数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数（共32张ppt）

(共32张PPT)
人教A版2019 必修第一册
第三章 函数的概念与性质
3. 3 幂函数
幂函数的概念
【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c= ，这里c是S的函数；
(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v= km/s，这里
v是t的函数；
【以下各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如 的函数.

一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.





【1】在函数① ② ③ ④
⑤ ⑥ 中，是幂函数的是（ ） .
【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数.
选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项
选项④同理.






①⑤⑥
幂函数的特征
【1】 的系数为1

【2】 的底数为自变量

【3】 的指数为常数

只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如
等的函数不是幂函数.



判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为
( 为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.


【1】已知幂函数 的图像经过点 ，求这个函数的表达式.


【解】由题意设函数的表达式为

把点 代入，得：


即 ，所以


所以这个函数的表达式为

和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：










【总结】①只有 时图像才是直线；

②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内 由上到下递减.

幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：










【总结】⑤ 时，图像在定义域内上升；
⑥ 时，图像在第一象限下降；
⑦只有 时，图像才与坐标轴
相交，且交点一定为原点；
⑧ 时，图像是y=1这条直线,除去一个点.




幂函数的性质：
（1）过定点（1,1）；
（2）幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限；
（3）当时，函数在区间上是增函数；
（4）当时，函数在区间上是减函数；
（5）在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；
（6）在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）；
幂函数的性质





奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
增函数
增函数
增函数








【1】求幂函数 的定义域并讨论其奇偶性和单调性.
【解】因为 ， ，又 为
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.





由 为正奇数，得


，所以 为增函数.

因为 ，所以 是正的奇次方根，所以
在定义域内为增函数.



幂函数的性质
和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表：


在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关
图像过点(0，0)和点(1，1)
图像过点(1，1)
在(0，+∞)上是增函数
在(0，+∞)上是减函数
在第一象限，当0＜a＜1时，
图像上凸；当a＞1时，图像下凹
在第一象限，图像都下凹
与a的取值有关
【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.
【解】设 ，则 在R上为增函数.
比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.


∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3
(-1.5)3 和 (-1.4)3
幂函数 奇偶性的判断方法





奇函数
偶函数


奇函数
偶函数
非奇非偶函数





证明幂函数的增减性
【例题】证明幂函数 是增函数.

【证明】函数的定义域是[0，+∞).




因为 ， ，所以



即幂函数 是增函数.

题①
已知幂函数的图像经过点(9,3)，求这个幂函数的解析式.
设幂函数为 ，
因为图像经过点(9,3)，
所以 ，
所以 .
所以 ，
变1.已知幂函数在上为减函数，则等于（）.
解：∵为幂函数
∴=1，
又∵幂函数在上为减函数
∴.即
∴=
题型二：幂函数的图象及应用
若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1)
解：∵设,则
∴=2.即
同理可得，
画出和的函数图象，
则由图象可知：当或时，；
当时，；
当时，.
题②
变2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（）.
答案：B.在（1，+）上，指大图高.
解决幂函数图象问题的原则：
（1）根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）.
（2）当时，幂函数的图象都经过和点.
题③
比较下面两组数的大小.
(1) 和 （2） 和
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
变3-1.比较下列各组数中两个数的大小.
与；与；与.
解：(1)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>.
(2)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴.
解：(3)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>
又∵在上是单调递增的，
且,∴
∴
变3.比较下列各组数中两个数的大小.
与；与；与.
变3-2.比较下列各题中两个幂的值的大小.
与；与.
解：(1)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴
(2)∵,幂函数在上是单调递增的，
且，∴,即
比较幂的大小的3种基本方法：
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
题④
如果幂函数的图象不过原点，求实数m的值
题5
在同一平面直角坐标系中画出函数 与 的图象，并利用图象求不等式 的解集.
题型四：幂函数性质的综合应用
例.已知函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵,,
∴中有一个必为偶数，
∴该函数的定义域为,
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例.已知函数
(2)若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
解：(2)∵该函数图象经过点,∴，
∴，即=2，∴
由，得解之得
故的值为1，满足条件的实数的取值范围为
.
变.已知幂函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
解：(1)∵幂函数为偶函数,
∴，解得（舍去）或
∴,∴ .
(2)由，可得.
即
.
解之得
练习
解决幂函数的综合问题，要注意以下几点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等.
题⑤
已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.