等腰三角形[上学期]
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文档简介
学科：数学
教学内容：等腰三角形
新课指南
1.知识与技能：（1）经历获得知识的过程，并通过观察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性质及判定；（2）了解等边三角形的性质和判定等知识的形成过程，培养丰富的想像力，增强审美意识.
2.过程与方法：经历探索等腰（边）三角形的性质及判定，探索应用等腰三角形知识解决实际问题，尤其是用轴对称的性质来解释等腰（或等边）三角形的相关性质，进一步体会从一般到特殊，再从特殊到一般的研究事物的辩证方法.
3.情感态度与价值观：培养学生合作交流、体验成功、体验审美、增强自信心，同时，充分体会分类讨论数学思想在解决问题中的广泛应用.
4.重点与难点；重点是等腰三角形的性质和判定.难点是由轴对称知识来理解和掌握等腰三角形的性质和判定.
教材解读 精华要义
数学与生活
如图14－61所示，位于在海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
思考讨论 如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，而已知∠A=∠B，能直接由此判断出OA=OB吗？
知识详解
知识点1 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图14－62所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角.
知识点2 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
【说明】 等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.
例如：如图14－63所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.
证明：过点A作BC边上的中线AD.
∴BD=DC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
探究交流
上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的性质证明出“∠B=∠C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是∠BAC的平分线和BD边上的高？试试看.
点拨 由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.
知识点3 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
例如：图14－64所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）.
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
知识点4 等边三角形的概念
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
知识点5 等边三角形的性质和判定
Ⅰ.等边三角形的性质和判定.
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
Ⅱ.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典例剖析 师生互动
基础知识应用题
本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.
例1 已知三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数.
(分析)因为等腰三角形的内角和是180°，若110°是底角，则110°×2=220°＞180°，所以110°只能是顶角.故底角是=35°.
解：由题意可知，110°是顶角，设底角为α，则
2α+110°=180°，∴α=35°.
∴这个三角形另外两个角是35°，35°.
例2 等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.
（分析）用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80°，则设底角为α，由三角形内角和得2α+80°=180°，∴α=50°.若底角是80°则设项角为β，由三角形内角和得2×80°+β=180°，∴β=20°.
解：①若顶角是80°，设底角为α，则有
2α+80°=180°，
∴α=50°.
②若底角是80°，设顶角为β，则有
80°×2+β=180°，
∴β=20。
∴这个等腰三角形的另外两个角是50°，50°或80°，20°.
学生做一做 （1）若等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角为 ；
（2）若等腰三角形的两个内角和为100°，则它的顶角为 .
老师评一评 （1）只告诉一个内角为40°，并没有说明是哪一个内角，所以应分两种情况来讨论：若顶角为40°，则40°+2α=180°，α=70°。符合要求，直接填上即可；若底角为40°，则顶角为180°-2×40°=100°，符合要求.∴应填40°或100°.
（2）已知两个内角的和为100°，三角形的内角和为180°，所以可知等腰三角形一个内角为180°-100°=80°，同样用分类讨论方法来考虑：若80°是顶角，可直接填上即可；若80°是底角，则顶角是100°-80°=20°.∴应填80°或20°.
例3 等腰三角形的底角与顶角的度数之比为2∶1，则顶角为( )
A.72° B.36° C.36°或72° D.18°
(分析) 设顶角为α，则底角为2α，由三角形的内角和可知，α+2×2α=180°，5α=180°，∴α=36°，∴这个三角形的顶角为36°，故正确答案为B项.
例4 若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A.21cm B.18cm C.18cm或21cm D.13cm或26cm
（分析）由题意可知，8+5+5=18(cm)，故正确答案为B项.
学生做一做 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则它的周长为 .
老师评一评 题中给出等腰三角形的两边长分别是8和4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：
①若腰是8，底是4，则另一腰是8，有4+8＞8，满足三角形三边关系，∴8×2+4=20；
②若腰是4，底是8，则另一腰是4，有4+4=8，不满足三角形三边关系，∴这种情况不存在.
∴这个三角形的周长为20.
小结 已知等腰三角形两边，求第三边或周长时，要全面考虑第三边的情况，求出第三边要满足三角形的三边关系，所以上题可以这样考虑：
设这个等腰三角形的第三边为x，由三角形三边关系可知，
8-4＜x＜8+4，
即4＜x＜12，
又因为这个三角形是等腰三角形，所以第三边只能考虑4或8，
由4＜x＜12，∴x=8，
∴这个三角形的第三边为8，其周长为8×2+4=20.
例5 如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为.
.
（分析）设这个三角形的腰长为xcm，则底边长为10-2x=2（5-x）cm.
共有4种情况：①当x=1cm时，10-2x=8(cm)；
②当x=2cm时，10-2x=6(cm)；
③当x=3cm时，10-2x=4(cm)；
④当x=4cm时，10-2x=2(cm).
又由三角形三边关系可知，①②不满足三角形三边关系.
∴这个三角形的三边有两种；
3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.
答案：3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括：（1）等腰（边）三角形的性质和判定的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（3）与三角形全等的综合应用.
例6 如图14－65所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.
（分析）本题由已知条件知，图中的三个三角形都是等腰三角形，相等的角或有关系的角较多，为了明确它们之间的关系，这类题往往要设其中一个角为α，然后利用α将其余的角表示出来.
解：∵AB=AC=CD，AD=DB
∴∠1=∠2，∠B=∠3，∠B=∠C.
设∠B=α，则∠B=∠3=∠C=α，∠1=∠2=∠3+∠B=2α.
在△ABC中，∠B+∠C+∠1+∠3=180°，
即α+α+2α+α=180°，
5α=180°，α=36°.
∴∠BAC=∠3+∠1=α+2α=3α=3×36°=108°.
∴∠BAC的度数为108°.
学生做一做 （1）如图14－66所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求∠B的度数；
（1）如图14－67所示，已知BD=CD=AC，∠B=18°，求∠ACB的度数.
老师评一评 （1）（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的角表示出来.
（1）∵AB=AC，BC=CD=AD，
∴∠B=∠ACB，∠2=∠B，∠1=∠A.
设∠1=∠A=α，则∠2=∠B=2a，∠3=∠B-∠1=a.
在△BCD中，∠B+∠2+∠3=180°，
∴2α+2α+α=180°，
∴5α=180°，∴α=36°，
∴∠B=2α=2×36°=72°.
（2）∵BD=CD=AC，
∴∠1=∠B，∠2=∠A.
又∵∠2=∠1+∠B=2∠B，∠B=18°，
∴∠2=2×18°=36°.∴∠A=36°.
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-36°-18°=126°.
例7 如图14－68所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.
（分析）本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）.
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.
例8 如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.
（分析）主要考查等腰三角形性质的应用.
解：AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下：
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线；
∴2∠EAC=∠DAC，
∴∠C=∠EAC，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.
学生做一做 （1）如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线；
（2）如图14－69所示，在△ABC中，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC.试判断△ABC的形状.
老师评一评 本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），
∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∴∠EAC=∠DAE.
∴AE是∠DAC的平分线.
（2）△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAE=∠EAC.
又∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）.
∴△ABC是等腰三角形.
例9 如图14－70所示，△ABD和△ACE是等边三角形.求证BE=CD.
（分析）欲证BE=CD，只需证明△ADC≌△ABE即可.
证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
AD=AB，AC=AE
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS）.
∴DC=BE（全等三角形的对应边相等）.
学生做一做 如图14-71所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.
老师评一评 欲证BE=AD，只需证明△BCE≌△ACD即可.
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，EC=CD.
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）.
∴BE=AD（全等三角形的对应边相等）.
小结 在完成类似的几何问题时，要注意灵活，举一反三，这样就可以避免题海战术，能够以点代面，同一类问题研究透彻，类似问题便能迎刃而解.
例10 等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm.
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）求y的取值范围.
（分析）本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识.
解：（1）y=10-2x.
（2）∵x，y为线段，∴x＞0，y＞0.
∴10-2x＞0，∴O＜x＜5.①
又∵x，y为三角形边长，
∴x+x＞y，即2x＞10-2x.②
由①②可得2.5＜x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
（3）∵2.5＜x＜5，∴5＜2x＜10，∴-10＜-2x＜-5，∴O＜10-2x＜5，
∴O＜y＜5.
∴y的取值范围是O＜y＜5.
例11 如图14-72所示，在△ABC中.AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC与∠A的关系.
图14-72
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=（180°-∠A）=90°-∠A.
又∵BD⊥AC.∴∠BDC=90°.
∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°-∠A）=∠A，
∴∠DBC=∠A.
即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于该等腰三角形顶角的一半.
学生做一做 （1）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，若∠DBC=25°，则∠A= ；
（2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=70°，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC= .
老师评一评 由例11的结论得出；（1）题中，∠DBC=25°=∠A，∴∠A=50°.（2）题中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°.∴∠A=40°.∴∠DBC=20°.
例12 如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.
（分析）主要应用线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质.
解：连接AE，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°.
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB.∴∠EAB=∠B=30°.
∴∠CAE=30°.
∴AE是∠CAB的平分线.
又∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴DE=EC=3cm.
在Rt△DBE中，∠B=30°，∠EDB=90°，
∴DE=BE，∴BE=2×3=6(cm).
学生做一做 如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.
老师评一评 连接MA，
∴∠C=90°，∠B=15°，
∴∠CAB=75°.
又∵MN是AB的垂直平分线，
∴MA=MB.
∴∠MAB=∠B=15°.
∴∠CAM=∠CAB-∠MAB=75°-15°=60°.
∴∠CMA=30°.
在Rt△CMA中，∠C=90°，∠CMA=30°，
∴CA=MA.∴CA=MB.
即MB=2AC.
小结 在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时，经常考虑30°角所对的直角边.
探索与创新题
主要考查：（1）利用等腰三角形知识探索和创新的能力；（2）图形分割；（3）辅助线的灵活应用；（4）探讨结论性问题等。
例13 如图14-75所示，已知点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明之；
（2）试说明△ODE的周长与BC的关系；
（3）若BC=12cm，则△ODE的周长 .
（分析）本题（1）问主要是等腰三角形的判定；（2）问是探讨两者间的数量关系，由（1）可得；（3）问由（2）问的结果得出.
解：（1）图形中共有两个等腰三角形，它们分别是△OBD和△OCE.
以△OBD为例.
∵BO平分∠ABC，∴∠1=∠2.
又∵OD∥AB，∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.∴DB=OD.
∴△OBD是等腰三角形.
（2）由（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.
∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.
∴△ODE的周长与BC的关系是：△ODE的周长=BC.
（3）由（2）可知，△ODE的周长=BC.
又∵BC=12cm，
∴△ODE的周长=12cm.
学生做一做 如图14－76所示，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，经过点O的直线DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.
（1）图中等腰三角形分别是 ；
（2）DE与BD+EC的关系是：BD= .
老师评一评 欲证等腰三角形，需证角相等.
（1）∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC.
又∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∴∠DOB=∠ABO.∴DB=DO.
∴△DBO是等腰三角形.
同理EO=EC.
∴△EOC是等腰三角形.
（2）DE=DO+OE=BD+EC，
∴DE=BD+EC.
例14 如图14－77所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=BC，AE=AC.试问：∠DCE是否与∠A有关？如果无关，求∠DCE的大小.
解：∠DCE与∠A无关，∠DCE=45°.理由如下：
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD.
∴∠BDC=（180°-∠B）=90°-∠B.
又∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE.
∴∠AEC=（180°-∠A）=90°-∠A.
∴∠AEC+∠BDC=（90°-∠A）+（90°-∠B）
=180°-（∠A+∠B）.
又∵∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠AEC=180°-×90°=135°.
∴∠BDC+∠AEC=135°.
∴∠DCE=45°.
例15 如图14－78所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.
（分析）如何利用条件∠B=2∠C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，会找到不同的解题方法.
证明：在CD上截取DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，∴AE=AB.
∴∠B=∠AEB.
又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.
∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.
∴AB+BD=CD.
例16 （2003·杭州）如图14－79所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若OC=4，则PD等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
（分析）本题中有角平分线、平行线，这是等腰三角形的重要形成条件，另外，PD⊥OA于D，显然需要作另外一个垂直，这是角平分线性质的一个重要应用.
如图14－80所示，
过点P作PE⊥OB于E.
又∵OP平分∠BOA，PD⊥OA于D.
∴PD=PE.
∵PC∥OA，∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，∠1=15°，
∴∠3=15°，CO=CP.
∴∠4=∠1+∠3=2∠1=15°×2=30°.
在Rt△CPE中，∠4=30°，∠CEP=90°，
∴PE=PC=OC=×4=2.
∴PD=2，故正确答案为C项.
学生做一做 如图14－81所示，已知矩形ABCD，沿对角线AC把△DAC翻折，AD′与BC相交于点E.判断△AEC的形状.
老师评一评 △AEC是等腰三角形，关键是证明∠EAC=∠ECA.
理由如下：
由题意可知，△ADC≌△AD′C，
∴∠DAC=∠D′AC.
又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE.
∴∠D′AC=∠ACE.∴EA=EC.
∴△EAC是等腰三角形.
小结 （1）证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
①若两条线段属于两个三角形，则考虑对应的三角形全等；
②若两条线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
③寻找中间线段，通过等量代换来证明.
（2）类似地，我们可以对证明角相等，等边三角形的判定作归纳总结.
在证明等腰三角形时，常需应用作辅助线构造全等三角形，进而应用等腰三角形的性质为题目服务，常用的构造方法有：
①“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
②“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
③用“垂直平分线”构造等腰三角形；
④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现，在综合题中，等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。
中考试题预测
例1 （2004·黄冈）如图14－82所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.
（分析）证线段2倍关系，通常考虑在直角三角形中是否有30°角.
证明：如图14－83所示，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C==30°.
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC.∴∠C=∠FAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.
在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°，
∴AF=BF.∴CF=BF.
∴BF=2CF.
例2 （2004·四川）如图14－84所示，D是△ABC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE.求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.
（分析）（1）只需证△BFD≌△CED，证∠B=∠C即可.
（2）只需证邻边相等，因为邻边相等的长方形是正方形.
证明：（1）∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∴AB=AC（等角对等边）.
∴△ABC是等腰三角形.
解：（2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形.
理由如下：
∵∠AFD=∠AED=∠A=90°，
∴四边形AFDE是长方形.
由（1）知△BFD≌△CED，∴FD=ED.
∴四边形AFDE是正方形.
例3 (2004·陕西)如图14－85所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )
A.150° B.130° C.120° D.100°
（分析）本题主要考查：（1）直角三角形两锐角互余；（2）三角形内角和是180°.具体过程如下：
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB=∠ADC=90°.
又∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠ACD=90°-50°=40°.
又∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）-（∠ABE+∠ACD）
=130°-（40°+40°）=50°.
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-50°=130°.
∴∠BPC=130°.故正确答案为B项.
例4 （中考预测题）如图14－86所示，在梯形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠A=100°，试求∠DBC的度数.
（分析）本题要求一个角的度数，已知条件中的AD∥BC恰与角有密切联系，所以应该充分利用.
解：由AD=AB知，∠ADB=∠ABD（等腰三角形的底角相等），由AD∥BC知，∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）.
可见∠ABD=∠DBC.
而∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠A=100°，所以100°+2∠DBC=180°.
可以得出∠DBC=40°.
例5 （2004·青海）如图14－87所示，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD= .
（分析）由题意可知△BDC≌△BDE.
∴∠DBC=∠DBE.
又∵AD∥BC，∴∠ODB=∠DBC.
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠DBC=15°，
∴∠OBD=∠ODB=15°.
∴∠BOD=180°-15°×2=150°.
课堂小结 本节归纳
本节主要学习了：
（1）等腰三角形的概念、性质和判定；
（2）等边三角形的概念、性质和判定；
（3）直角三角形（有一个角是30°的直角三角形）的性质.
习题选解 课本习题
课本第149～151页
习题14.3
1.（1）35°，35°（2）80°，20°或50°，50°
2.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD（等角对等边）.
3.解：∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，
∴每个底角的度数是（180°-36°）=72°.
∴∠AMB=180°-72°=108°.
4.解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=×（180°-100°）=40°.
又∵AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=×100°=50°.
5.解：△ECB是等腰三角形.理由如下：
∵CE∥AD，∴∠A=∠CEB.
又∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.∴CE=CB.
∴△CBE是等腰三角形.
6.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
7.解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=×（180°-40°）=70°.
又∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB.
∴∠A=∠DBA=40°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
9.解：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB.这是利用了等腰三角形的判定
10.解：∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，∠NBC=∠NAC+∠C，
84°=42°+∠C，∴∠C=42°.∴BC=BA.
又∵BA=15×（10-8）=30（海里），
∴BC=30海里.
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.
11.证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°.
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中，
∴△ADC≌△ABE（SAS）.
∴DC=BE.
12.解：等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的中线相等，等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例证明.
已知：如图14－88所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（AAS）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
13.提示：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是CD的垂直平分线.
理由如下：
∵OE平分∠AOB，ED⊥OB，EC⊥OA，垂足分别为D，C，
∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）.
∴OD=OC.∴△ODC是等腰三角形.
又∵OE是∠DOC的平分线，
∴OE是底边CD上的高和中线.
即OE是线段DC的垂直平分线.
14.解：如图14－89所示.
作法如下：作∠CAB的平分线AD，交于BC于点D，再作DE上AB，垂足为E.
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.∴∠1=∠2=30°.
又∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠C=∠AED=90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS）.
又∵∠2=∠B=30°，∴DA=DB.
又∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°.
在Rt△ADE和Rt△BDE中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDE（AAS）.
∴Rt△ADC≌Rt△ADE≌Rt△BDE.
自我评价 知识巩固
1.等边三角形的两条中线所成的钝角的度数是( )
A.120° B.130° C.150° D.160°
2.设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是( )
A.0°≤∠A＜180° B.0°＜∠A＜180°
C.0°≤∠A＜180° D.0°＜∠A＜90°
3.一个三角形的外角分别是135°，90°，135°，则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.如果等腰三角形一底角为α，那么( )
A.α≤45° B.0°＜α＜90° C.α≤90° D.90°＜α＜180°
5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的2倍 D.底角的一半
6.如图14－90所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
7.如图14－91所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是( )
A.15 B.18 C.24 D.30
8.如图14－92所示，O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB，交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则面DOE的周长为( )
A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm
9.在△ABC中，若AB=AC，∠A=90°，则∠B= ，∠C= .
10.如果一个三角形的两个内角分别为70°，40°，那么这个三角形是 .
11.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则∠B= ，∠C= ，△ABC是 三角形.
12.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2倍，这个等腰三角形各角的度数分别是 .
13.如图14-93所示，BD是△ABC的角平分线，∠A=36°，∠C=72°，则图中共有 个等腰三角形，它们分别是 .
14.（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm，那么它的周长是 ；
（2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则这个等腰三角形的周长是 .
15.等腰三角形两腰上的高、中线，两底角平分线分别 .
16.在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么这个三角形是 三角形.
17.若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则这个三角形是 三角形.
18.一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长.
19.如图14－94所示，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证△ADE也是等腰三角形.
20.如图14－95所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，试证明BD是∠ABC的平分线.
21.如图14－96所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形.
22.在△ABC中，AB=AC，CD为底边上的高，△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，求AD的长.
23.如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.
24.(1)如图14－98所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F.试判断△AEF的形状，并说明理由；
(2)如图14-98所示，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，AE=AF.试说明BE平分∠ABC.
参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.45°，45° 10.等腰三角形
11.60° 60° 等边 12.36°，72°，72° 13.3 △ABC，△ ABD，△BCD
14.（1）15cm或18cm （2）25cm 15.相等 16.等腰直角 17.等边
18.提示：分两种情况讨论：
①若以4cm为底边长，设腰长为xcm，
则有4+2x=18，∴x=7.
∴另外两边的长为7cm，7cm.
②若以4cm为腰长，设底边长为ycm，则有
4×2+y=18，∴y=10.
∴4+4＜10，不满足三角形的三边关系，
∴4cm，4cm，10cm不能组成三角形.
∴三角形的另外两条边长为7cm，7cm.
19.证明:∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.
∴△ADE是等腰三角形.
20.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.
∴∠DBC=∠ABD.
∴BD是∠ABC的平分线.
21.证明：∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠1=∠2，
∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2，
即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
22.解：如图14－99所示.
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴BD=DC.
又∵△ABD的周长为12cm，△ABC的周长为16cm，
∴AB+BD=16÷2=8（cm）.
AB+BD+AD=12（cm）.
∴AD=12-8=4（cm）.
23.证明：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ECB.
又∵EF∥BC，∴∠DEC=∠ECB.
∴∠ACE=∠DEC.∴DE=DC.
同理DF=DC.∴DE=DF.
24.解：（1）如图14－100所示.
∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2.
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2，∴∠3=∠4.
又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴AE=AF.
∴△AEF是等腰三角形.
（2）如图14－101所示.
∵AE=AF，∴∠1=∠2.
又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3.
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠4=90°-∠2，∠5=90°-∠3，∴∠4=∠5.
∴BE是∠ABC的平分线.
教学内容：等腰三角形
新课指南
1.知识与技能：（1）经历获得知识的过程，并通过观察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性质及判定；（2）了解等边三角形的性质和判定等知识的形成过程，培养丰富的想像力，增强审美意识.
2.过程与方法：经历探索等腰（边）三角形的性质及判定，探索应用等腰三角形知识解决实际问题，尤其是用轴对称的性质来解释等腰（或等边）三角形的相关性质，进一步体会从一般到特殊，再从特殊到一般的研究事物的辩证方法.
3.情感态度与价值观：培养学生合作交流、体验成功、体验审美、增强自信心，同时，充分体会分类讨论数学思想在解决问题中的广泛应用.
4.重点与难点；重点是等腰三角形的性质和判定.难点是由轴对称知识来理解和掌握等腰三角形的性质和判定.
教材解读 精华要义
数学与生活
如图14－61所示，位于在海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
思考讨论 如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，而已知∠A=∠B，能直接由此判断出OA=OB吗？
知识详解
知识点1 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图14－62所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角.
知识点2 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
【说明】 等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.
例如：如图14－63所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.
证明：过点A作BC边上的中线AD.
∴BD=DC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
探究交流
上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的性质证明出“∠B=∠C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是∠BAC的平分线和BD边上的高？试试看.
点拨 由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.
知识点3 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
例如：图14－64所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）.
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
知识点4 等边三角形的概念
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
知识点5 等边三角形的性质和判定
Ⅰ.等边三角形的性质和判定.
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
Ⅱ.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典例剖析 师生互动
基础知识应用题
本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.
例1 已知三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数.
(分析)因为等腰三角形的内角和是180°，若110°是底角，则110°×2=220°＞180°，所以110°只能是顶角.故底角是=35°.
解：由题意可知，110°是顶角，设底角为α，则
2α+110°=180°，∴α=35°.
∴这个三角形另外两个角是35°，35°.
例2 等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.
（分析）用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80°，则设底角为α，由三角形内角和得2α+80°=180°，∴α=50°.若底角是80°则设项角为β，由三角形内角和得2×80°+β=180°，∴β=20°.
解：①若顶角是80°，设底角为α，则有
2α+80°=180°，
∴α=50°.
②若底角是80°，设顶角为β，则有
80°×2+β=180°，
∴β=20。
∴这个等腰三角形的另外两个角是50°，50°或80°，20°.
学生做一做 （1）若等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角为 ；
（2）若等腰三角形的两个内角和为100°，则它的顶角为 .
老师评一评 （1）只告诉一个内角为40°，并没有说明是哪一个内角，所以应分两种情况来讨论：若顶角为40°，则40°+2α=180°，α=70°。符合要求，直接填上即可；若底角为40°，则顶角为180°-2×40°=100°，符合要求.∴应填40°或100°.
（2）已知两个内角的和为100°，三角形的内角和为180°，所以可知等腰三角形一个内角为180°-100°=80°，同样用分类讨论方法来考虑：若80°是顶角，可直接填上即可；若80°是底角，则顶角是100°-80°=20°.∴应填80°或20°.
例3 等腰三角形的底角与顶角的度数之比为2∶1，则顶角为( )
A.72° B.36° C.36°或72° D.18°
(分析) 设顶角为α，则底角为2α，由三角形的内角和可知，α+2×2α=180°，5α=180°，∴α=36°，∴这个三角形的顶角为36°，故正确答案为B项.
例4 若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A.21cm B.18cm C.18cm或21cm D.13cm或26cm
（分析）由题意可知，8+5+5=18(cm)，故正确答案为B项.
学生做一做 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则它的周长为 .
老师评一评 题中给出等腰三角形的两边长分别是8和4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：
①若腰是8，底是4，则另一腰是8，有4+8＞8，满足三角形三边关系，∴8×2+4=20；
②若腰是4，底是8，则另一腰是4，有4+4=8，不满足三角形三边关系，∴这种情况不存在.
∴这个三角形的周长为20.
小结 已知等腰三角形两边，求第三边或周长时，要全面考虑第三边的情况，求出第三边要满足三角形的三边关系，所以上题可以这样考虑：
设这个等腰三角形的第三边为x，由三角形三边关系可知，
8-4＜x＜8+4，
即4＜x＜12，
又因为这个三角形是等腰三角形，所以第三边只能考虑4或8，
由4＜x＜12，∴x=8，
∴这个三角形的第三边为8，其周长为8×2+4=20.
例5 如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为.
.
（分析）设这个三角形的腰长为xcm，则底边长为10-2x=2（5-x）cm.
共有4种情况：①当x=1cm时，10-2x=8(cm)；
②当x=2cm时，10-2x=6(cm)；
③当x=3cm时，10-2x=4(cm)；
④当x=4cm时，10-2x=2(cm).
又由三角形三边关系可知，①②不满足三角形三边关系.
∴这个三角形的三边有两种；
3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.
答案：3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括：（1）等腰（边）三角形的性质和判定的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（3）与三角形全等的综合应用.
例6 如图14－65所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.
（分析）本题由已知条件知，图中的三个三角形都是等腰三角形，相等的角或有关系的角较多，为了明确它们之间的关系，这类题往往要设其中一个角为α，然后利用α将其余的角表示出来.
解：∵AB=AC=CD，AD=DB
∴∠1=∠2，∠B=∠3，∠B=∠C.
设∠B=α，则∠B=∠3=∠C=α，∠1=∠2=∠3+∠B=2α.
在△ABC中，∠B+∠C+∠1+∠3=180°，
即α+α+2α+α=180°，
5α=180°，α=36°.
∴∠BAC=∠3+∠1=α+2α=3α=3×36°=108°.
∴∠BAC的度数为108°.
学生做一做 （1）如图14－66所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求∠B的度数；
（1）如图14－67所示，已知BD=CD=AC，∠B=18°，求∠ACB的度数.
老师评一评 （1）（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的角表示出来.
（1）∵AB=AC，BC=CD=AD，
∴∠B=∠ACB，∠2=∠B，∠1=∠A.
设∠1=∠A=α，则∠2=∠B=2a，∠3=∠B-∠1=a.
在△BCD中，∠B+∠2+∠3=180°，
∴2α+2α+α=180°，
∴5α=180°，∴α=36°，
∴∠B=2α=2×36°=72°.
（2）∵BD=CD=AC，
∴∠1=∠B，∠2=∠A.
又∵∠2=∠1+∠B=2∠B，∠B=18°，
∴∠2=2×18°=36°.∴∠A=36°.
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-36°-18°=126°.
例7 如图14－68所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.
（分析）本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）.
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.
例8 如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.
（分析）主要考查等腰三角形性质的应用.
解：AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下：
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线；
∴2∠EAC=∠DAC，
∴∠C=∠EAC，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.
学生做一做 （1）如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线；
（2）如图14－69所示，在△ABC中，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC.试判断△ABC的形状.
老师评一评 本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），
∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∴∠EAC=∠DAE.
∴AE是∠DAC的平分线.
（2）△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAE=∠EAC.
又∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）.
∴△ABC是等腰三角形.
例9 如图14－70所示，△ABD和△ACE是等边三角形.求证BE=CD.
（分析）欲证BE=CD，只需证明△ADC≌△ABE即可.
证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
AD=AB，AC=AE
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS）.
∴DC=BE（全等三角形的对应边相等）.
学生做一做 如图14-71所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.
老师评一评 欲证BE=AD，只需证明△BCE≌△ACD即可.
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，EC=CD.
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）.
∴BE=AD（全等三角形的对应边相等）.
小结 在完成类似的几何问题时，要注意灵活，举一反三，这样就可以避免题海战术，能够以点代面，同一类问题研究透彻，类似问题便能迎刃而解.
例10 等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm.
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）求y的取值范围.
（分析）本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识.
解：（1）y=10-2x.
（2）∵x，y为线段，∴x＞0，y＞0.
∴10-2x＞0，∴O＜x＜5.①
又∵x，y为三角形边长，
∴x+x＞y，即2x＞10-2x.②
由①②可得2.5＜x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
（3）∵2.5＜x＜5，∴5＜2x＜10，∴-10＜-2x＜-5，∴O＜10-2x＜5，
∴O＜y＜5.
∴y的取值范围是O＜y＜5.
例11 如图14-72所示，在△ABC中.AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC与∠A的关系.
图14-72
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=（180°-∠A）=90°-∠A.
又∵BD⊥AC.∴∠BDC=90°.
∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°-∠A）=∠A，
∴∠DBC=∠A.
即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于该等腰三角形顶角的一半.
学生做一做 （1）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，若∠DBC=25°，则∠A= ；
（2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=70°，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC= .
老师评一评 由例11的结论得出；（1）题中，∠DBC=25°=∠A，∴∠A=50°.（2）题中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°.∴∠A=40°.∴∠DBC=20°.
例12 如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.
（分析）主要应用线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质.
解：连接AE，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°.
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB.∴∠EAB=∠B=30°.
∴∠CAE=30°.
∴AE是∠CAB的平分线.
又∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴DE=EC=3cm.
在Rt△DBE中，∠B=30°，∠EDB=90°，
∴DE=BE，∴BE=2×3=6(cm).
学生做一做 如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.
老师评一评 连接MA，
∴∠C=90°，∠B=15°，
∴∠CAB=75°.
又∵MN是AB的垂直平分线，
∴MA=MB.
∴∠MAB=∠B=15°.
∴∠CAM=∠CAB-∠MAB=75°-15°=60°.
∴∠CMA=30°.
在Rt△CMA中，∠C=90°，∠CMA=30°，
∴CA=MA.∴CA=MB.
即MB=2AC.
小结 在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时，经常考虑30°角所对的直角边.
探索与创新题
主要考查：（1）利用等腰三角形知识探索和创新的能力；（2）图形分割；（3）辅助线的灵活应用；（4）探讨结论性问题等。
例13 如图14-75所示，已知点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明之；
（2）试说明△ODE的周长与BC的关系；
（3）若BC=12cm，则△ODE的周长 .
（分析）本题（1）问主要是等腰三角形的判定；（2）问是探讨两者间的数量关系，由（1）可得；（3）问由（2）问的结果得出.
解：（1）图形中共有两个等腰三角形，它们分别是△OBD和△OCE.
以△OBD为例.
∵BO平分∠ABC，∴∠1=∠2.
又∵OD∥AB，∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.∴DB=OD.
∴△OBD是等腰三角形.
（2）由（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.
∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.
∴△ODE的周长与BC的关系是：△ODE的周长=BC.
（3）由（2）可知，△ODE的周长=BC.
又∵BC=12cm，
∴△ODE的周长=12cm.
学生做一做 如图14－76所示，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，经过点O的直线DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.
（1）图中等腰三角形分别是 ；
（2）DE与BD+EC的关系是：BD= .
老师评一评 欲证等腰三角形，需证角相等.
（1）∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC.
又∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∴∠DOB=∠ABO.∴DB=DO.
∴△DBO是等腰三角形.
同理EO=EC.
∴△EOC是等腰三角形.
（2）DE=DO+OE=BD+EC，
∴DE=BD+EC.
例14 如图14－77所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=BC，AE=AC.试问：∠DCE是否与∠A有关？如果无关，求∠DCE的大小.
解：∠DCE与∠A无关，∠DCE=45°.理由如下：
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD.
∴∠BDC=（180°-∠B）=90°-∠B.
又∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE.
∴∠AEC=（180°-∠A）=90°-∠A.
∴∠AEC+∠BDC=（90°-∠A）+（90°-∠B）
=180°-（∠A+∠B）.
又∵∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠AEC=180°-×90°=135°.
∴∠BDC+∠AEC=135°.
∴∠DCE=45°.
例15 如图14－78所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.
（分析）如何利用条件∠B=2∠C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，会找到不同的解题方法.
证明：在CD上截取DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，∴AE=AB.
∴∠B=∠AEB.
又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.
∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.
∴AB+BD=CD.
例16 （2003·杭州）如图14－79所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若OC=4，则PD等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
（分析）本题中有角平分线、平行线，这是等腰三角形的重要形成条件，另外，PD⊥OA于D，显然需要作另外一个垂直，这是角平分线性质的一个重要应用.
如图14－80所示，
过点P作PE⊥OB于E.
又∵OP平分∠BOA，PD⊥OA于D.
∴PD=PE.
∵PC∥OA，∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，∠1=15°，
∴∠3=15°，CO=CP.
∴∠4=∠1+∠3=2∠1=15°×2=30°.
在Rt△CPE中，∠4=30°，∠CEP=90°，
∴PE=PC=OC=×4=2.
∴PD=2，故正确答案为C项.
学生做一做 如图14－81所示，已知矩形ABCD，沿对角线AC把△DAC翻折，AD′与BC相交于点E.判断△AEC的形状.
老师评一评 △AEC是等腰三角形，关键是证明∠EAC=∠ECA.
理由如下：
由题意可知，△ADC≌△AD′C，
∴∠DAC=∠D′AC.
又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE.
∴∠D′AC=∠ACE.∴EA=EC.
∴△EAC是等腰三角形.
小结 （1）证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
①若两条线段属于两个三角形，则考虑对应的三角形全等；
②若两条线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
③寻找中间线段，通过等量代换来证明.
（2）类似地，我们可以对证明角相等，等边三角形的判定作归纳总结.
在证明等腰三角形时，常需应用作辅助线构造全等三角形，进而应用等腰三角形的性质为题目服务，常用的构造方法有：
①“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
②“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
③用“垂直平分线”构造等腰三角形；
④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现，在综合题中，等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。
中考试题预测
例1 （2004·黄冈）如图14－82所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.
（分析）证线段2倍关系，通常考虑在直角三角形中是否有30°角.
证明：如图14－83所示，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C==30°.
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC.∴∠C=∠FAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.
在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°，
∴AF=BF.∴CF=BF.
∴BF=2CF.
例2 （2004·四川）如图14－84所示，D是△ABC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE.求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.
（分析）（1）只需证△BFD≌△CED，证∠B=∠C即可.
（2）只需证邻边相等，因为邻边相等的长方形是正方形.
证明：（1）∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∴AB=AC（等角对等边）.
∴△ABC是等腰三角形.
解：（2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形.
理由如下：
∵∠AFD=∠AED=∠A=90°，
∴四边形AFDE是长方形.
由（1）知△BFD≌△CED，∴FD=ED.
∴四边形AFDE是正方形.
例3 (2004·陕西)如图14－85所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )
A.150° B.130° C.120° D.100°
（分析）本题主要考查：（1）直角三角形两锐角互余；（2）三角形内角和是180°.具体过程如下：
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB=∠ADC=90°.
又∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠ACD=90°-50°=40°.
又∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）-（∠ABE+∠ACD）
=130°-（40°+40°）=50°.
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-50°=130°.
∴∠BPC=130°.故正确答案为B项.
例4 （中考预测题）如图14－86所示，在梯形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠A=100°，试求∠DBC的度数.
（分析）本题要求一个角的度数，已知条件中的AD∥BC恰与角有密切联系，所以应该充分利用.
解：由AD=AB知，∠ADB=∠ABD（等腰三角形的底角相等），由AD∥BC知，∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）.
可见∠ABD=∠DBC.
而∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠A=100°，所以100°+2∠DBC=180°.
可以得出∠DBC=40°.
例5 （2004·青海）如图14－87所示，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD= .
（分析）由题意可知△BDC≌△BDE.
∴∠DBC=∠DBE.
又∵AD∥BC，∴∠ODB=∠DBC.
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠DBC=15°，
∴∠OBD=∠ODB=15°.
∴∠BOD=180°-15°×2=150°.
课堂小结 本节归纳
本节主要学习了：
（1）等腰三角形的概念、性质和判定；
（2）等边三角形的概念、性质和判定；
（3）直角三角形（有一个角是30°的直角三角形）的性质.
习题选解 课本习题
课本第149～151页
习题14.3
1.（1）35°，35°（2）80°，20°或50°，50°
2.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD（等角对等边）.
3.解：∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，
∴每个底角的度数是（180°-36°）=72°.
∴∠AMB=180°-72°=108°.
4.解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=×（180°-100°）=40°.
又∵AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=×100°=50°.
5.解：△ECB是等腰三角形.理由如下：
∵CE∥AD，∴∠A=∠CEB.
又∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.∴CE=CB.
∴△CBE是等腰三角形.
6.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
7.解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=×（180°-40°）=70°.
又∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB.
∴∠A=∠DBA=40°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
9.解：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB.这是利用了等腰三角形的判定
10.解：∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，∠NBC=∠NAC+∠C，
84°=42°+∠C，∴∠C=42°.∴BC=BA.
又∵BA=15×（10-8）=30（海里），
∴BC=30海里.
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.
11.证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°.
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中，
∴△ADC≌△ABE（SAS）.
∴DC=BE.
12.解：等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的中线相等，等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例证明.
已知：如图14－88所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（AAS）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
13.提示：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是CD的垂直平分线.
理由如下：
∵OE平分∠AOB，ED⊥OB，EC⊥OA，垂足分别为D，C，
∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）.
∴OD=OC.∴△ODC是等腰三角形.
又∵OE是∠DOC的平分线，
∴OE是底边CD上的高和中线.
即OE是线段DC的垂直平分线.
14.解：如图14－89所示.
作法如下：作∠CAB的平分线AD，交于BC于点D，再作DE上AB，垂足为E.
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.∴∠1=∠2=30°.
又∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠C=∠AED=90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS）.
又∵∠2=∠B=30°，∴DA=DB.
又∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°.
在Rt△ADE和Rt△BDE中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDE（AAS）.
∴Rt△ADC≌Rt△ADE≌Rt△BDE.
自我评价 知识巩固
1.等边三角形的两条中线所成的钝角的度数是( )
A.120° B.130° C.150° D.160°
2.设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是( )
A.0°≤∠A＜180° B.0°＜∠A＜180°
C.0°≤∠A＜180° D.0°＜∠A＜90°
3.一个三角形的外角分别是135°，90°，135°，则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.如果等腰三角形一底角为α，那么( )
A.α≤45° B.0°＜α＜90° C.α≤90° D.90°＜α＜180°
5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的2倍 D.底角的一半
6.如图14－90所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
7.如图14－91所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是( )
A.15 B.18 C.24 D.30
8.如图14－92所示，O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB，交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则面DOE的周长为( )
A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm
9.在△ABC中，若AB=AC，∠A=90°，则∠B= ，∠C= .
10.如果一个三角形的两个内角分别为70°，40°，那么这个三角形是 .
11.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则∠B= ，∠C= ，△ABC是 三角形.
12.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2倍，这个等腰三角形各角的度数分别是 .
13.如图14-93所示，BD是△ABC的角平分线，∠A=36°，∠C=72°，则图中共有 个等腰三角形，它们分别是 .
14.（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm，那么它的周长是 ；
（2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则这个等腰三角形的周长是 .
15.等腰三角形两腰上的高、中线，两底角平分线分别 .
16.在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么这个三角形是 三角形.
17.若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则这个三角形是 三角形.
18.一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长.
19.如图14－94所示，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证△ADE也是等腰三角形.
20.如图14－95所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，试证明BD是∠ABC的平分线.
21.如图14－96所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形.
22.在△ABC中，AB=AC，CD为底边上的高，△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，求AD的长.
23.如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.
24.(1)如图14－98所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F.试判断△AEF的形状，并说明理由；
(2)如图14-98所示，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，AE=AF.试说明BE平分∠ABC.
参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.45°，45° 10.等腰三角形
11.60° 60° 等边 12.36°，72°，72° 13.3 △ABC，△ ABD，△BCD
14.（1）15cm或18cm （2）25cm 15.相等 16.等腰直角 17.等边
18.提示：分两种情况讨论：
①若以4cm为底边长，设腰长为xcm，
则有4+2x=18，∴x=7.
∴另外两边的长为7cm，7cm.
②若以4cm为腰长，设底边长为ycm，则有
4×2+y=18，∴y=10.
∴4+4＜10，不满足三角形的三边关系，
∴4cm，4cm，10cm不能组成三角形.
∴三角形的另外两条边长为7cm，7cm.
19.证明:∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.
∴△ADE是等腰三角形.
20.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.
∴∠DBC=∠ABD.
∴BD是∠ABC的平分线.
21.证明：∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠1=∠2，
∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2，
即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
22.解：如图14－99所示.
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴BD=DC.
又∵△ABD的周长为12cm，△ABC的周长为16cm，
∴AB+BD=16÷2=8（cm）.
AB+BD+AD=12（cm）.
∴AD=12-8=4（cm）.
23.证明：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ECB.
又∵EF∥BC，∴∠DEC=∠ECB.
∴∠ACE=∠DEC.∴DE=DC.
同理DF=DC.∴DE=DF.
24.解：（1）如图14－100所示.
∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2.
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2，∴∠3=∠4.
又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴AE=AF.
∴△AEF是等腰三角形.
（2）如图14－101所示.
∵AE=AF，∴∠1=∠2.
又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3.
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠4=90°-∠2，∠5=90°-∠3，∴∠4=∠5.
∴BE是∠ABC的平分线.