3.1函数的概念及其表示 单元导学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第二单元 函数的概念与表示
单元目标
1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，能用恰当的方法表示函数，借助函数图像，会用符号语言表达函数的基本性质。
2.通过具体函数的图像及代数运算，总结研究函数的基本方法，在探究函数单调性、最值、奇偶性的过程中，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养。
3.结合具体情景，刻画变量之间的变化规律，初步认知函数的本质，用动态发展变化的视角看待问题，用数学语言和数学思维去表达和分析解决问题。
学习导航
探究函数本质：借助实例，总结四个函数的共同特征，得到函数的概念，比较初中和高中函数概念的异同，理解从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念。
借助实例，思考四个函数的定义域、值域、表示方法的区别，总结出构成函数的要素，能求简单函数的定义域，并会选择恰当的方法表示函数。
观察的图像，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
结合的图像，从对称的角度理解函数的奇偶性，并符号语言精准描述函数的奇偶性，加深对函数奇偶性概念的理解。
单元结构
课题 学习任务 学习课时
函数的概念和表示 构建问题情境，描述解析式y=x(10-x)的变量对应关系 1课时
分段函数 作出函数的图象 1课时
函数的单调性 讨论函数（）在区间上的单调性 1课时
探究过山车到达最高点的时刻 1课时
函数的奇偶性 判断函数的奇偶性 1课时
数学探究 对比初高中函数的概念，梳理出你对函数概念新的认识及发展过程
函数的概念及其表示
—构建问题情境，描述解析式的变量对应关系
一、学习目标
1. 研读文本，结合实例说出函数概念和表示方法；
2. 创设问题情境，通过描述函数的变量关系，能够刻画出函数变量间的变化规律；
3. 与同学分享交流初、高中所学函数的异同，初步认知函数的本质特征.
二、学习活动
探究函数概念及表示方法
我们在初中已经学过函数概念，表述为：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x每一个值，变量y唯一的值与它对应，那么称y是x的函数。它强调的是用函数描述一个变化过程。
情境1：“复兴号”高速列车以350km/h的速度匀速运行，列车行进的路程S与运行时间t满足关系式.
情境2：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI)变化图．
情境3：国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
思考与探究
情境1中，若列车运行2h，你能求出列车行进的距离吗？
2. 情境2中，如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数(AQI)的值I？
你能根据图找到中午12时的AQI的值吗？
情境3中，按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
归纳生成
1.情境1～3中的函数有哪些共同特征？请归纳出函数的本质特征.
2.情境1～3中分别采用了哪种表示方法来表示函数？
构建情境
构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
实践生成
根据你构建的问题情境，请描述如何判断两个变量的对应关系是否构成函数关系？如何判断两个函数是同一个？
迁移提升
1.判断下列对应是否为函数：
（1） ( )
（2） ( )
2.下列函数中，哪个与函数是同一个函数 （ ）
A. B. C. D.
3.已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求.
选做：已知一个函数的解析式为y = x2 ,它的值域为[1，4]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数.
水平划分 水平标准 星级评价 自我评价
水平一 说出对函数概念的理解 ★
水平二 能判断是否构成函数、是否为同一函数 ★★
水平三 能准确求出某函数值、定义域、值域 ★★★
2.2分段函数
-----作出函数的图象
一、学习目标
1. 研读文本，结合实例说出分段函数的概念；
2.作出函数的图象，并能求出给定自变量所对应的函数值；
3.在具体情境中抽象出分段函数模型解决具体问题并与同学分享交流。
二、学习活动
探究函数概念及表示方法
在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g（0＜x≤100）的信应付多少分邮资（单位：分）？
设每封信的邮资为y，则y是信封质量x的函数．这个函数关系的表达式为
思考与探究
1.用自己的话说出分段函数解析式的特点。
2.分段函数的定义域、值域如何确定？
3.请画出上述表达式图象，并说出如何画分段函数的图象？
归纳生成
请描述你对分段函数的理解？
作出函数的图象
在现实生活中，取整函数非常常见，例如：手机通讯费用的计费过程，出租车的计费过程等。函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
实践生成
请试着总结作分段函数图象的技巧和方法。
迁移提升
画出函数f(x)=|x+3|的图象.
某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：
（1）乘坐5km以内，票价2元；
（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）
已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条线路上沿途（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条线路的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象。
选做：1.已知任意实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中比较小的那个数，若f(x)=2-x2，g(x)=x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是（ ）
选做：2. 列举出生活中分段函数，并与同学分享交流。
水平划分 水平标准 星级评价 自我评价
水平一 说出对分段函数的理解 ★
水平二 能画出函数图象 ★★
水平三 能简单应用分析图象 ★★★
函数的单调性
—讨论函数（）在区间上的单调性
一、学习目标
1. 研读文本，结合函数图象，说出函数单调性概念并用符号语言表示；
2. 完成给定函数单调性的证明，总结证明的规律方法；
3. 在单调性的证明中，与同学分享交流逻辑推理思想是如何应用的.
二、学习活动
通过 图象的变化规律，总结单调性
画出函数的图象，通过观察函数图象的变化规律，总结单调性。
思考与探究
1.请根据上述三个函数图象，分别说出在哪个范围变化时，随着的增大而增大或者减小
2.通过观察函数的图象知道，能否据此得出“在[-1,1]上是增函数”的结论？为什么？
归纳生成
直观感知上述函数图象，归纳出函数单调递增（单调递减）及增函数（减函数）的概念.
讨论函数（），在区间的单调性
如果函数在区间［a，b］上单调递增（或递减）只需证明对任意，当时都有即可.请试着讨论函数，当时在区间的单调性.
实践生成
结合上述情景，分析得到如何判断一个函数的单调性？
迁移提升
1.物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大．试对此用函数的单调性证明．
2.画出函数f(x)=|x+1|的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间.
选做：函数f(x)对任意的实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f（x）> 1
求证：f(x)在R上是增函数.
水平划分 水平标准 星级评价 自我评价
水平一 说出单调递减与单调递增含义 ★
水平二 能写单调区间证明单调性 ★★
水平三 能用单调性解决简单的实际问题 ★★★
求函数的最值
-----探究过山车到达最高点的时刻
一、学习目标
1. 研读文本，说出函数最大值和最小值的概念；
2. 通过作函数图象，探究过山车到达最高点的时刻；
3. 与同学分享交流求函数最值问题的技巧和方法.
二、学习活动
探究函数的最值
我们画出来的和的图象，发现图象上有一个最低点或者一个最高点。当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值。
思考与探究
1.根据上述描述，分别以和为例用符号语言说明的最小值和最大值的含义。
2.函数在其定义域上是否有最值，为什么？
3.函数对于，都有，10是的最小值吗，为什么？
归纳生成
函数最值用符号语言描述如何描述？对函数最值定义中的逻辑量词如何理解？
-----探究过山车到达最高点的时刻
去游乐园玩的时候，我们都会体验一把刺激的过山车，当过山车到最高点的时候我们的心跳跳的剧烈。如果过山车到达最高点的高度h(m)与时间t(s)之间的关系为，过山车什么时刻到达最高位置。
实践生成
请试着总结解决函数最值问题的方法与技巧。
迁移提升
已知函数，
（1）分别画出和的图象，并根据图象说出它们的单调区间及在每个单调区间上的单调性。
（2）分别求和的最值。
（3）函数上有最值吗，为什么？在（0，4）上呢？
选做：若函数的图像关于直线对称，则的最大值为
水平划分 水平标准 星级评价 自我评价
水平一 说出函数最值的定义 ★
水平二 能求函数的最值 ★★
水平三 能解决简单的实际问题 ★★★
函数的奇偶性
-----讨论函数 的奇偶性
一、学习目标
1. 研读文本，结合函数图象，说出函数奇偶性的概念；
2. 讨论函数 的奇偶性，能用定义法证明函数的奇偶性；
3. 与同学分享交流函数奇偶性的简单运用.
二、学习活动
---探究奇函数、偶函数的定义
现实生活中的存在许多对称图形，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，在数学领域，我们需要研究函数图象的对称性.
在两个坐标系中分别画出函数的图象，观察图象的特点.
思考与探究
1.函数图象有什么特点？其对称轴是什么？
2.结合函数，分别比较，，的大小关系，你能得到什么结论？
3.作出函数图像，类比偶函数的性质，试着去研究奇函数的特点.
归纳生成
观察奇函数、偶函数的图象特征，总结出奇函数、偶函数定义.
---讨论函数 的奇偶性
从图象上难以判断函数的奇偶性，那么从定义的角度如何判断函数的奇偶性？
实践生成
定义域对函数奇偶性有什么影响？如何证明函数的奇偶性？判断函数奇偶性的方法？
迁移提升
1.已知偶函数（图1）和奇函数（图2）在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象.
2.判断下列函数的奇偶性
（2）
3.已知定义在上的函数为奇函数,当时,,
(1)画出函数的图象；
(2)求当的时候, 的解析式;
(3)求的解析式.
选做：已知函数是奇函数，且，求实数 的值.
水平划分 水平标准 星级评价 自我评价
水平一 说出函数奇偶性定义 ★
水平二 能判断并证明函数的奇偶性 ★★
水平三 能用奇偶性研究函数的图象和性质 ★★★