的图象( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0，2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0，2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
3．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．(，)
5．(多选)函数y＝－cos x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A．(，1) B．(π，1)
C．(0，1) D．(－π，1)
6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________．
7．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
8．用“五点法”做出函数f(x)＝1－2sin x在x∈[0，2π]上的简图．
提 能 力
9.(多选)函数y＝1＋sin x，x∈(，2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
10．在x∈(0，2π)上，满足cos x＞sin x的x的取值范围是( )
A．(，) B．(0，)
C．(0，)∪(，2π) D．(，2π)
11．方程sin x＝lg x的实根个数有________个．
12．[2022·山东淄博高一期末]试求关于x的不等式＜sin x≤.
培 优 生
13.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
课时作业(三十八) 正弦函数、余弦函数的图象
1．解析：函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于x轴对称，故B、C、D错误，A正确．
答案：A
2．解析：取x＝，y＝0，只有C满足，排除ABD；将y＝sin x的图象关于x轴进行对称变换得y＝－sin x的图象，再将y＝－sin x的图象沿y轴上移1个单位，得y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象，故选C.
答案：C
3．解析：将y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝1的函数图象绘制在同一平面直角坐标系，如图所示：
显然，数形结合可知，只有1个交点．
答案：A
4．解析：由y＝sin x在[0，2π]上的图象(图略)，可得不等式sin x>0，x∈[0，2π]的解集为(0，π).
答案：B
5．解析：y＝－cos x的最大值为1，即－cos x＝1，解得x＝π＋2kπ，k∈Z.因为要与y轴最近，所以x＝π或x＝－π，即坐标为(π，1)或(－π，1).
答案：BD
6.
解析：画出y＝cos x在[0，2π]上的图象如图所示，由图象可知，cos x>0对应的x的取值范围是[0，)∪(，2π].
答案：[0，)∪(，2π]
7．解析：
作y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－如图所示，知两函数图象有两个交点．
答案：2
8．解析：列表：
x 0 π 2π
f(x) 1 －1 1 3 1
作图：
9．解析：
在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝1＋sin x，x∈(，2π)的图象和直线y＝t，如图所示．
由图可知，当t＞2或t＜0时，交点个数为0；当0＜t＜1或＜t＜2时，交点个数为2；当t＝0或1≤t≤或t＝2时，交点个数为1.
综上，交点个数可能为0，1，2.
答案：ABC
10．解析：
作出y＝sin x和y＝cos x在x∈(0，2π)的函数图象，根据函数图象可得满足cos x＞sin x的x的取值范围为(0，)∪(，2π).
答案：C
11．解析：在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解．
答案：3
12．解析：
作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．
由图可知，在[0，2π]上当13．解析：用数形结合法判断k的取值范围．
f(x)＝图象如图所示．
结合图象可知1答案：(1，3)课时作业(三十九) 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
练 基 础
1.函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．函数y＝－x cos x的部分图象是( )
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(其中ω＞0)的最小正周期为π，则f()( )
A．－1 B．－ C．1 D．
5．(多选)下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sin (x－) B．y＝cos (2x＋)
C．y＝ D．y＝2cos x
6．设函数f(x)(x∈R)是以3为最小正周期的周期函数，f(1)＝2，则f(2 023)＝________．
7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________．
8．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin (x＋)；
(2)f(x)＝x cos x.
提 能 力
9.(多选)函数f(x)＝sin (2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是( )
A． B．π C． D．－
10．定义域在R上的函数f(x)是奇函数且f(x)＝f(x＋π)，当x∈时，f(x)＝sin x，则f(－π)的值为( )
A．－ B． C．－ D．
11．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________．
12．已知函数y＝sin x＋|sin x|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
培 优 生
13.设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝________．
课时作业(三十九) 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1．解析：由题意，知T＝＝，所以ω＝10.
答案：B
2．解析：由1＋cos x≠0得x≠(2k＋1)π，k∈Z，显然定义域关于原点对称．因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
3．解析：∵y＝－x cos x是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C；当x∈(0，)时，y＝－x cos x＜0，排除B.
答案：D
4．解析：由题可知，＝π ω＝2，
∴f()＝2sin (2×＋)＝2cos ＝2×＝.
答案：D
5．解析：由周期公式知A，D中的函数周期为T＝＝＝4π.
B中，T＝＝＝π.
∵y＝sin 的周期为T＝＝4π，
∴y＝的周期为T＝2π.
答案：AD
6．解析：f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
7．解析：y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求．
答案：cos 2x(答案不唯一)
8．解析：(1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin (x＋)＝－cos x，所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．
(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos (－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
9．解析：∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
答案：ACD
10．解析：因为f(x)＝f(x＋π)，所以函数的周期为π，
因为函数f(x)是奇函数，当x∈时，f(x)＝sin x，
所以f(－π)＝－f(π)＝－f(673π＋)＝－f()＝－sin ＝－.
答案：A
11．解析：因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2).又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
答案：－1
12.
解析：(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，其最小正周期是2π.
13．解析：∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)
＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]
＝337(sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π)
＝337×0＝0.
答案：0
