13.4课程学习 最短路径问题 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.4课程学习 最短路径问题 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 17:02:22 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
13.4课程学习 最短路径问题
人教版 八年级上册
教学目标
【教学目标】
1.知识与技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。
3.情感态度和价值观
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
【重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
【难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
回顾复习
如图，连接 、 两点的所有连线中，哪条最短？为什么
2
1
3
路线②最短
两点之间，线段最短.
回顾复习
点是直线外一点，点 与该直线 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
最短
1
1
1
1
1
1
1
垂线段最短
新知探究
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
A
l
C
考点一 将军饮马问题
新知探究
如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。
A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
.C
那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？
新知探究
A
B
l
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
新知探究
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
A
B
l
C
你能证明这个结论吗？
新知探究
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
l
A
B
B′
C
C′
归纳总结
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点，使得 最短.
在直线 异侧
在直线 同侧
归纳总结
最短路径问题：
两点之间，线段最短
依据
利用轴对称实现线段的转移
关键
需要注意的细节：
区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程.
针对训练
1.有两棵树位置如图，树的底部分别为 地上有一只昆虫沿着—的路径在地面上爬行. 小树顶处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 处. 问小鸟飞至之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.
作法：
针对训练
2.如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？
解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
A
B
a
B′
P
针对训练
3.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
新知探究
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
a
b
M
N
考点二 造桥选址问题
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b
M
N
新知探究
A
B
M
N
a
b
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
新知探究
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
A
B
M
N
a
b
A′
新知探究
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
B
M
N
a
b
A′
你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？
新知探究
在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
B
M
N
a
b
A′
M′
N′
新知探究
证明：在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
N′
A
B
M
N
a
b
A′
M′
归纳总结
1.实际问题用数学语言表达.
2.利用平移，实现线段的转移.
3.把已知问题转化成容易解决的问题.
4.用符号语言进行推理和表达.
归纳总结
最短路径问题
造桥选址问题
练习
归纳总结
化归思想.
利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题.
两点之间，线段最短.
依据
方法
思想
针对训练
作法：1.将点 沿直线 方向平移至 ，使得 .
3.连接 ，与直线 交于一点即为所求点 .
2.作 关于直线 的对称点 .
4.在点 左侧取点 ，使得 ，即为所求点 .
1.已知线段 ，点 在直线 的同侧，在直线 上求作两点 ，（点 在点 的左侧）且 ，使得四边形 的周长最小.
针对训练
2.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
针对训练
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂总结
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
谢谢
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13.4课程学习 最短路径问题
人教版 八年级上册
教学目标
【教学目标】
1.知识与技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。
3.情感态度和价值观
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
【重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
【难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
回顾复习
如图，连接 、 两点的所有连线中，哪条最短？为什么
2
1
3
路线②最短
两点之间，线段最短.
回顾复习
点是直线外一点，点 与该直线 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
最短
1
1
1
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1
1
垂线段最短
新知探究
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
A
l
C
考点一 将军饮马问题
新知探究
如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。
A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
.C
那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？
新知探究
A
B
l
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
新知探究
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
A
B
l
C
你能证明这个结论吗？
新知探究
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′
最小的，故点C的位置符合要求.
l
A
B
B′
C
C′
归纳总结
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点，使得 最短.
在直线 异侧
在直线 同侧
归纳总结
最短路径问题：
两点之间，线段最短
依据
利用轴对称实现线段的转移
关键
需要注意的细节：
区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程.
针对训练
1.有两棵树位置如图，树的底部分别为 地上有一只昆虫沿着—的路径在地面上爬行. 小树顶处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 处. 问小鸟飞至之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.
作法：
针对训练
2.如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？
解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
A
B
a
B′
P
针对训练
3.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
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新知探究
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
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M
N
考点二 造桥选址问题
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
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新知探究
A
B
M
N
a
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（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
新知探究
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
A
B
M
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新知探究
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
B
M
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a
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你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？
新知探究
在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
B
M
N
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A′
M′
N′
新知探究
证明：在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
N′
A
B
M
N
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M′
归纳总结
1.实际问题用数学语言表达.
2.利用平移，实现线段的转移.
3.把已知问题转化成容易解决的问题.
4.用符号语言进行推理和表达.
归纳总结
最短路径问题
造桥选址问题
练习
归纳总结
化归思想.
利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题.
两点之间，线段最短.
依据
方法
思想
针对训练
作法：1.将点 沿直线 方向平移至 ，使得 .
3.连接 ，与直线 交于一点即为所求点 .
2.作 关于直线 的对称点 .
4.在点 左侧取点 ，使得 ，即为所求点 .
1.已知线段 ，点 在直线 的同侧，在直线 上求作两点 ，（点 在点 的左侧）且 ，使得四边形 的周长最小.
针对训练
2.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
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C′
E
E′
B
针对训练
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
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课堂总结
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
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