专题24.2.2 直线与圆的位置关系（一）
【教学目标】
1、理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征
2、理解并掌握运用切线的判定定理和性质定理。
【教学重难点】
1、理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征
2、理解并掌握运用切线的判定定理和性质定理。
【知识亮解】
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
亮题一、直线与圆的位置关系
【例1】★平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【详解】因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
【例2】★已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．
【例3】★⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵⊙O的直径为10，∴r=5，∵d=6，∴d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选C。
【例4】★在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【详解】∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴点B到直线AC的距离等于5cm，而⊙B的半径为5cm，∴边AC所在的直线与⊙B相切．故答案为A．
【例5】★（2020·南京市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】先找出圆心到y轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到y轴的距离小于半径，则圆与y轴相交，反之相离，若二者相等则相切，故答案为A选项
【详解】根据题意，我们得到圆心与y轴距离为3，小于其半径4，所以与y轴的关系为相交
【例6】★的直径为，圆心到直线的距离为，下列位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】⊙的直径为，⊙的半径为，圆心到直线的距离为，
，即：，直线与⊙的位置关系是相交。故选：B.
【例7】★已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【详解】∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵圆心O到直线l的距离是2，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．
【例8】★以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，当直线与圆相切时，A(0， )，B(0，-)，易得D选项正确.
【例9】★在平面直角坐标系中，⊙C的圆心为C（a，0），半径长为2，若y轴与⊙C至多有一个公共点，则a的取值范围为____________．
【答案】a≥2或a≤-2
【详解】∵若y轴与⊙C至多有一个公共点，∴d≥r，
∵C（a，0），r=2，∴a≤-2或a≥2，故答案为a≥2或a≤-2．
【例10】★⊙O的半径为R，圆心O到直线L的距离为d，R、d是方程x2－6x＋m＝0的两根，当直线L与⊙O相切时，m的值为____．
【答案】9；
【详解】∵d、R是方程x2-6x+m=0的两个根，且直线Z与⊙O相切，∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，∴△=36-4m=0，解得m=9．故答案为9．
【例11】★★如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C 与斜边AB有且只有一个公共点时，则r的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】由勾股定理得：AB=10，分为两种情况：
①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，
则CD⊥AB，由三角形的面积公式得：S△ABC=×AC×BC=×AB×CD，∴6×8=10×CD，CD=4.8，即R=4.8，
②如图2，当R的范围是6＜R≤8时，⊙C和AB只有一个公共点，
【例12】★如图，矩形中，，，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作.当与矩形的边相切时，则的长为______．
【答案】4
【详解】当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=32+（9-x）2，∴x=5，∴PC=5，∴BP=BC-PC=9-5=4．故答案为：4．
【例13】★已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C是直线l上的三个点，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，则直线l与⊙O的的位置是_________．
【答案】相交
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．要确定直线与圆的位置关系，主要确定圆心到直线的距离与半径的大小关系.
【详解】∵⊙O的半径为3cm，OA=2cm，OB=3cm，OC=5cm，∴点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，
∴直线l与⊙O相交。故答案为相交.
【例14】★★如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.
【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】
（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD//AC，
∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即(R+3)2＝()2+R2，解得：R＝3，即⊙O的半径是3．
知识点二.切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：
（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。
亮题二、切线的判定定理
【例1】★下列直线中可以判定为圆的切线的是 ( )
A．与圆有且仅有一个公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于直径的直线
【答案】A
【例2】★如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝____时，CD为⊙O的切线．
【解析】连结OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝40°，
∴当∠BCD＝50°时，∠BCD＋∠OCB＝90°，即OC⊥CD，CD为⊙O的切线．
【例3】★如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，则BP的长为 ．
【解答】当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，
∴PC＝5，∴BP＝BC﹣PC＝9﹣5＝4．故答案为：4．
【例4】★★★如图直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，
⊙O的半径为1，∠1＝60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论：①l1和l2的距离为2；②MN＝；
③当直线MN与⊙O相切时，∠MON＝90°；④当AM+BN＝时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离＝AB＝2，所以①正确；
作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH＝AB＝2，
在Rt△MNH中，∵∠1＝60°，∴MH＝NH＝，∴MN＝2MH＝，所以②正确；
当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠MON＝90°，所以③正确；
过点O作OC⊥MN于C，如图2，
∵S四边形ABNM＝S△OAM+S△OMN+S△OBN，∴ 1 AM+ 1 BN+MN OC＝（BN+AM） 2，
即（AM+BN）+MN OC＝AM+BN，∵AM+BN＝，MN＝，∴OC＝1，
而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．
故选：D．
【例5】★★★已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正确的是 （只需填序号）
【解答】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，∵∠AOD＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD，∴弧AC＝弧AD，
∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；
∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD＝90°，
∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，
∴3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，已知没有给出∠B＝30°，∴③错误；
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF＝弧AG，∴AG＝CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，∴OZ＝CQ，
∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ＝BZ＝BG，∴④正确．
故答案为：①②④．
【例6】★★如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动 s后与PA相切．
【解析】如图，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP＝90°，
∵∠APB＝30°，O′C＝1.5cm，∴O′P＝2O′C＝3cm，
∵OP＝5cm，∴OO′＝OP﹣O′P＝2（cm），∴⊙O移动的时间为2÷1＝2（s）故答案为：2．
【例7】★如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；
【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；
【例8】★★★如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（1）如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，∴∠HPA＝∠HPB，
∵OP＝OH，∴∠OHP＝∠HPA，∴∠HPB＝∠OHP，∴OH∥BP，
∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，∴四边形EOHB是矩形，
∴OE＝BH＝4，OH＝BE，∴CE＝OH﹣2，
∵OE⊥PC∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，
在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，
∴OP2＝（OP﹣2）2+16∴OP＝5，
∴AP＝2OP＝10，
∴⊙O的直径是10．
【例9】★★★如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC．由点C为的中点，得到，求得∠COB＝∠COF，根据平行线的性质得到∠OCG＝∠OMB＝90°，于是得到CG是⊙O的切线；
（2）连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，推出△OBC为等边三角形．得到∠OCD＝30°，则EMCE＝2，根据勾股定理得到CM，求得OM＝CM，于是得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC．∵点C为的中点，
∴，∴∠COB＝∠COF，
∵OB＝OF，∴OC⊥BF，
设垂足为M，则∠OMB＝90°，
∵CG∥FB，∴∠OCG＝∠OMB＝90°，∴CG是⊙O的切线；
（2）连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．
∵∠OCD＝30°，则EMCE＝2，∴CM，
∴OM＝CM，∴OC＝4，即⊙O的半径为4．
【例10】★★★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：NF是⊙O的切线；
（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．
【分析】（1）欲证明NF为⊙O的切线，只要证明ON⊥NF．
（2）证明四边形ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接ON．如图所示：
∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，
∵OC＝ON，∴∠ONC＝∠DCB，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB
∵NF⊥AB，∴∠NFB＝90°，∴∠ONF＝∠NFB＝90°，∴ON⊥NF。
又∵NF过半径ON的外端，∴NF是⊙O的切线；
（2）过点O作OH⊥ED，垂足为H，如图2所示：设⊙O的半径为r
∵OH⊥ED，NF⊥AB，ON⊥NF，∴∠OHD＝∠NFH＝∠ONF＝90°，∴四边形ONFH为矩形．
∴HF＝ON＝r，OH＝NF＝2，∴HD＝HF﹣DF＝r﹣1，
在Rt△OHD中，∠OHD＝90°，∴OH2+HD2＝OD2，
即22+（r﹣1）2＝r2，∴r，∴HD，
∵OH⊥ED，且OH过圆心O，∴HE＝HD，∴ED＝2HD＝3．
【例11】★★如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；
（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP
【解析】（1）连接OC，
∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∴PE是⊙O的切线；
（2）∵PB：PC＝1：2，∴设PB＝x，PC＝2x，
∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，
∴x，∴PC，PB，∴AP，
【例12】★★★已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．
（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC＝30°，
求证：四边形ACEO是菱形．
【分析】（1）作直径AP，连接CP，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠APC，∠ACP＝90°，求得∠DAP＝90°，AD⊥AP，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，推出△AOC、△COE都是等边三角形，得到OA＝AC＝CE＝EO，于是得到结论．
【解析】（1）直线AD与⊙O相切，
理由：作直径AP，连接CP，
∵∠APC＝∠ABC，∠CAD＝∠ABC，∴∠CAD＝∠APC，
∵AP是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，
∴∠CAP+∠APC＝90°，∴∠CAP+∠CAD＝90°，即∠DAP＝90°，
∴AD⊥AP，∴直线AD与⊙O相切；
（2）证明：连接OC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，
∵OA＝OC，OC＝OE，
∴△AOC、△COE都是等边三角形，
∴OA＝AC＝CO，OC＝CE＝EO，
∴OA＝AC＝CE＝EO，
∴四边形ACEO是菱形．
【例13】★★★在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：
（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知PA＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，然后根据△PQB的面积＝4cm2列方程求解即可；
（2）当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC＝QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；
【解析】（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．
∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB BQ（5﹣t） 2t．
∴（5﹣t） 2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．
答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；
（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．
（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．
∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．
（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．
由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．
在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．
解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．
综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．
亮题三、切线的性质定理
【例1】★如图AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（）
A．29° B．30° C．31° D．32°
【分析】连接OC，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【解析】连接OC，∴∠CAB＝29°，∴∠COP＝2∠CAB＝58°，
∵PC切半圆于点C，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣58°＝32°，故选：D．
【例2】★如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（ ）
A.59° B.31° C.124° D.121°
【答案】 D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解析】∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣62°=118°，
∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×118°=59°，∴∠BOC=180°﹣59°=121°．故选D．
【例3】★如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
【答案】 C
【解析】如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，AC==3cm，∴AB=2AC=6（cm）．故选C．
【例4】★如图直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦AC的长为（ ）
A.4 B. C.5 D.6
【答案】B
【分析】连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，利用切线的性质，可得出EA⊥AB，再证明AE⊥CD，求出CE的长，利用勾股定理求出OE的长，可得出AE的长，再在△ACE中，利用勾股定理求出AC的长。
【解析】连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，∴EA⊥AB，
∵CD∥AB，∠CEA=90°，∴AE⊥CD，∴CE= CD= ×4=2，
∵在Rt△OCE中，OE= ，∴AE=OA+OE=4，
∴在Rt△ACE中，AC= 。 故答案为：B．
【例5】★如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】D
【详解】连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°．故选D．
【例6】★如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
【答案】D
【详解】A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切；
C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切.故选D.
【例7】★如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）
A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm
【分析】根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．
【解析】设圆心为O，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故选：B．
【例8】★如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s
【分析】由题意可求OP＝2，分圆心P在x轴下方和x轴上方两种情况讨论可求解．
【解析】∵⊙P与x轴相切，∴OP＝2，
当点P在x轴下方，即点P（0，﹣2），∴t2s，
当点P在x轴上方，即点P（0，2），∴t4s，故选：C．
【例9】★★如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，﹣4），则圆心M的坐标为（ ）
A.（﹣2，2.5） B.（2，﹣1.5） C.（2.5，﹣2） D.（2，﹣2.5）
【答案】D
【分析】过M作MN⊥AB于N，连接MA，设⊙M的半径是R，根据正方形性质求出OA=AB=BC=CO=8，根据垂径定理求出AN，得出M的横坐标，在△AMN中，由勾股定理得出关于R的方程，求出R，即可得出M的纵坐标．
【解析】∵四边形ABCO是正方形，A（0，﹣4），∴AB=OA=CO=BC=4，
过M作MN⊥AB于N，连接MA，由垂径定理得：AN= AB=2，
设⊙M的半径是R，则MN=8﹣R，AM=R，由勾股定理得：AM2=MN2+AN2，R2=（4﹣R）2+22 ，解得：R= ，
∵AN=2，四边形ABCO是正方形，⊙M于x轴相切，∴M的横坐标是2，即M（2，﹣ ）．
故选D．
【例10】★★如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为 ．
【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP＝2，则AB的最小长度为4．
【解析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，
∵C（3，4），∴OC5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OC﹣3＝2，∴OP＝OA＝OB＝2，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4，故答案为：4．
【例11】★★如图正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又因为CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角△BCE中，设BE=x，则EC=2x，再 利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的长．
【解析】连接OC，则∠DCO=∠BCO，∠FCO=∠ECO，∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，∴∠CEB=60°
在RT△BCE中，设BE=x，则CE=2x，得CE2=BC2+BE2 ， 即4x2=x2+42 ， 解得x=，∴CE=2x=．
故选B．
【点评】此题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理，切线长定理，以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
【例12】★★如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ， ⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为________ ．
【答案】
【解析】如图,
连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2 ， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短.此时，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=， ∴AB=OA=6.
∴OP=AB=3，∴.
【例13】★在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．
【答案】 24
【分析】如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E，首先证明OE⊥CD，在RT△EOD中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，利用垂径定理解决问题，属于中考常考题型．
【解析】如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E．
∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13，∵AB是⊙O切线，∴OF⊥AB，
∵AB∥CD，∴EF⊥CD即OE⊥CD，∴CE=ED，∵EF=18，OF=13，∴OE=5，
在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，
∴ED= =12，∴CD=2ED=24． 故答案为24．
【例14】★★如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是 ．
【分析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，由等边三角形的性质和勾股定理得出AD2，由切线的性质得出AE⊥DE，由勾股定理求出DE，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小．
【解析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝4，BD＝CDBC＝2，
∴AD2，
∵DE是⊙A的一条切线，∴AE⊥DE，AE＝1，∴DE，
当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小，
故答案为：．
【例15】★★已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD= AB CD；②AD=AB；③AD=ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 C
【分析】连接OD、AP，根据切线长定理求出AD=DP，CP=BC，根据面积公式判断①即可；根据直角三角形斜边大于直角边即可判断②；证△DPO和△PON全等证出DP=ON即可判断③，证△DOC是直角三角形，取CD中点Q，证出OQ是半径，证梯形ABCD，推出∠AOQ=90°即可判断④．
【解析】连接OD、AP，∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S四边形ABCD=（AD+BC） AB=AB CD，∴①正确；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②错误；
∵AB是圆的直径，∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，∴D、O在AP的垂直平分线上，∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，∴ON=DP=AD，∴③正确；
∵AP⊥OD，OA=OP，∴∠AOD=∠POD，同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=×180°=90°，∴△CDO的外接圆的直径是CD，
∵∠A=∠B=90°，取CD的中点Q，连接OQ，∵OA=OB，∴AD∥OQ∥BC，∴∠AOQ=90°，∴④正确．
故选C．
【例16】★★★如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2 ；③当AD=2时，EF与半圆相切；④当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16 ．其中正确结论的序号是________．
【答案】 ①、③、④
【分析】（1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．（4）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【解析】①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD．∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°．∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．∴CD=CF．∴CE=CD=CF，∴结论“CE=CF”正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD= BC=2 ．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．
∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴线段EF的最小值为4．∴结论“线段EF的最小值为2 ”错误．
③当AD=2时，连接OC，如图3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，∴DO=2．∴AD=DO．∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DCA．∴∠ECA=30°．∴∠ECO=90°．∴OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．∴结论“EF与半圆相切”正确．
④∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分，∴S阴影=2S△ABC=2× AC BC=AC BC=4×4 =16 ．
∴EF扫过的面积为16 ，∴结论“EF扫过的面积为16 ”正确． 故答案为：①、③、④．
【例17】★★如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为4 ， 求点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质，切线的性质
【分析】过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，根据切线的性质得PC⊥y轴，则P点的横坐标为4，所以E点坐标为（4，4），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH⊥AB得AH=AB=2 ， 根据勾股定理可得PH=2，于是根据等腰直角三角形的性质得PE=PH=2 ， 则PD=4+2 ， 然后利用第一象限点的坐标特征写出P点坐标．
【答案】过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，
∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，
∴P点的横坐标为4，∴E点坐标为（4，4），∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，∴AH=AB=2， 在△PAH中，PH==2，
∴PE=PH=2， ∴PD=4+2， ∴P点坐标为（4，4+2）．
【例18】★★如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．
（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．
【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理，可得∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，证得∠DAB+∠APC＝180°，则结论得证；
（2）连接AC，证得△ACP是等边三角形，可得AC＝PA，∠ACP＝60°，可求出AC长，PA长，则⊙P的半径可求出．
【解析】（1）连接CP，
∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，
∵CD是⊙OP的切线，∴∠DCP＝90°，
∵∠ADC＝90°，∴∠DAB+∠APC＝180°，∴2∠B+∠DAB＝180°；
（2）连接AC，∵∠B＝30°，∴∠APC＝60°，
∵PC＝PA，∴△ACP是等边三角形，∴AC＝PA，∠ACP＝60°，
∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4，∴PA＝4，即⊙P的半径为4．
【例19】★★如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．
【分析】（1）欲证明OE＝PE，只要证明∠EOP＝∠EPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCE中，利用勾股定理构建方程求出r，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，
∵EP⊥PA，∴EP∥BA，∴∠EPO＝∠AOP，∴∠EOP＝∠EPO，∴OE＝PE．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥ED，∴∠EDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC，∴EC＝ED＝9，
∵EO＝EP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCE＝90°，
在Rt△PCE中，∵PE2＝PC2+EC2，∴（9+r）2＝92+（2r）2，解得：r＝6或0（舍弃），∴PE＝15．
【例20】★★如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC，AC。
（1）求证：AC平分∠DAO.
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数。②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.
【解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD//OC，∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAO。
（2）①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG，∵OC=2，∠OCE=45°，∴CG=OG=2，∴FG=2。
∵在RT△OGE中，∠E=30°，∴GE=2，∴EF=GE-FG=2-2。
【亮点训练】
题型一、直线与圆的位置关系
【变式1】★（2020 射阳县一模）圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】B
【解析】∵⊙O的直径为8cm，∴r＝4cm，∵d＝4cm，∴d＝r，∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．
【变式2】★（2020 硚口区模拟）平面直角坐标系中，M点坐标为（﹣2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（ ）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
【答案】D
【解析】∵M点坐标为（﹣2，3），∴点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∵⊙P的半径为2，∴圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径，
故⊙M与x轴相离，与y轴相切，故选：D．
【变式3】★（2020 洛宁县期末）如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
【答案】C
【解析】过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，∴OCOP＝3＜3，∴半径为3的圆与PB的位置关系是相交，故选：C．
【变式4】★★如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=OQ=1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．
设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
【变式5】★（2020 乐亭县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵x2﹣3x﹣4＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∵⊙O的半径为一元二次方程3x2﹣4＝0的根，∴r＝4，
∵d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：A．
【变式6】★在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则半径r的值或取值范围是（ ）
A． B．5≤r≤12或r
C．5＜r≤12 D．5＜r≤12或r
【答案】D
【解析】∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，由勾股定理得AB＝13．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝5×12÷13；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即5＜r≤12．故选：D．
【变式7】★（2020 江都区期末）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】∵圆心O到直线l的距离是2，小于⊙O的半径为4，∴直线l与⊙O相交．故答案为：相交．
【变式8】★（2020 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，解方程x2+6x﹣16＝0，（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2，∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是，∴d＜r，∴直线AB与圆相交．故答案为相交．
【变式9】★（2020 岳麓区月考）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，直线OA与⊙M的位置关系是 ．
【答案】相切
【解析】作MD⊥OA于D，在Rt△MOD中，∠AOB＝30°，∴DMOM＝2，
则点M到OA的距离等于⊙M的半径，∴直线OA与⊙M相切，故答案为：相切．
【变式10】★（2020 新沂市期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解析】直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAC＝90°．
又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠CAD+∠BAC＝90°．∴直线AD与⊙O相切．
【变式11】★（2020 大丰区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【解析】如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【变式12】★★如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为
【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．
【解析】作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，
∵△ABC的面积AB CDAC BC，∴CD，即圆心C到AB的距离d，
∵AC＜BC，∴以C为圆心，r或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是r≤4．
【变式13】★★（2020 新罗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．
【解析】（1）相切，理由如下：
连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，∴CD＝BDBC．
∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．
∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC＝90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD4．
∵SACDAD CDAC DE，∴4×35DE．∴DE．
亮题二、切线的判定定理
【变式1】★如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：① 或② 或③ .
【答案】①__OA⊥EF__或②__∠FAC＝∠B__或③__∠BAC＋∠FAC＝90°__.
【变式2】★如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是劣弧的中点，过点D作直线BC的垂线，
分别交CB，CA的延长线于E，F两点．求证：EF是⊙O的切线；
【解析】证明：连结OD，∵D是的中点，∴OD⊥AB.
又∵AC为⊙O的直径，∴BC⊥AB，∴OD∥CE.
又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即EF是⊙O的切线．
【变式3】★★如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【解析】A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴ABAC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【变式4】★★如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB＝∠CAD，
过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，
∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；
【变式5】★★如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．
【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
【解析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CFAC，
在Rt△BCD中，BD4
【变式6】★★如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD
求证：直线CE是⊙O的切线；
【分析】连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，则∠3＝∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
【解答】证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
【变式7】★★★如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．
（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为 ；
（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）
【分析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．分两种情形分别求解即可；
（2）首先求出三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；
【解析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．
如图1中，连接PA，在Rt△PAC中，PA2．
如图2中，PA＝AC＝PC＝4﹣2＝2，综上所述，满足条件的PA的长为2或2．故答案为2或2．
（2）
如图3中，当CP⊥AB时．易知CP，
此时切线长PE，
如图4中，当点P与点B重合时，切线长PE2，
如图5中，当点P与点A重合时，切线长PE，
观察图形可知：当0＜m时，点P的位置有2个位置；
当m时，点P的位置有3个位置；
当m＜2时，点P的位置有4个位置；
当m＝2时，点P的位置有3个位置；
当2m时，点P的位置有2个位置；
当m时，点P的位置有1个位置．
【变式8】★★★如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO
的延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）连接OA，由圆心角等于2倍的圆周角得出∠AOC＝120°，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝30°，由AP＝AC，推出∠APC＝∠ACP＝30°，由三角形内角和定理得出∠PAC＝120°，则∠PAO＝∠PAC﹣∠OAC＝90°，即可得出结论；
（2）连接OB，由切线的性质得出PA＝PB，由OA＝OB，得出PO是AB的垂直平分线，则CB＝CA，由又∠ABC＝60°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接OA，如图1所示：
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）（180°﹣120°）＝30°，
∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠PAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠PAO＝∠PAC﹣∠OAC＝120°﹣30°＝90°，∴AP⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；
（2）连接OB，如图2所示：
∵AP、PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵OA＝OB，∴PO是AB的垂直平分线，∴CB＝CA，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
【变式9】★★如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求的值．
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE＝2AE，CE＝4AE，然后在RT△BEC中可求的值．
【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE2AE，
在RT△BEC中，．
【变式10】★★如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．
（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠B，得到∠ODB＝∠CAD，根据余角的性质得到∠OAC＝90°，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到CA＝CD＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵OA＝OB，∴∠OAD＝∠B，
∵∠ODB＝∠ADC，∠CAD＝∠ADC，∴∠ODB＝∠CAD，
∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∠ODB+∠B＝90°，∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴∠OAC＝90°，∴AC与⊙O相切于点A；
（2）OA＝OB＝3，BD，
在Rt△ODB中，∴，
∵∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD＝x，
在Rt△OAC中，∴AC2+OA2＝OC2，x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AC＝4．
亮题三、切线的性质定理
【变式1】★如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】D
【详解】∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D．
【变式2】★如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．
【变式3】★如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝ °．
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，利用互余得到∠OCB＝65°，然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数．
【解析】连接OC，如图，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝65°．故答案为：65．
【变式4】★（2020·临沂市期末）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【答案】D
【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.
【详解】连接.，
∵.分别与相切于.两点，∴OA⊥PA，∴OB⊥PB，∴，
∴，∴．故选：D．
【变式5】★如图直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB=120°，OP=10厘米，弦AB的长为( )
A.厘米 B.5厘米 C.厘米 D.厘米
【答案】 A
【分析】先由题意得出△AOB为等边三角形，再根据勾股定理即可得出．
【解析】连OA，OB，
∵直线PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠APB=120°，∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，则△AOB为等边三角形，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得：PA=5cm，
再由勾股定理cm，从而得AB=（cm)．故答案为：A.
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题
【变式6】★（2020·扬州市期末）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【答案】D
【详解】∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE==3，∴AE=AO+OE=8，
则AC=，故选D．
【变式7】★如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】 C
【分析】连接OE，由⊙O与AB相切于E，得到∠AEO=90°，根据勾股定理得到AE==4，根据切线长定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【解析】连接OE，∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°，∵AO=5，OE=3，∴AE= =4，
∵AB=10，∴BE=6，∵BG与⊙O相切于G，∴BG=BE=6，故选C．
【变式8】★★如图，已知一次函数y=﹣x+2 的图象与坐标轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】 D
【分析】连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征可求得A（0，2），B（2，0），所以△OAB为等腰直角三角形，则AB= OA=4，OH= AB=2，根据切线的性质可得OM⊥PM，所以在直角三角形OPM中，由勾股定理得PM=, 由题意可知，当OP的长最小时，PM的长最小，而OP=OH=2时，OP的长最小，所以PM的最小值为.
【解析】连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征：
当x=0时，y=﹣x+2=2，则A（0，2），
当y=0时，﹣x+2=0，解得x=2，则B（2，0），
所以△OAB为等腰直角三角形，则AB=OA=4，OH=AB=2，
根据切线的性质由PM为切线，得到OM⊥PM，利用勾股定理得到PM= = ，
当OP的长最小时，PM的长最小，而OP=OH=2时，OP的长最小，所以PM的最小值为 ．
故答案为：D．
【变式9】★★如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（ ）
A. B.1 C. ﹣1 D.
【答案】 B
【分析】通过求解CE的长度来求出AE的长，连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出⊙O的直径，进而得到半径OC的长度；根据切线和等边三角形的性质不难的得出∠OCF=30°，再在Rt△OFC中，利用特殊角的三角函数值求出FC的长，最后利用垂径定理即可得出CE的长.
【解析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F.
∵△ABC为等边三角形，边长为4，∴∠ACB=60°，△ABC的高为2 .
∵等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，∴⊙O的半径OC= .
∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB=90°.
∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°.
∵在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC= ，∴FC= ，∴CE=2FC=3（cm）
∴AE=AC-CE=4-3=1（cm），故答案为：B.
【变式10】如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【分析】连接AB，交CD于E，根据圆周角定理，可求出∠ABC=40°，∠CAB=30°，由CD平分∠ACB，可得∠ACD=20°，然后根据三角形的外角的性质，得到∠AED=50°，再根据切线的性质求出∠BAD=40°，从而得出∠ADC=90°.
【详解】连接AB，交CD于E，
∵弧AB=80°，弧BC=60°，∴∠ABC=40°，∠CAB=30°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=20°，∴∠AED=∠CAB +∠ACD =50°，
∵直线l与圆相切于点A，∴∠BAD=40°，∴∠ADC=90°，故选C.
【变式11】★如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
【答案】26
【解析】连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=26°，故答案为：26．
【变式12】如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
【答案】76．
【分析】由切线的性质得出PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】∵是的切线， ∴，∴，
∴，∴；
故答案为：76．
【变式13★★如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=_______．
【答案】44°
【详解】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，故答案为44°
【变式14】★★如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
【解析】 连接OD、OE，
∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，
设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，
∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【变式15】★★★如图：已知在正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。
(1)求证：DF＝AB＋FB；
(2)以E为圆心EB为半径作⊙E，试判断⊙E与直线DF的位置关系，并说明理由；
(3)在⑵的条件下，若CD=4cm，点M在线段DF上从点D出发向点F运动，速度为0.5cm/s，以M为圆心，MD为半径作⊙M。当运动时间为多少秒时，⊙M与⊙E相切？
【分析】(1)过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，易证△DAE≌△DPE，△EPF≌△EBF,即有：AD=AP，BF=PF，而AB=AD，从而得证；
（2）由EB=EP知⊙E与直线DF相切；
（3）设t秒后两圆相切，利用勾股定理得出方程，解方程即可求解.
【解析】（1）过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，
在△DAE和△DPE中：∵∠ADE＝∠FDE，DE=DE，∠DAE＝∠DPE，∴△DAE≌△DPE，∴DP=DA,AE=EP，
又DA=AB，∴DP=AB，∵E为AB的中点，∴BE=AE=EP，
在Rt△EPF和Rt△EBF中：BE=PE，EF=EF，∴Rt△EPF≌Rt△EBF，∴BF=PF，∴DF=DP+PF=AB+BF。
(2)由（1）知：EP=EB，故⊙E与直线DF相切.
(3)设t秒后⊙M与⊙E相切，则有：（4-0.5t）2+22=（2+0.5t）2，解得：t=.
【变式16】★★如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=， 连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
【考点】切线的性质
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，
∵=， ∴， ∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，
设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+r，BE=AE= ，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2 ，
即（）2+（2+）2=r2+ ， ∴r= ， ∴OE2=+25=28，∴OE= ．
【变式17】★★★如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF．
（1）若EF＝AB，求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长．
【分析】（1）连接OE、OF、AF，根据等边三角形的性质得到∠EOF＝60°，由圆周角定理得到∠EAF＝∠EOF＝30°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出BE，证明△AFM≌△BFE，根据全等三角形的性质得到AM＝BE，EF＝FM，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【答案】（1）连接OE、OF、AF，
∵EF＝AB＝OE＝OF，∴△EOF为等边三角形，∴∠EOF＝60°，
由圆周角定理得，∠EAF＝∠EOF＝30°，
∵F是半圆弧AB的中点，∴∠AOF＝90°，∴∠OAF＝45°，∴∠CAB＝15°，
∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝75°；
（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，则∠AEB＝∠CEB＝90°．
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，∴AC＝＝＝2，
由面积法得，BE＝＝，∴AE＝＝，
∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，又FM⊥EF，∴∠AFM＝∠BFE，
在△AFM和△BFE中，，∴△AFM≌△BFE（ASA），
∴AM＝BE＝，EF＝FM．
∵EM＝AE﹣AM＝，∴EF＝EM＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式18】★★★）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE＝∠BEC＝70°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝70°，由此可得结论．
【解析】（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝40°，∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，∴∠CDB＝∠CAB＝50°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝70°，∴∠BAD＝∠BCD＝70°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝70°，
∵∠ADC＝∠ABC＝40°，∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．
【亮点检测】
1．已知⊙O的直径是8，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
【答案】B
【分析】
根据题意可得半径r=4，根据d【详解】
解：∵⊙O的直径为8，
∴半径=4，
∵圆心O到直线a的距离为3，
∴圆心O到直线a的距离<半径，
∴直线a与⊙O相交．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
2．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A＝35°，切线CP与AB的延长线交于点P，则∠P＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【答案】A
【分析】
连接OC，先求出∠POC，再利用切线性质得到∠PCO＝90°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】
解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∠A＝35°，
∴∠OAC＝∠OCA＝35°，
∴∠POC＝∠OAC+∠OCA＝70°，
∵PC是⊙O切线，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠P＝180°-∠OCP﹣∠POC＝180°-90°﹣70°＝20°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
连接 ，根据圆周角定理可得 ，再由CD是⊙O的切线，可得，从而，即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
4．如图，分别与相切于两点，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接，根据切线的性质以及四边形内角和求得，进而根据圆周角定理求得
【详解】
如图，连接，
分别与相切于两点,
,
，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键．
5．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
【答案】A
【分析】
连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】
解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O 的切线，A，B为切点，点C为AB左侧⊙O上一点，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【分析】
根据切线的性质和四边形的内角和定理可求出∠AOB，再由圆周角定理可求出答案．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠C＝∠AOB＝65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查切线性质、四边形的内角和是360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为__．
【答案】
【分析】
根据切线的性质和切线长定理可得OA⊥PA，∠APO=30°，PA=PB，根据直角三角形的性质可得OA=2CO，根据勾股定理可求AO的长，即可求OC的长．
【详解】
解：如图，连接OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=6，∠APB=60°，
∴OA⊥PA，∠APO=30°，PA=PB，
∴∠AOC=60°，AB⊥PO
∴∠CAO=30°
∴AO=2CO，
在中，
∴
∵
∴
∴
∴CO=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
8．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，BD=2，则AC的长是 __．
【答案】3
【分析】
根据AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出AP的长即可求出AC的长．
【详解】
解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴AC=AP=AB-BP=5-2=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则∠AOB＝___度．
【答案】
【分析】
根据切线的性质求得，再根据四边形的内角和为360°求解即可．
【详解】
解：∵PA、PB为⊙O的切线，
∴
又∵∠APB＝50°
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了圆切线的性质以及四边形内角和的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
10．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
【答案】10cm
【分析】
根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．
【详解】
解：根据切线长定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键
11．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为__________．
【答案】30°
【分析】
连接OD，根据切线的性质求出∠ADC和∠ODA，从而得到∠OAD的度数，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OD，
∵EC是圆O的切线，
∴∠ODE=∠ODC=90°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADO=30°，∠ADC=120°
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠C=180°-∠DAC-∠ADC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．
12．如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】
根据圆周角定理可得，进而根据切线的性质可得与互补，即可求得的度数．
【详解】
为的切线，
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理求得是解题的关键．
13．如图，中，，点O是的内心．求的度数．
【答案】117.5°
【分析】
由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数．
【详解】
解：点是的内心，，，
，，
．
【点睛】
此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【分析】
（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
15．在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．
（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．
【答案】（1）见解析；（2）1或3
【分析】
（1）过点P作PD垂直AB，交AB于D点，先利用勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再由角平分线的性质得到PC＝PD＝r，由此即可证明；
（2）分点P在三角形ABC的内部和外部两种情况，利用切线的性质进行求解即可．
【详解】
证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，
∵AB＝5，BC＝3，CA＝4，
∴ ，
∴∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PD⊥AB，
∴PC＝PD＝r，
∴⊙P与直线AB相切．
（2）如图，当⊙P同时与直线BC、AC相切时，点P在∠ACB或∠ACM的角平分线上存在两种情况：
①当圆心在△ABC内部，即⊙P1分别与直线BC、AC相切时，
∴P1G＝P1F＝P1E＝r，P1G⊥BC，P1E⊥AB，P1F⊥AC，
∴＝＝，
∴，
②当圆心在△ABC外部，⊙P2分别与直线BC、AC相切时，
∴P2M＝P2N＝P2Q＝R，P2M⊥BC，P2Q⊥AB，P2N⊥AC，
∴S△ABC＝，
∴，
综上，⊙P的半径为1或3．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
16．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD＝AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若，BC＝12，连接PC，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据圆周角定理推论可得∠ACB=90°，根据平行线性质得，即OD⊥BC，再根据三角形中位线定理得OD＝AC；
（2）连接OC，根据AC∥OM，OA＝OC，可得∠BOM＝∠COM，根据SAS证明△OCM≌△OBM，又因为MB是⊙O的切线，所以∠OCM＝∠OBM＝90°，即可得MC是⊙O的切线；
（3）根据OB＝，得出PA＝PB＝，因为BC=12，所以AC=9，过点A作AH⊥PC于点H，可得AH和BH长度，即可得PC的长度．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC∥OM，
∴，
∴OD⊥BC，
∴D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC为中位线，
∴OD＝AC；
（2）如图所示：连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS）
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；
（3）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝∠APB＝90°
∵OB＝，
∴AB＝15，
∴PA＝PB＝，
∵BC=12，
∴AC=9，
过点A作AH⊥PC于点H，
∵，，
∴AH＝CH＝，
，
∴PC＝PH+CH＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，圆周角的推论，平行线的性质，全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．专题24.2.2 直线与圆的位置关系（一）
【教学目标】
理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征
2、理解并掌握运用切线的判定定理和性质定理。
【教学重难点】
1、理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征
2、理解并掌握运用切线的判定定理和性质定理。
【知识亮解】
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
亮题一、直线与圆的位置关系
【例1】★平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【例2】★已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【例3】★⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【例4】★在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
【例5】★（2020·南京市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【例6】★的直径为，圆心到直线的距离为，下列位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】★已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【例8】★以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．． B． C． D．
【例9】★在平面直角坐标系中，⊙C的圆心为C（a，0），半径长为2，若y轴与⊙C至多有一个公共点，则a的取值范围为____________．
【例10】★⊙O的半径为R，圆心O到直线L的距离为d，R、d是方程x2－6x＋m＝0的两根，当直线L与⊙O相切时，m的值为____．
【例11】★★如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C 与斜边AB有且只有一个公共点时，则r的取值范围是 ．
【例12】★如图，矩形中，，，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作.当与矩形的边相切时，则的长为______．
【例13】★已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C是直线l上的三个点，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，则直线l与⊙O的的位置是_________．
【例14】★★如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.
知识点二.切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：
垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。
亮题二、切线的判定定理
【例1】★下列直线中可以判定为圆的切线的是 ( )
A．与圆有且仅有一个公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于直径的直线
【例2】★如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝____时，CD为⊙O的切线．
【例3】★如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，则BP的长为 ．
【例4】★★★如图直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，
⊙O的半径为1，∠1＝60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论：①l1和l2的距离为2；②MN＝；
③当直线MN与⊙O相切时，∠MON＝90°；④当AM+BN＝时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】★★★已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正确的是 （只需填序号）
【例6】★★如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动 s后与PA相切．
【例7】★如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
【例8】★★★如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
【例9】★★★如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．
【例10】★★★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：NF是⊙O的切线；
（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．
【例11】★★如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．
【例12】★★★已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．
（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC＝30°，
求证：四边形ACEO是菱形．
【例13】★★★在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：
（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
亮题三、切线的性质定理
【例1】★如图AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（）
A．29° B．30° C．31° D．32°
【例2】★如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（ ）
A.59° B.31° C.124° D.121°
【例3】★如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
【例4】★如图直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦AC的长为（ ）
A.4 B. C.5 D.6
【例5】★如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【例6】★如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
【例7】★如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）
A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm
【例8】★如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s
【例9】★★如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，﹣4），则圆心M的坐标为（ ）
A.（﹣2，2.5） B.（2，﹣1.5） C.（2.5，﹣2） D.（2，﹣2.5）
【例10】★★如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为 ．
【例11】★★如图正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A. B. C. D.
【例12】★★如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ， ⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为________ ．
【例13】★在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．
【例14】★★如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是 ．
【例15】★★已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD= AB CD；②AD=AB；③AD=ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例16】★★★如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2 ；③当AD=2时，EF与半圆相切；④当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16 ．其中正确结论的序号是________．
【例17】★★如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为4 ， 求点P的坐标．
【例18】★★如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．
（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．
【例19】★★如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．
【例20】★★如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC，AC。
求证：AC平分∠DAO.
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数。②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.
【亮点训练】
题型一、直线与圆的位置关系
【变式1】★（2020 射阳县一模）圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【变式2】★（2020 硚口区模拟）平面直角坐标系中，M点坐标为（﹣2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（ ）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
【变式3】★（2020 洛宁县期末）如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
【变式4】★★如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式5】★（2020 乐亭县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【变式6】★在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则半径r的值或取值范围是（ ）
A． B．5≤r≤12或r
C．5＜r≤12 D．5＜r≤12或r
【变式7】★（2020 江都区期末）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【变式8】★（2020 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
【变式9】★（2020 岳麓区月考）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，直线OA与⊙M的位置关系是 ．
【变式10】★（2020 新沂市期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【变式11】★（2020 大丰区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【变式12】★★如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为
【变式13】★★（2020 新罗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．
亮题二、切线的判定定理
【变式1】★如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：① 或② 或③ .
【变式2】★如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是劣弧的中点，过点D作直线BC的垂线，
分别交CB，CA的延长线于E，F两点．求证：EF是⊙O的切线；
【变式3】★★如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【变式4】★★如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB＝∠CAD，
过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
【变式5】★★如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．
【变式6】★★如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD
求证：直线CE是⊙O的切线；
【变式7】★★★如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．
（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为 ；
（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）
【变式8】★★★如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO
的延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．
【变式9】★★如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求的值．
【变式10】★★如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．
（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．
亮题三、切线的性质定理
【变式1】★如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【变式2】★如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A．65° B．130° C．50° D．100°
【变式3】★如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝ °．
【变式4】★（2020·临沂市期末）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【变式5】★如图直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB=120°，OP=10厘米，弦AB的长为( )
A.厘米 B.5厘米 C.厘米 D.厘米
【变式6】★（2020·扬州市期末）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【变式7】★如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【变式8】★★如图，已知一次函数y=﹣x+2 的图象与坐标轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
【变式9】★★如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（ ）
A. B.1 C. ﹣1 D.
【变式10】如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【变式11】★如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
【变式12】如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
【变式13★★如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=_______．
【变式14】★★如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
【变式15】★★★如图：已知在正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。
(1)求证：DF＝AB＋FB；
(2)以E为圆心EB为半径作⊙E，试判断⊙E与直线DF的位置关系，并说明理由；
(3)在⑵的条件下，若CD=4cm，点M在线段DF上从点D出发向点F运动，速度为0.5cm/s，以M为圆心，MD为半径作⊙M。当运动时间为多少秒时，⊙M与⊙E相切？
【变式16】★★如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=， 连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
【变式17】★★★如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF．
（1）若EF＝AB，求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长．
【变式18】★★★）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【亮点检测】
1．已知⊙O的直径是8，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
2．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A＝35°，切线CP与AB的延长线交于点P，则∠P＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，分别与相切于两点，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O 的切线，A，B为切点，点C为AB左侧⊙O上一点，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为__．
8．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，BD=2，则AC的长是 __．
9．如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则∠AOB＝___度．
10．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
11．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为__________．
12．如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为__________．
13．如图，中，，点O是的内心．求的度数．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
15．在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．
（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．
16．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD＝AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若，BC＝12，连接PC，求PC的长．
