3.1椭圆及其几何性质 学案——2022－2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆及其几何性质 学案——2022－2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 582.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 15:57:17 | ||
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文档简介
椭圆及其几何性质
1.求椭圆的标准方程
1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )
A．一个椭圆 B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
2.已知集合P＝{M||MF|＋|MG|＝10}，其中F为定点且|FG|＝8，若M到F的距离为2，N是MF的中点，则N点到FG中点O的距离是( )
A．8 B．4 C．2 D．
3.已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
4.求过点且与圆相内切的动圆圆心的轨迹方程。
5.圆为圆上一点，的中垂线交于，求点的轨迹方程。
6.点和圆，动圆和圆外切，并经过点，求动圆圆心的轨迹方程。
7.已知在中，为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程。
8.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，求点M的轨迹方程。
9.点、，过作两条互相垂直的直线和，求和的交点的
轨迹方程。
10.已知圆的方程是，在圆上任取一点，过作横轴的垂线交于点，线段的中点为，求点的轨迹方程。
点差法
例1．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
练习：
1．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。
练习：
1．两条直线和的交点的轨迹方程是_________。
2.椭圆的焦点三角形的性质
1．如图所示，△PF1F2称为椭圆的焦点三角形．
如勾股定理，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式等均成立．
2．解题时应用相关定理要结合椭圆的定义．
3．焦点三角形中常用的关系式有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=
(3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.
典例：
1.如图所示，已知点P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
2.已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
3.已知椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12 C．10 D．8
若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为
5.F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B． C． D．
6．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 C． D．6或3
7．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 C． D．6或3
3.求椭圆的离心率
1.A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
2.已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是( )
A． B． C． D．
3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
6.已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若∠，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在（其中），使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.椭圆上一点看两焦点的视角为直角，设的延长线交椭圆于，又，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
11.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①； ②； ③； ④．
其中正确式子的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
12.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点． 若，则该椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是．
15在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
16.在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆．若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为
17.直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为_________．
18.设是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率等于________．
19.椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，椭圆的离心率为_________
20.已知是椭圆的右焦点，以坐标原点为圆心，为半径作圆，过垂直于轴的直线与圆交于两点，过点作圆的切线交轴于点．若直线过点且垂直于轴，则直线的方程为______________；若，则椭圆的离心率等于_________．
21.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ___ ．
22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，设，
⑴求椭圆离心率和的关系式；
⑵设是离心率最小的椭圆上的动点，若的最大值为，求椭圆的方程．
23.设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围．
直线与椭圆的位置关系
1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．
椭圆中的最值问题
椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题．
椭圆上一动点与焦点的距离常称为焦半径．椭圆上一动点与长轴两端点重合时，动点与焦点取得最大距离a＋c(称远日点)、最小距离a－c(称近日点)．推导如下：
设点P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，左焦点为F1(－c,0)，|PF1|＝，由＋＝1得y＝b2，将其代入|PF1|＝并化简得|PF1|＝x0＋a.所以，当点P(x0，y0)为长轴右端点P(a,0)时，|PF1|max＝·a＋a＝a＋c；当点P(x0，y0)为长轴左端点P(－a,0)时，|PF1|min＝·(－a)＋a＝a－c.当焦点为右焦点F2(c,0)时，可类似推出．
已知点P在椭圆4x2＋9y2＝36上，求点P到直线l：x＋2y＋15＝0的距离的最大值和最小值．
2.已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝____时，点B横坐标的绝对值最大．
3.设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__ __.
4.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则________；设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在一点，使，则椭圆离心率的取值范围为________。
5.已知椭圆 (0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________，椭圆的离心率为________.
6.已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若，则椭圆C 的离心率是_____．
7.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2.直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P，Q两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求△OPQ面积的最大值．
8.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
9.已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（0为坐标原点）
10：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围。
11.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
12.设，为椭圆的左、右焦点，动点的坐标为，过点的直线与椭圆交于，两点.
（3）求，的坐标；
（4）若直线，，的斜率之和为0，求的所有整数值.
13.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
课后习题
1.已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．
2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
4.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
5.已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．
Ⅰ若，，求椭圆方程；
Ⅱ若，求面积的最大值．
6.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
1.求椭圆的标准方程
1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )
A．一个椭圆 B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
2.已知集合P＝{M||MF|＋|MG|＝10}，其中F为定点且|FG|＝8，若M到F的距离为2，N是MF的中点，则N点到FG中点O的距离是( )
A．8 B．4 C．2 D．
3.已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
4.求过点且与圆相内切的动圆圆心的轨迹方程。
5.圆为圆上一点，的中垂线交于，求点的轨迹方程。
6.点和圆，动圆和圆外切，并经过点，求动圆圆心的轨迹方程。
7.已知在中，为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程。
8.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，求点M的轨迹方程。
9.点、，过作两条互相垂直的直线和，求和的交点的
轨迹方程。
10.已知圆的方程是，在圆上任取一点，过作横轴的垂线交于点，线段的中点为，求点的轨迹方程。
点差法
例1．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
练习：
1．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。
练习：
1．两条直线和的交点的轨迹方程是_________。
2.椭圆的焦点三角形的性质
1．如图所示，△PF1F2称为椭圆的焦点三角形．
如勾股定理，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式等均成立．
2．解题时应用相关定理要结合椭圆的定义．
3．焦点三角形中常用的关系式有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=
(3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.
典例：
1.如图所示，已知点P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
2.已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
3.已知椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12 C．10 D．8
若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为
5.F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B． C． D．
6．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 C． D．6或3
7．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或 C． D．6或3
3.求椭圆的离心率
1.A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
2.已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是( )
A． B． C． D．
3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
6.已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若∠，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在（其中），使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.椭圆上一点看两焦点的视角为直角，设的延长线交椭圆于，又，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
11.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①； ②； ③； ④．
其中正确式子的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
12.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点． 若，则该椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是．
15在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
16.在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆．若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为
17.直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为_________．
18.设是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率等于________．
19.椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，椭圆的离心率为_________
20.已知是椭圆的右焦点，以坐标原点为圆心，为半径作圆，过垂直于轴的直线与圆交于两点，过点作圆的切线交轴于点．若直线过点且垂直于轴，则直线的方程为______________；若，则椭圆的离心率等于_________．
21.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ___ ．
22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，设，
⑴求椭圆离心率和的关系式；
⑵设是离心率最小的椭圆上的动点，若的最大值为，求椭圆的方程．
23.设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围．
直线与椭圆的位置关系
1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．
椭圆中的最值问题
椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题．
椭圆上一动点与焦点的距离常称为焦半径．椭圆上一动点与长轴两端点重合时，动点与焦点取得最大距离a＋c(称远日点)、最小距离a－c(称近日点)．推导如下：
设点P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，左焦点为F1(－c,0)，|PF1|＝，由＋＝1得y＝b2，将其代入|PF1|＝并化简得|PF1|＝x0＋a.所以，当点P(x0，y0)为长轴右端点P(a,0)时，|PF1|max＝·a＋a＝a＋c；当点P(x0，y0)为长轴左端点P(－a,0)时，|PF1|min＝·(－a)＋a＝a－c.当焦点为右焦点F2(c,0)时，可类似推出．
已知点P在椭圆4x2＋9y2＝36上，求点P到直线l：x＋2y＋15＝0的距离的最大值和最小值．
2.已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝____时，点B横坐标的绝对值最大．
3.设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__ __.
4.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则________；设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在一点，使，则椭圆离心率的取值范围为________。
5.已知椭圆 (0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________，椭圆的离心率为________.
6.已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若，则椭圆C 的离心率是_____．
7.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2.直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P，Q两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求△OPQ面积的最大值．
8.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
9.已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（0为坐标原点）
10：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围。
11.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
12.设，为椭圆的左、右焦点，动点的坐标为，过点的直线与椭圆交于，两点.
（3）求，的坐标；
（4）若直线，，的斜率之和为0，求的所有整数值.
13.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
课后习题
1.已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．
2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
4.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
5.已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．
Ⅰ若，，求椭圆方程；
Ⅱ若，求面积的最大值．
6.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．