八年级 第12讲 等腰三角形的性质[上学期]

等腰三角形的性质
事业常成于坚忍，毁于急躁，我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容者的后边，疾驰的骏马落在后头，缓步的骆驼继续向前。
―――萨迪：《蔷薇园》
知识纵横
若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形(isoscelestriangle)．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形(equilateraltriangle)的各边相等，各角都为60度．
解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．
例题求解
【例l】 如图，AOB是一钢架，且∠AOB＝100，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 _______根．
(山东省聊城市中考题)
思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．
【例2】如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为( )．
A．30。 B．32。 C．36。D．40。
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程．
【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=900，AB=AC，D为AC上一点,AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF请说明理由．
(安徽省竞赛题改编题)
思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用 因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．
【例4】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．
(北京市竞赛题)
思路点拨AE边上的高与LABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．
【例5】 如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝ 440，M为△ABC内一点，使得∠MCA＝300，∠MAC＝160．求∠BMC的度数．
(2005年北京市竞赛题)。
思路点拨：作等腰△ABC的对称轴，通过计算，证明全等三角形．
基础夯实：
1．如图，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需要添加的一个条件是_____．
(济南市中考题)
2．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和 21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为______．
3．一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数为_____
(2005年河北省竞赛题)
4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是________ ．
(烟台市中考题)
5．△ABC的一个内角的大小是40。，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( )．
A．1400 B．800或1000 C．1000或1400 D．800或1400
6．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
(苏州市中考题)
7．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=( )．
A．600 B．450 C．300 D．不确定
8．如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )．
A．450 B．550 C．600 D．750
(菏泽市中考题)
9．在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．
(广州市中考题)
10．如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形，图中除已知相等的边外，请你猜想还有哪些相等线段 并证明你的猜想是正确的．
(2005年常州市中考题)
11．如图①，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连结AF和BE．
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系 请证明你的结论；
(2)将图①中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图②，(1)中的结论还成立吗 作出判断并说明理由；
(3)将图①中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形， (1)中的结论还成立吗 作出判断，不必说明理由；
(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
能力拓展
12．如图，D为等边三角形ABC内一点，BD=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，则∠BED的度数是_______．
(河南省竞赛题)
13．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’=BB’=AB，则∠BAC的度数为_______．
(全国初中数学联赛题)
14．周长为100，边长为整数的等腰三角形共有________种。
(第7届“华杯赛”试题)
15．已知△ABC的某两个内角的比是4：7，且AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABC交AC于E，则∠EBD的大小是______。
(第16届“希望杯”邀请赛试题)
16．如图，△ABC中，∠BAC=1200, AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C的大小是( )．
A．200 B．250 C．300 D．450
17．如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为( )．
A．∠AED>∠AGF B．∠AED=∠AGF
C．∠AED<∠AGF D．不能确定
（《学习报》公开赛试题）
18．如图，△ABC中，∠ACB=900, ∠A=200，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角到△A’B’C’的位置，B在A’B’上，CA’交AB于D，则∠BDC的度数为 ( )．
A．400 B．450 C．500 D．600
(2004年山东省竞赛题)
19．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AE＝(AB+AD)；②∠DAB+∠DCB＝1800；③CD＝CB ④．其中正确结论的个数是( )。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD＝BE．求证：DC=DE．
(第20题) (第21题)
21．如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE＝α0求α的值．
(第20届香港中学生数学竞赛题)
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为△ABC内一点，且∠OBC＝100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．
(天津市竞赛题)
综合创新：
23．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角△BDC＝1200的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．
24．如图，在△ABC中，已知∠C＝600，AC>BC，又△ABC’、△BCA’、△CAB’都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．
(1)证明：△C’BD≌△B’DC；
(2)证明：△AC’D≌△DB’A；
(3)对△ABC、△ABC’、△BCA’、△CAB’，从面积大小关系上，你能得出什么结论
(第17届江苏省竞赛题)