3.1.2椭圆的简单几何性质----巩固提升训练题
一、单选题
1.过椭圆的一个焦点，且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
2.直线被椭圆截得的弦长是( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆与直线交于，两点，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.斜率为的直线与椭圆交于不同两点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
7.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
8.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线为坐标原点的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则= .
10.直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长= .
11.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于、两点．若线段的中点为，直线的斜率为，则椭圆的方程为 .
12.已知椭圆：的左焦点为，离心率为过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线的斜率为 .
三、解答题
13如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为右焦点 又点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且．求椭圆的方程.
14.已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点当的面积取得最大值时，
求的值.
15.已知直线与椭圆交于，两点，中点坐标为，椭圆的离心率为，若直线被圆截得的弦长为，求椭圆方程.答案：
一、选择题
1.过椭圆的一个焦点，且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：，.
所求弦长就是椭圆通径的长度：23.
选C.
注 ：过椭圆的一个焦点，且求与焦点所在轴垂直的弦叫做椭圆的通径，其长=2.
2.直线被椭圆截得的弦长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：联立，得．
设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为，.
思路1：
由韦达定理，得，，则
．
思路2：
解方程，得，，则
===.
题选A．
注：直线被椭圆截得的弦的长度求法公式：①；②.
解题时灵活选择.
3.已知椭圆与直线交于，两点，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：联立方程组，消，得.
>0，16>0，.
设，，根据韦达定理，有，.
，，=，.
，符合.
选A．
注：对于此题，弦长公式选择“”，计算相对方便.
4.斜率为的直线与椭圆交于不同两点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：设直线的方程为.
联立方程组，消y，得.
，即．
设，，根据韦达定理，有，.
，当且仅当时等号成立．
故选：．
5.椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：根据题意，设以点为中点弦的两端点为，.
则有，两式做差，得：，即
为的中点，，，代入①式，得，即以点为中点的弦所在直线斜率为．
故选C．
6.直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：设，.
联立方程组，消y，得，则.
中点的横坐标为，，解得
故选C．
注：此题没用“点差法”处理.
7.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：设过点的直线与椭圆相交于两点，，，
则有得：.
点为弦的中点，，，代入③式，，
.
所求直线的方程是，即．
故选D．
8.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线为坐标原点的斜率为，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：设，，，则，.
，②.
①－②，得，即2=0，
整理，得=－4， ．
选．
二、填空题
9.已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则= .
【答案】
解析：的周长为定值4a=8，即.
的最大值为，的最小值为3.
过焦点的弦中，通径最短，，23，．
注：过焦点的弦中，通径最短.
10.直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长= .
【答案】.
解析：联立方程组，消y，得(1+4)+8kx=0，，(k).
弦长m===.
设t=1+4(t>1)，则，代入①，整理，得m=2=2，
当==时，弦长m有最大值.
11.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于、两点．若线段的中点为，直线的斜率为，则椭圆的方程为 .
【答案】.
解析：设，，则，.
则，得，，
整理，得，即，．
直线与横轴交点坐标为(3，0)，右焦点，则，
由①②，得，．椭圆的方程为.
12.已知椭圆：的左焦点为，离心率为过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线的斜率 .
【答案】
解析：设，，，则，，，
.
得，，整理，得，
．
，2，，5()，=.
直线的斜率为．
三、解答题
13.如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为右焦点 又点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且．求椭圆的方程.
解析：，.，，
，，，.
，，，
，，椭圆C的方程为．
14.已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点当的面积取得最大值时，求的值.
解析：设，.
联立方程组，消y，得.，
．
，， ．
直线，化为一般式：到直线的距离.
的面积，当且仅当，即时，取等号，有最大值，此时．
15.已知直线与椭圆交于，两点，中点坐标为，椭圆的离心率为，若直线被圆截得的弦长为，求椭圆方程.
解析：设，两点的坐标分别为，，则.
①－②，得，，=2.
，=1－=.
直线，直线的方程：，即=0.
圆心到直线的距离，半弦长=，半径r=b，则，，8.
椭圆方程为．
