函数 全章复习讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

数学学生讲义
学生姓名： 年级：高一年级 科目：数学 学科教师：
课题 函数全章复习
授课类型 基础知识 经典例题 巩固提升
教学目标 1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. 2．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用； 3．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义； 4．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
教学重难点
授课日期及时段
教学内容
一：关于函数的概念 1．两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等． 2．函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．映射 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射． 4．函数的定义域 函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型： （1）已知得函数表达式，求定义域； （2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围； （3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围． 5．函数的值域 由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法： （1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）； （2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）； （3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为； （4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式 函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域． 求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出． 二：函数的单调性 （1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数． （2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数． （3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等． 三：函数的奇偶性 （1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以． （3）奇、偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数． 四：图象的作法与平移 （1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 五：一次函数和二次函数 1．一次函数 ，其中． 2．二次函数 二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为． 对于二次函数． 当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值． 当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值． 六：函数的应用举例（实际问题的解法） （1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论； （4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为： 七：函数与方程 （1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点． （2）确定函数的零点，就是求方程的实数根． （3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． （4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解． 判断函数在某区间有零点的依据： 对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根． 对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0． （5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系． ①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③，方程无根，其对应二次函数无零点． A组 1.定义在R上的函数对任意两个不等实数总有成立，则必有（ ）。 A.函数是先增后减 B. 函数是先减后增 C.函数在R上是增函数 D. 函数在R上是减函数 2．二次函数中，，则函数零点个数是（ ）。 A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 3.当时，函数的值域为（ ）。 A. B. C. D. 4.函数的定义域为（ ） A. B. Ｃ. 　　　Ｄ. 5.设集合，则从A到B的对应法则是映射的是（ ） A. B. C. D. 6.设为常数，函数．若为偶函数，则等于( ) A.-2 B. 2 C. -1 D. 1 7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A. B. C. D. 8. 设函数 若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.若函数的零点是2和，则 ， . 10. 若为奇函数,则实数______ . 11.设，则 ， . 12.函数在区间上是增函数，则的取值范围是 . 13. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1 (1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围； (2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象． 14．已知函数. ① 当时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． B组 1.已知函数在R上是增函数，若，则有（ ）。 A. B. C. D. 2.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 3．函数在区间上是单调函数的条件是（ ）。 A. B. C. D. 4.函数的定义域为（ ） A. B. Ｃ. 　　　Ｄ. 5.函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函数 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B．{x|x≤1} C． D． 8.实数满足，则的最大值是（ ） A．23 B．21 C．19 D． 17． 9.设，则函数的值域是 . 10. 设是定义在上的函数且,在区间上,其中.若,则的值为 . 11．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是______________. 12.关于函数，有下列四个结论： ①当时，函数在区间上单调递增； ②当时，函数在区间上单调递减； ③对于任意，必有成立； ④对于任意，必有成立． 其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上） 13. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1 (1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围； (2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象． 14. 已知实数，将函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的表达式； (2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求出g(a)的最小值． 15．已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有． （1）求； （2）解不等式．