专题24.4 弧长、扇形与圆锥
【教学目标】
理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。
了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题。
【教学重难点】
1、理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。
2、了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题。
【知识亮解】
知识点一、弧长及扇形的面积
设的半径为，圆心角所对弧长为，
（一）弧长的计算
（1）弧长公式：
（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所
对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为
注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角
所对弧长时，不要错写成
（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。
（二）扇形面积的计算
（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。
（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。
（3）公式推导：
①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是
②即其中为扇形的弧长，为半径。
点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。
（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是
（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。
（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。
亮题一、弧长及扇形的面积
【例1】★★如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（ ）
A．6π B．7π C．π D．π
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠OAB＝70°，根据平行线的性质得到∠OBC＝∠AOB＝40°，根据弧长公式即可得到结论．
【解析】连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝70°，∴∠AOB＝40°，
∵OA∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝40°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝100°+40°＝140°，∴劣弧AC的长7π，故选：B．
【例2】★★一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（ ）
A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2 C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2
【分析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积＝三角形的面积﹣（正方形的面积﹣扇形的面积），依面积公式计算即可．
【解析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形．
则S△CEF＝（8+4）×4÷2＝24cm2，S正方形ADEF＝4×4＝16cm2，S扇形ADF4πcm2，
∴阴影部分的面积＝24﹣（16﹣4π）＝8+4π（cm2）．故选：A．
【例3】★如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）
A．2π B．9 C．3π D．6π
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解析】该莱洛三角形的周长＝33π．故选：C．
【例4】★★如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【分析】连接AM，MH，MR．首先证明△AMH是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题．
【解析】连接AM，MH，MR．
∵AM＝MH＝2，AH＝2，∴AM2+MH2＝AH2，∴∠AMH＝90°，
∴△AMH是等腰直角三角形，∴RHAH，
∵∠MPH＝90°，∴MH是圆的直径，∴∠MRH＝90°，∴MR⊥AH，∴∠RMH＝∠RMA＝45°，
∴弧RH所对的圆心角为90°，半径，
∴图中阴影部分面积π，故选：A．
【例5】★★（2020春 东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六
个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）
A．πm2 B．2πm2 C．4πm2 D．nπm2
【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．
【解析】∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴S阴影部分2π（m2），
∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2． 故选：B．
【例6】★（2019秋 崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 ．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解析】60°圆心角所对的弧长2π，故答案为2π．
【例7】★如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，根据扇形面积公式计算即可．
【解析】由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，
则图中阴影部分的面积4×4＝4π﹣8，故答案为：4π﹣8．
【例8】★如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为 cm2．
【分析】根据平移的性质得到图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积，根据矩形的面积公式计算即可．
【解析】由平移的性质可知，图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积＝3×5＝15（cm2），故答案为：15．
【例9】★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆
心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，根据扇形的面积的面积公式求得三个扇形的面积，于是得到阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣三个扇形的面积．
【解析】∵∠C＝90°，CA＝CB＝2，∴∠A＝∠B＝45°，
∴三条弧所组成的三个扇形的面积为，
△ABC的面积为，∴阴影部分的面积＝2，故答案为：2．
【例10】★★（2020 泉州模拟）如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 ．
【解析】（1）如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵P（1，3），∴，∴点P经过的弧长为；
（2）把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q，过点P作x轴的垂线，垂足是B，
∴OQ＝PO，∠POQ＝90°，
∴∠POA+∠QOB＝90°，∠QOB＝∠OPA，△QOB≌△OPA（AAS），
∴OB＝PA＝3，BQ＝AO＝1，
则点Q的坐标是（﹣3，1）．
故答案是：（﹣3，1）．
【例11】★★★如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°．
（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝AB，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC＝60°，再求出答案即可；
（2）求出△ABM≌△DBN，根据阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AD∥BC，
∵∠A＝60°，∴∠ADB＝∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠EBF＝ABD＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，即∠DBF＝∠ABE；
（2）
过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，
∴DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，BC＝AB＝6，
∴∠ADC＝120°，∴∠QBC＝30°，
∴CQBC＝3，BQCQ＝3，
∵∠A＝60°，∠CDB＝120°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠CDB，
∵AB＝BD，∴在△ABM和△DBN中：
∴△ABM≌△DBN（ASA），∴S△ABM＝S△DBN，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC6π﹣9．
【例12】★★如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）证明△OAB是等边三角形即可．
（2）根据S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB计算即可．
【解析】（1）∵∠AOB＝2∠APB，∠APB＝30°，∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4．
（2）S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB42π﹣4．
【例13】★★如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长．
【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．
（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD＝∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD＝∠BOD，所以AD＝BD，∠ABD＝∠BAD＝45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．
【解析】（1）如图，连接OC，OD，
，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，∵cos∠BAC，∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，∴的长π．
（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，在Rt△ABD中，BD＝105．
【例14】★★★如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，
且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；
（2）先计算出∠AOB＝60°，OBAB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵O与边AB相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，∴∠A+2∠C＝90°；
（2）在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，OBAB＝2，
作OH⊥BC于H，则BH＝CH，
∵∠C∠AOB＝30°，∴OHOC，CHOH＝3，∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD
6
＝32π．
【例15】★★★如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
而∠CFA＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，
在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），
即⊙O的半径为6；
（3）∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD为等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝，∴OA＝，
∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOE＝60°，
在Rt△OAC中，AC＝OA＝，
∴阴影部分的面积＝ ﹣＝．
【例16】★★★如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：设OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：，
解得x＝2，
∴OA＝4，
∴，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴，
∴．
知识点二、圆锥的侧面积与全面积
（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。
圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。
（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。
（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，
计算公式为：
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。
亮题二、圆锥的侧面积
【例1】★（2020春 锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm2
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解析】这个圆锥的侧面积2π×4×5＝20π（cm2）．故选：B．
【例2】★若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【解析】扇形的弧长4π，∴圆锥的底面圆的周长＝4π，∴圆锥的底面圆半径2，故选：B．
【例3】★（2020 宜兴市一模）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（ ）
A．3 B．6π C．3π D．6
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥侧面积．
【解析】圆锥的底面周长＝2π×1＝2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，则圆锥侧面积2π×3＝3π，
故选：C．
【例4】★如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】易求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解析】扇形的弧长为：8πcm，圆锥的底面半径为：8π÷2π＝4cm，故选：B．
【例5】★已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．130πcm2 D．155πcm2
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算扇形的侧面积，然后计算扇形的底面积，从而求得答案．
【解析】这个圆锥的侧面积2π×5×13＝65π（cm2）．底面积为：52×π＝25π（cm2），
所以全面积为65π+25π＝90π（cm2）．故选：B．
【例6】★若将半径为24cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
【分析】易得圆锥的母线长为12cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π×24÷2＝24π（cm），∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12（cm），
故选：C．
【例7】★如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ）
A．9π B．12π C．15π D．20π
【分析】由勾股定理易得圆锥的底面半径长，那么圆锥的侧面积2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解析】∵AC＝4，BC＝5，∴由勾股定理得：AB＝3
∴底面的周长是：6π，∴圆锥的侧面积等6π×5＝15π，故选：C．
【例8】★用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr，然后解关于r的方程即可．
【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr，解得r＝5（cm）．故答案为：5．
【例9】★（2020 邗江区二模）圆锥的母线长为4cm，侧面积为8πcm2，圆锥的底面圆的半径为 2 cm．
【分析】根据扇形面积公式Slr计算即可．
【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，则圆锥的底面周长为2πrcm，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2πrcm，
由题意得，2πr×4＝8π，解得，r＝2，故答案为：2．
【例10】★若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则圆锥的底面半径为 cm．
【分析】由于圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为180°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用扇形的面积公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解．
【解析】设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，
S圆锥侧面积2πr×6，解得：r＝3，故答案为：3．
【例11】★（2020 江都区二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则利用弧长公式得到2π×4，然后解方程即．
【解析】根据题意得2π×4，解得l＝12．故答案为12．
【例12】★（2020 扬中市模拟）已知圆锥的底面圆半径为cm，高为cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解析】这个圆锥的母线长6，所以这个圆锥的侧面积2π6π（cm2）．
故答案为π．
【例13】★如图，圆锥底面半径为r，母线长为6，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则r的值为 ．
【分析】根据底面圆周长＝扇形的弧长，构建方程即可解决问题．
【解析】由题意：2πr，解得r＝3，故答案为：3．
【例14】★如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？
【分析】（1）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算；
（2）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式计算．
【解析】（1）圆锥的侧面积12π（cm2）；
（2）该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr，解得r＝2．即圆锥的底面半径为2cm．
【例15】★★★如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则圆D的半径长为 （结果保留根号）．∠ADC的度数为 °；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长2，AC2，AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，
则AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，故答案为：2；90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为r，则2πr，解得，r．
【例16】★★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解析】（1）∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BDAD＝6，∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积
＝S△ABC﹣S扇形EAF6×123612π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr，解得r＝2，这个圆锥的高h4．
【亮点训练】
题型一、弧长及扇形的面积
【变式1】★（2020 成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解析】∵∠C＝30°，根据圆周角定理可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝2，∴l，∴弧AB的长为π．故选：A．
【变式2】★如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝70°，OA＝2，则弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【解析】连接OC，∵OA＝OC，∠CAO＝70°，∴∠OCA＝∠CAO＝70°，∴∠AOC＝40°，
∵∠AOB＝140°，∴∠BOC＝140°﹣40°＝100°，∴的长为：，故选：C．
【变式3】★若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【答案】A
【解析】∵扇形的弧长，∴5π，∴n＝50，∴该扇形的圆心角是50°．故选：A．
【变式4】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】B
【解析】连接OB、OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，∴π，故选：B．
【变式5】★（2020 金水区校级二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】，2（秒），2020÷4＝505，
故在第2020秒时点P的纵坐标为0，故选：C．
【变式6】★如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
【答案】18π
【解析】∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长18π（cm），故答案为：18π．
【变式7】★（2020 宝应县二模）如图，⊙O的半径为5，弦AC垂直平分半径OB，则劣弧的长为 ．
【答案】π
【解析】∵弦AC垂直平分半径OB，∴AO＝AB，CO＝CB，∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∴劣弧的长π．故答案为π．
【变式8】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C
为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）cm2
A．6π B．6π C．π D．6π
【分析】根据阴影的面积＝△ABC的面积﹣两个扇形的面积和扇形的面积公式计算即可．
【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，设∠A＝α，∠B＝β，则α+β＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC5cm，
∴阴影的面积为3×4（6π）cm2．故选：B．
【变式9】★★）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【分析】连接AE，根据RT△的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，即可得到结论．
【解析】连接AE，在Rt三角形ADE中，AE＝4，AD＝2，∴∠DEA＝30°，DE＝2，
∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，
∴S阴影＝S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE＝4×22×28﹣2．故答案为：8﹣2．
【变式10】★如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积 ．
【分析】图中阴影部分的面积等于扇形BAC的面积减去扇形BEF的面积即可．
【解析】∵△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，∴△BAE≌△BFC
∴阴影部分的面积＝S扇形BAC﹣S扇形BEF，故答案为：π．
【变式11】★如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．
【解析】连接OC、OD、CD．∵△COD和△CDA等底等高，∴S△COD＝S△ACD．
∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形CODπ．
【变式12】★如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为 cm2．
【答案】18π
【解析】连接OC，OD，∵∠CAD＝40°，∴∠COD＝80°，
∵AB∥CD，∴△ACD的面积＝△COD的面积，∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积18π．
故答案为：18π．
【变式13】★★如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D、E分别是半径OA、OB上的点，以OD、OE为邻边的 ODCE的顶点C在上．若OD＝5，OE＝3，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
【答案】6π﹣15
【解析】连接OC，
∵∠EOD＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴四边形ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°，OE＝DC，
又∵OD＝5，OE＝3，∴DC＝3，∴OC2，
∴阴影部分图形的面积是：3×5＝6π﹣15，故答案为：6π﹣15．
【变式14】★如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
【解析】如图所示：∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．∴A'的坐标为（0，4），B'的坐标为（2，1），∴OA＝OA'＝4，
∴点A经过的路径的长度2π．
【变式15】★★★如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）连结OE，
∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，
∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；
（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，
∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；
（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，
S阴影＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．
【变式16】★★★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴弧BC的长为；
（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，∴CDBC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD21．
题型二、圆锥的侧面积
【变式1】★（2020 朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．130πcm2 B．120πcm2 C．65πcm2 D．60πcm2
【答案】C
【解析】这个圆锥的侧面积2π×5×13＝65π（cm2），故选：C．
【变式2】★（2020 双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【答案】C
【解析】这个圆锥的表面积＝π 122π×1×3＝4π．故选：C．
【变式3】★（2020 嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr×4＝8π，解得r＝2．故选：A．
【变式4】★如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）
A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2
【答案】D
【解析】做这把遮阳伞需用布料的面积2π×2×3＝6π（m2）．故选：D．
【变式5】★（2020 海州区期末）如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【解析】扇形的弧长为：8πcm，圆锥的底面半径为：8π÷2π＝4cm，故选：B．
【变式6】★若一个圆锥的底面半径为3cm，高为cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为 ．
【答案】120°
【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的母线长9，
∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为9，扇形弧长为6π，∴6π，解得，n＝120，故答案为：120°．
【变式7】★（2020 岳阳二模）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为 cm．
【答案】12
【解析】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πrπ×20，解得r＝12．故答案为：12．
【变式8】★（2020 南昌期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的母线长l．
【解析】圆锥的底面周长＝2π×2＝4π（cm），
设圆锥的母线长为l，则：4π，解得：l＝6，所以该圆锥的母线长为6cm．
【变式9】★★（2020 五峰县期末）如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？
【解析】（1）圆锥的侧面积12π（cm2）；
（2）该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr，解得r＝2．即圆锥的底面半径为2cm．
【变式10】★（2020 绍兴月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
【解析】（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，
D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；
（2）连接AC、AD、CD，
⊙D的半径长，
∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．
设圆锥的底面圆的半径长为r，则，解得：，所以该圆锥底面圆的半径长为．
【亮点检测】
1．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【分析】
根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】
依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，
,，
扇形AEF的面积．
故选A．
【点睛】
本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键．
2．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．
【详解】
解：在中，，，
，
，
绕直角顶点逆时针旋转得△，
，
弧的长．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
∵△ABC中,∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180° 60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360° (∠BDO+∠CEO) (∠ABC+∠ACB)=360° 120° 120°=120°，
∵BC=6，
∴OB=OC=3，
∴S阴影=
故选D．
【点睛】
考查三角形的内角和以及扇形的面积公式，等腰三角形性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
4．圆锥的底面半径为3cm，母线为9cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．27πcm2
【答案】D
【分析】
根据圆锥侧面积公式进行计算即可.
【详解】
解： 根据圆锥的侧面积 可得：
圆锥侧面积S=27.
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面积公式，解决本题的关键是要熟练掌握圆锥侧面积计算公式.
5．如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理先求得阴影部分扇形的圆心角度数，再根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径的长，最后根据勾股定理求得圆锥的高．
【详解】
阴影部分扇形的圆心角
设圆锥的底面半径为圆锥的高为
故选C
【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧长，圆锥的侧面展开图，理解圆锥的侧面展开图的各数据是解题的关键．
6．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得2 πr，
解得r＝1，
侧面积= ，
底面积=
所以圆锥的表面积=，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
7．如图，在中，，，以为直径做半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积为__．
【答案】
【分析】
连接，，根据圆周角定理得到，解直角三角形求得，，，，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接，，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
为的直径，
，，
又∵，
，
∴，
∵，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握扇形的面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
8．如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、若，，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】
连接，根据菱形的性质求出和，进而求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
又，
∴是等边三角形，
，
又∵为的中点，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
∵，，为的中点，
∴为的中点，
同理可得：，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键．
9．用一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm．
【答案】9
【分析】
设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解关于r的方程即可．
【详解】
解：设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=9（cm）．
故答案为9．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的______、半径为圆锥的一条_____的长的扇形面积．
圆锥的全面积＝圆锥的侧面积＋底面积．
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则圆锥的侧面积公式为：__________
圆锥的全面积公式为：__________
【答案】周长 母线
11．如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．
【答案】80°
【分析】
设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】
解：设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，
根据题意得，
解得n＝80，
即圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度．
【答案】150
【分析】
根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．
【详解】
设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l=240π，
解得：l=24，
则=20π.
解得n=150，即扇形的圆心角为150°，
故答案为:150．
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键.
13．如图，已知点，的坐标分别为、，将绕点按顺时针方向旋转得到△．
（1）画出△；
（2）的对应点为，写出点的坐标；
（3）求出旋转到的路线长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）将点、分别绕点按顺时针方向旋转得到对应点，再首尾顺次连接可得；
（2）根据以上图形可得；
（3）利用勾股定理求出的长，然后根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）△如图所示．
（2）由图可知．
（3），，
弧的长为．
【点睛】
本题考查了作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC的延长线于点H．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．
【答案】（1）∠ABE＝30°；（2）见解析；（3）阴影部分的面积＝．
【分析】
（1）根据切线的性质以及已知条件可得∠AOE=60°,根据半径相等以及三角形外角的性质即可求得的度数；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质可得AO＝2OE，又2OE=BD，进而证明，可得，从而得证OA＝BH；
（3）先根据勾股定理求得AE，进而根据阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形ODE即可求得阴影部分的面积．
【详解】
（1）∵AC与圆相切，
OE⊥AC，
在Rt△AOE中，∠AOE＝90°﹣∠A＝60°，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB＝∠AOE＝30°；
（2）在Rt△AOE中，∠A＝30°，则AO＝2OE=BD，
AC与圆相切于点E，
∠ACB＝90°，
为直径
OA＝BH；
（3）在AOE中，OE＝2＝AO，
则阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形ODE＝×2×2﹣ π 22＝．
【点睛】
本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
15．如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2），的半径为2，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OE，若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与OE垂直，故证明OEAD即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用可求得，再根据直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接，
，
，
∵平分，
∴，
，
，
，
，
，
∴．
，
是的切线；
（2）解：，，，
，，
，
阴影部分面积
．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，扇形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先利用扇形面积公式求出扇形半径，再利用扇形弧长公式求出弧长；
（2）先画出图形，求出圆锥的底面圆的半径，再利用勾股定理求高即可．
【详解】
解：（1）设扇形的半径为R，
根据题意，得
∴R2=900，
∵R＞0，
∴R=30．
∴扇形的弧长=．
答：扇形的弧长为．
（2）设圆锥的底面半径为r，
根据题意，得，
∴．
∴圆锥的高h=．
答：圆锥的高为．
．
【点睛】
本题综合考查了扇形的面积公式、扇形弧长公式、勾股定理等内容，要求学生明白圆锥的高、母线和半径组成了一个直角三角形，同时牢记求解步骤、熟记相关公式等．
17．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】
【分析】
蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．
【详解】
解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母线l==80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．
【点睛】
本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．
18．如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．
（1）圆锥的母线长（）与底面半径（）之比；
（2）求的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
【答案】（1）；（2）；（3）圆锥的侧面面积．
【分析】
（1）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得比值；
（2）利用圆锥的高，母线和底面半径构造的直角三角形中的勾股定理和等腰三角形的基本性质解题即可；
（3）圆锥的侧面积是展开图扇形的面积，直接利用公式解题即可，圆锥的侧面积为 ．
【详解】
解：（1）根据题意得，
所以
即：
（2）
为等边三角形，
（3）在中, ，
，
所以圆锥的侧面面积（）
【点睛】
此题考查圆锥的特点和圆锥侧面面积的计算，解题关键在于找到圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面面积公式．专题24.4 弧长、扇形与圆锥
【教学目标】
理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。
了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题。
【教学重难点】
1、理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。
2、了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题。
【知识亮解】
知识点一、弧长及扇形的面积
设的半径为，圆心角所对弧长为，
（一）弧长的计算
（1）弧长公式：
（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所
对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为
注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角
所对弧长时，不要错写成
（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。
（二）扇形面积的计算
（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。
（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。
（3）公式推导：
①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是
②即其中为扇形的弧长，为半径。
点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。
（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是
（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。
（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。
亮题一、弧长及扇形的面积
【例1】★★如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（ ）
A．6π B．7π C．π D．π
【例2】★★一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（ ）
A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2 C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2
【例3】★如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）
A．2π B．9 C．3π D．6π
【例4】★★如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【例5】★★（2020春 东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六
个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）
A．πm2 B．2πm2 C．4πm2 D．nπm2
【例6】★（2019秋 崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 ．
【例7】★如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【例8】★如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为 cm2．
【例9】★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆
心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是 ．
【例10】★★（2020 泉州模拟）如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 ．
【例11】★★★如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°．
（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；
（2）求图中阴影部分的面积．
【例12】★★如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【例13】★★如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长．
【例14】★★★如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，
且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【例15】★★★如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【例16】★★★如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
知识点二、圆锥的侧面积与全面积
（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。
圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。
（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。
（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，
计算公式为：
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。
亮题二、圆锥的侧面积
【例1】★（2020春 锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm2
【例2】★若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】★（2020 宜兴市一模）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（ ）
A．3 B．6π C．3π D．6
【例4】★如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【例5】★已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．130πcm2 D．155πcm2
【例6】★若将半径为24cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
【例7】★如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ）
A．9π B．12π C．15π D．20π
【例8】★用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆半径为 cm．
【例9】★（2020 邗江区二模）圆锥的母线长为4cm，侧面积为8πcm2，圆锥的底面圆的半径为 cm．
【例10】★若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则圆锥的底面半径为 cm．
【例11】★（2020 江都区二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【例12】★（2020 扬中市模拟）已知圆锥的底面圆半径为cm，高为cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
【例13】★如图，圆锥底面半径为r，母线长为6，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则r的值为 ．
【例14】★如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？
【例15】★★★如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则圆D的半径长为 （结果保留根号）．∠ADC的度数为 °；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）
【例16】★★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【亮点训练】
题型一、弧长及扇形的面积
【变式1】★（2020 成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（ ）
A． B． C． D．π
【变式2】★如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝70°，OA＝2，则弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．π
【变式3】★若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【变式4】★如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【变式5】★（2020 金水区校级二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式6】★如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
【变式7】★（2020 宝应县二模）如图，⊙O的半径为5，弦AC垂直平分半径OB，则劣弧的长为 ．
【变式8】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C
为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）cm2
A．6π B．6π C．π D．6π
【变式9】★★）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【变式10】★如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积 ．
【变式11】★如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
【变式12】★如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为 cm2．
【变式13】★★如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D、E分别是半径OA、OB上的点，以OD、OE为邻边的 ODCE的顶点C在上．若OD＝5，OE＝3，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
【变式14】★如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
【变式15】★★★如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
【变式16】★★★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
题型二、圆锥的侧面积
【变式1】★（2020 朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．130πcm2 B．120πcm2 C．65πcm2 D．60πcm2
【变式2】★（2020 双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【变式3】★（2020 嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【变式4】★如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）
A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2
【变式5】★（2020 海州区期末）如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【变式6】★若一个圆锥的底面半径为3cm，高为cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为 ．
【变式7】★（2020 岳阳二模）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为 cm．
【变式8】★（2020 南昌期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的母线长l．
【变式9】★★（2020 五峰县期末）如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？
【变式10】★（2020 绍兴月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
【亮点检测】
1．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
2．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
4．圆锥的底面半径为3cm，母线为9cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．27πcm2
5．如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，以为直径做半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积为__．
8．如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、若，，则阴影部分的面积为__________．
9．用一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm．
10．圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的______、半径为圆锥的一条_____的长的扇形面积．
圆锥的全面积＝圆锥的侧面积＋底面积．
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则圆锥的侧面积公式为：__________
圆锥的全面积公式为：__________
11．如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．
12．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度．
13．如图，已知点，的坐标分别为、，将绕点按顺时针方向旋转得到△．
（1）画出△；
（2）的对应点为，写出点的坐标；
（3）求出旋转到的路线长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC的延长线于点H．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．
15．如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2），的半径为2，求阴影部分面积．
16．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
17．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
18．如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．
（1）圆锥的母线长（）与底面半径（）之比；
（2）求的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
