单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． 2 D．4
2. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的渐近线l方程为，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为
A．2 B． C． D．2
4、直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ）
5、若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点， 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
7、设离心率为的双曲线（，）的右焦点为，直线过点且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
（实验班）已知定点M（1，给出下列曲线方程：
4x+2y-1=0 ②③④在曲线上存在点P满足
的所有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
8、双曲线两条渐近线的夹角为60o，该双曲线的离心率为（ ）
A．或2 B．或 C．或2 D．或
9、若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、椭圆上一点M到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
（实验班做）如图，双曲线＝1的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）
注意事项：
⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号
二
三
总分
15
16
17
18
分数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.抛物线的焦点坐标是 ；
12. 椭圆和双曲线的公共点为是两曲线的一个交点, 那么的值是__________________。
13. 椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为 __________
（实验班做）双曲线和直线有交点，则它的离心率的取值范围是______________
14.若焦点在轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数的取值范围是_______________
三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。
16. （12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
（实验班做）已知向量m1=（0，x），n1=（1，1），m2=（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），
又设向量m=m1+n2，n=m2－n1，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
17. （13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
18. （13分） 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
C
B
D
A
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。
11．；12． 13. 实验班 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（I）设椭圆方程为
解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 ………………4分
（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得
………………………… 5分
由题意得 ………………………7分
解得 又直线l与坐标轴不平行 ……………10分
故直线l倾斜角的取值范围是 ……………12分
16.解：设点，则依题意有，…………………3分
整理得由于，所以求得的曲线C的方程为…………………………5分
（实验班做）（I）由已知，
…………………………………4分
………………………………5分
即所求曲线的方程是：………………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.…………………9分
由
…………………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.………………………………12分
17.解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．…………………………4分
（2）假若存在这样的k值，由得．
∴． ①
设，、，，则 ②
…………………………………………8分
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分
∴ ． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
18解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．
∴ 两交点坐标为 ，、，．
∵ △PFQ为等边三角形，则有（如图）．
∴ ，即．
解得 ，c＝2a．∴ ．…………………………………………7分
（2）由（1）得双曲线C的方程为把．
把代入得．
依题意 ∴ ，且．
∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
∵ ． ∴ ．
整理得 ．
∴ 或．
∴ 双曲线C的方程为：或
．……………………………13分
圆锥曲线与方程综合练习（2010-1-6）
一、选择题：
1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．不能确定
2. 抛物线与直线交于A、B两点，其中点A的坐标为
（1，2），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（ ）
A．7 B． C．6 D．5
3.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
4.若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，
P是两曲线的交点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5.已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹
方程是（ ）
A． B． C． D．
6. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）
A．渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
B．抛物线的准线方程是
C．等轴双曲线的离心率是
D．椭圆的焦点坐标是
7.已知圆与抛物线的准线相切，则为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
8.一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，（2，）是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为 （ ）
9.双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
10. 方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
B
A B C D
二、填空题：
11. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．
12.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
13.在△ABC中，AB=BC，．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．
14.已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．
三、解答题：
15．(1)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10，求双曲线的标准方程。
(2)已知两准线间的距离为，焦距为，求椭圆的标准方程。
16.已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦
AB的中点的轨迹方程。
17.已知是中心在原点的椭圆的一个焦点，P是椭圆上的点. 定点在椭圆内，求：（1）|PA|+|PF|的最小值；（2）|PA|+3|PF|的最小值。
18.直线与双曲线相交于A、B两点，是否存在实数使A、B两点关于直线对称？若存在，求出实数；若不存在，说明理由。
19．已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 |AB|=，求圆锥曲线C和直线的方程。
20．如图,在Rt△ABC中，∠CAB=，AB=2，AC=. 一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，直线m⊥AB于O，AO=BO.
（1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
（2）设D为直线m上一点,,过点D引
直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与
AB成角,求四边形MANB的面积.
圆锥曲线与方程综合练习答案
选择题：
1—5：BACDA 6—10：CBABA
填空题：
11. 4 12. 2 13. 14.
解答题：
15. （1）
（2）
16.
17. （1）；（2）7
18. 解：满足条件的a不存在。
假设存在实数a 使A,B关于直线y=2x对称，设A,B的坐标为(x1,y1)、（x2,y2 ），
即y1+y2=2(x1+x2)
又y1=ax1+1, y2=ax2+1 故y1+y2=a(x1+x2)+2
所以a(x1+x2)+2= 2(x1+x2) 即(2-a)(x1+x2)= 2 ①
将y=ax+1代入双曲线方程3x 2-y2=1,得
点A,B的横坐标即这个方程的两实根，由韦达定理有 ②
由①②得
显然直线不垂直，故满足条件的实数a不存在。
19. 解：设圆锥曲线C的离心率为e, P到的距离为d，则e=
∴圆锥曲线C是抛物线
∵ ∴P=2
∴抛物线方程为y2=4x
设的方程为y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2)
由 y=2x+b
y2=4x 消去y，整理得：4x2+4(b－1)x+b2=0
则 x1+x2=－(b－1)
x1x2=
∴|AB|=
又∵|AB|=
∴1－2b=9, ∴b=－4
故直线的方程为y=2x－4
综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为y=2x－4
20. 解：（1）以AB、m所在直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系.
∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a、b，半焦距为c，则
∴曲线E方程为
（2）由题设知，，
由直线l与AB成角，可设直线方程为，代入椭圆方程整理得
设， 则
所以，四边形MANB的面积
=
数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1曲线 与曲线 (0 A、相等的长、短轴 B、相等的焦距
C、相等的离心率 D、相同的准线
2、若k可以取任意实数，则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线
3、如果抛物线y 2= ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
4、平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
5、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
6、若椭圆的中心及两个焦点将两条准线之间的距离四等分，则椭圆的离心
率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、过点P（2，-2）且与-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
8、抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率，一条准线方程为的双曲线方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10、椭圆上一点到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长，且它的离心率，则到另一焦点的对应准线的距离为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
11、已知双曲线 和椭圆 (a>0, m>b>0)的离心率互为
倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
12、过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
13、椭圆+=1(x(0,y(0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________ 14、过双曲线 的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于
A、B、C、D四点，则矩形ABCD的面积为
15、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中
心，则抛物线方程为 .
16、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1，0)的距离的2倍，那么动点的轨迹方程是_________________________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17.（本小题满分12分）已知点和动点C引A、B两点的距离之差
的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长。
18（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为椭圆的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行。又抛物线与椭圆交于点，求抛物 线与椭圆的方程.
19.（本小题满分12分） 双曲线的焦距为2c，直线过点
（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和
求双曲线的离心率e的取值范围.
20.（本小题满分12分）已知双曲线经过点M（）．
（1）如果此双曲线的右焦点为F（3，0），右准线为直线x= 1，求双曲线方程；
（2）如果此双曲线的离心率e=2，求双曲线标准方程．
21.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
22、（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为。
若圆（x-2）2+(y-1)2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；
设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600。求的值。
参考答案
一、选择题
1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、C 10、D 11、B 12、A
二、填空题
13、 -8 14、 15 、 16、 3x2＋4y2＋4x?32=0
三、解答题
17.解：设点，则根据双曲线定义，可知C的轨迹是双曲线
由得
故点C的轨迹方程是
由得直线与双曲线有两个交点，设
则
故
18. 因为椭圆的准线垂直于轴且它与抛物线的准线互相平行
所以抛物线的焦点在轴上，可设抛物线的方程为
在抛物线上
抛物线的方程为
在椭圆上 ①
又 ②
由①②可得
椭圆的方程是
19. 解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
20解：（1）∵双曲线经过点M（），
且双曲线的右准线为直线x= 1，右焦点为F（3，0）
∴由双曲线定义得：离心率=
设P（x，y）为所求曲线上任意一点，
∴由双曲线定义得：=
化简整理得
（2）
①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为，
∵点M（）在双曲线上，∴，
解得，， 则所求双曲线标准方程为
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为，
∵点M（）在双曲线上，∴，
解得，，
故所求双曲线方程为 或
21.【解】(1) 解方程组
y=x
得
X1=－4, x2=8
y=x2－4
y1=－2, y2=4
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).
∵点P到直线OQ的距离d==,
,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4 ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
22.解：（1）设A（x1,y1），B（x2,y2）,AB的方程为y-1=k(x-2) 即y=kx+1-2k①
∵离心率e=∴椭圆方程可化为②
将①代入②得（1+2k2）x2+4(1-2k)·kx+2(1-2k)2-2b2=0
∵x1+x2= ∴k=-1
∴x1x2= 又 ∴
即 ∴b2=8 ∴
(2)设（不妨设m即 或
∴ 或
第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么 （ ）
（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
（B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上
（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0
（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=0
2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）
（A）x–y= 0 （B）x + y=0 （C）|x|=|y| （D）y=|x|
3．已知椭圆方程为，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ ）
（A）2 （B）2 （C）2 （D）2
4．已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于 （ ）
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
5．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )
（A） （B）
（C） (D)
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．椭圆的一个焦点是，那么
7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 .
8．已知点（0, 1)在椭圆内，则m的取值范围是 .
9．椭圆的准线平行于x轴, 则m的取值范围是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．直线x–y–m= 0与椭圆有且仅有一个公共点，求m的值.
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6, 且cos∠OFA= , 求椭圆的方程.
12．若一个动点P(x, y)到两个定点A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程.
(1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ）
（A）3x–4y=0, 且x＞0 （B）4x–3y=0, 且0≤y≤4
（C）4y–3x=0,且0≤x≤3 （D）3y–4x=0,且y＞0
15．椭圆的焦距为2,则m的值等于 （ ）
（A）5或3 （B）8 （C）5 （D）16
16．已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB, 若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e= , 则椭圆的方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．若椭圆的离心率为, 则m的值等于 （ ）
（A）18或 （B）18或 （C）16或 （D）16或
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．方程表示椭圆，则k的取值范围是 .
19．椭圆＋＝1上有一点P到一条准线的距离是，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积等于 .
20．已知P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P的横坐标是 。
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为|OB|，则椭圆的离心率等于 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.
23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24. 已知椭圆,P为该椭圆上一点.
(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；
(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且,求的值.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题，每题5分。
25．若实数x，y满足，则x2 + y2有 （ ）
（A）最小值，无最大值 （B）最小值，最大值16
（C）最小值0，无最大值 （D）最小值0，最大值16
26．已知θ∈(0, ), 方程x2sinθ + y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 .
解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
28．已知直线l: 6x－5y－28=0交椭圆于M , N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得?并证明你的结论.
参考答案
A组
一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A
二、6．1
7．答：. 由解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为.
8．答：[1, 5)(5,+∞).
9．答：m＞1. ∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴,
解得m＞1.
三、10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0,
令△＝0，解得m＝±.
11．解：依题意cos∠OFA= ＝，又2a＝6 , ∴a＝3，c=2，b2＝5.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，椭圆方程为.
12．解：设P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,
即.
(1)当m＝4时，由
化简得点P的轨迹方程是：
.
(2)当m＝2时，由
化简得点P的轨迹方程是：
y=0，（－1≤x≤1)
(3)m＝1时，
无解，∴点P的轨迹不存在.
B 组
13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
18．答：(–16, 4)(4, 24). 由k ∈(–16, 4)(4, 24).
19．答：3. ∵e＝，|PF1|＝e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=,
∴△PF1F2面积等于|PF1|·h＝3.
20．答：x=±. 设P(x,y)，由·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±.
21．答：e＝. ∵ F1(－c, 0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为，e＝，∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
22．分析 因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–，即可得到动点C的轨迹方程.
解 设C(x, y), 则
（x≠±5）
由
所以动点C的轨迹方程为
(x≠±5）
23．解：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y－1=,即，设Q（x,y），则，
解得
所以存在，Q的坐标为。
24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e =.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为,
又两准线间距离为,∴P到右准线的距离为.
(2)由椭圆定义得…①;
又…②,
由①,②联立可解得;在
中,,
∴,
∵为锐角,,
∴.
C组
25．选D.
26. 答：θ∈(, ). 椭圆方程化为,∵椭圆焦点在y轴上，∴
∴, 又θ∈(0, ),∴θ∈(, ).
27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ①
设， ，，则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
28．解 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减得……①,
由,得x1+x2=3c, y1+y2=－b,代入①
得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 …… ③;
由②③解得(b为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,
因此椭圆方程为:.
（2）证明: ,
∴,
∴使的点P不存在.
说明：第23题为2007年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.
高二数学同步测试——圆锥曲线
一、选择题：
1．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是 （ ）
2．已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）
A．x＝± B．y＝± C．x＝± D．y＝±
3．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C．4a D．
4．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
5．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标
A．± B．± C．± D．±
6．设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积
A．1 B． C．2 D．
7．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）
A． B． C． D．
8．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （ ）
A．m<2 B．19．已知双曲线－=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
10．椭圆上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是 （ ）
A．198 B．199 C．200 D．201
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=___ __．
12．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．
13．双曲线＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 ．
14．若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是_______ ___．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
15．（12分）已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
16．（12分）已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
17．（12分）如图椭圆 (a>b>0)的上顶点为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆方程．
18．（12分）双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围．
19．（14分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程
20．（14分）已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为+=1（a>b>0），C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．
参考答案
一、1．D；解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：.因为a＞b＞0，因此，＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.
解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2．D；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（，0），双曲线焦点（，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±·x∴代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=±x．
3．C；解析：抛物线y=ax2的标准式为x2＝y，∴焦点F（0，）.
取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.
如图，∵PF＝PM，∴p＝，故．
4．D；
5．A；解析：由条件可得F1（－3，0），PF1的中点在y轴上，∴P坐标（3，y0），又P在=1的椭圆上得y0=±，∴M的坐标（0，±），故选A.
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2，且双曲线是对称图形，假设P（x，），由已知F1P⊥F2 P，有，即，因此选A.
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.
7．D；
8．D；
9．B；
10．C；
二、
11．4；解析：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（，0），由两点间距离公式，得=5．解得p=4.
12．；解析：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|＝＝4，代入＝1，得y02＝，∴|OP|＝．
评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.
13．；解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝６ m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32.
又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝．
14．；
三、
15．解：（1）设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则=1．解得y0=±，
∴|PF2|=，在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°
解法一：|F1F2|=|PF2|，即2c=，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2
解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a.
∵|PF2|=，∴2a=，即b2=2a2，∴
故所求双曲线的渐近线方程为y=±x．
16．解：（1）∵，∴．
∵是共线向量，∴，∴b=c,故．
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ．
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．
17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB斜率为, 故CD方程为y=(x－c). 于椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2=0. ∵CD的中点为G(), 点E(c, －)在椭圆上, ∴将E(c, －)代入椭圆方程并整理得2c2=a2, ∴e =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程为y=(x－c), b=c, a=c. 与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2=0.
∵平行四边形OCED的面积为
S=c|yC－yD|=c=c,
∴c=, a=2, b=. 故椭圆方程为
18．解：直线l的方程为bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1 =．
同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2 =.s= d1 +d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.
于是得5≥2e2.即4e2－25e+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.
由于e>1>0,所以e的取值范围是.
19．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为，y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）
其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）
由|AM|＝，|AN|＝3得：
（xA＋）2＋2pxA＝17 ①
（xA）2＋2pxA＝9 ②
由①②两式联立解得xA＝，再将其代入①式并由p>0，解得或
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去
所以p＝4，xA＝1．由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|＝4．
综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）
依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝
由于△AMN为锐角三角形，故有
xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝
故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．
评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.
20．由e=，得=，a2=2c2,b2=c2．
设椭圆方程为+=1．又设A(x1,y1),B(x2,y2)．由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2．
又+=1，+=1，两式相减，得 +=0．
∴∴直线AB的方程为y－1= －(x－2)，即y= －x+3．
将y= －x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0
又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0．
由|AB|=|x1－x2|==,得·=．
解得 b2=8，故所求椭圆方程为+=1．
高二数学椭圆双曲线单元检测卷
班级： 学号： 姓名：
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是 ，，
则 （ C ）
A． B． C． D．
2．椭圆两焦点为 、 ，P在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）
A． B． C． D．
3、已知M是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，则的最大值是（ C ）
A、4 B、6 C、9 D、12
4、等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ D ）
5．椭圆 的焦点为 和 ，点P在椭圆上，如果线段 的中点在 y轴上，那么 是 的 （ A ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
6．椭圆 的焦点在y轴上，则 （ C ）
A． B．且 C．且 D．且
7．椭圆 的焦点坐标是 （ D ）
A． B． C． D．
8．到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是 （ C ）
A． B．
C． D．
9．k为何值时，直线y=kx+2 和椭圆 相交 （ A ）
A． B． C． D．
10．如右图，椭圆 的离心率 ，
左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，
则的值等于 （ B ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（D ）
A．2 B. C. D.
12.在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左右焦点，为直角三角形，这样的P有（ C ）
Ａ． ２个 Ｂ．４个 Ｃ．６个 Ｄ．８个
二、填空题（每小题5分，共20分）
1３．焦点为（0，4）和（0，-4），且过点的椭圆方程是
1４．以椭圆的长轴端点为短轴端点，且过点（-4，1）的椭圆标准方程
是
1５．已知x,y满足，则的最大值为
1６．设P为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，如果，则这个椭圆的离心率是
三、解答题（共70分）
1７、（本小题12分）已知椭圆的焦点是
（1）求此椭圆的标准方程
（2）设点P在此椭圆上，且有的值
(1) (2)cos1８、（本小题12分）斜率为1的直线与双曲线相交于A、B两点，又AB中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB的长
(1)y=x+1 (2)AB=
1９．（本小题12分）在椭圆上取一点P，P与长轴两端点A、B的连线分别交短轴所在直线于M、N两点，设O为原点，求证：为定值。
20. （本小题12分）已知椭圆的离心率，过A（a,0）,B(0,-b)两点的直线到原点的距离是，（1）求椭圆的方程 ； （2）已知直线y=kx+1(k0)交椭圆于不同的两点E、F，且E、F都在以B为圆心的圆上，求k的值。
(1) (2)
21. （本小题12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线，（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线L，交双曲线于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当时，求Q的坐标。
(1) (2)Q(2,0)或Q（-2，0）
