等腰三角形复习2[上学期]
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课件25张PPT。等腰三角形复习 等腰三角形的性质与判定
1.性质 性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2.判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
如图：若AB=AC
①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC
②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC
③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC
作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. 2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则它的顶角为90°( ) 1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为 .21或18总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用
分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!1、如果等腰三角形的一个外角为100°， 则这个等腰三角形的顶角为 。2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ， 则AC长为 。课堂检测ABCED例1：已知，如图等边△AEB与等 边△BCD在线段AC的同侧 求证： △ABD≌△EBCA B C DE变式：已知如图△ABD与△ACE均为等边三角形，求证：DC=BE想一想：
你还能写出哪些结论
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3 已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 求证：AC= BD.证明：
∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
∴AC= DC
∴AC= BD例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB. 求∠A的度数.分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=z
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=z
∵BE=DE
∴∠EBD=∠EDB=90°
∵AD=DE
∴∠A=∠AED=x
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）
∴解得x=45°
即：∠A=45°例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
∴△BDM≌△CEM（SAS）
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 求证：△DEF也是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC－BD=AC－CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中
∴△AEF≌△CDE（SAS）
∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形说明：证明等边三角形有三种思路：
①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。
具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。 证明：过D作DH∥AE，交BC于H
∴
∵AB=AC ∴
∴
∴DB=DH
又∵DB=CE
∴DH=CE
又∵
∴
∴DG=EG.说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。1.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。
2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。
3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。
4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。
5.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。
6.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。
7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。练习8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。 在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE.
2. 若CE=1,则DE=_____.
3. 你还能找出哪些相等的线段吗? 4. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
1. DE⊥AB吗?
11DB=______.即：CE=DE=DBAD=AC=BCCABO 等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则:
3. 若AC=10,则△CEF的周长为多少?2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？1. 图中有几个等腰三角形?
AF+ EB=FE相等角之间的转化相等线段之间的转化如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长?
解:因为OA平分∠CAB.
所以∠FAO=∠OAB.
又因为EF∥AB.
所以∠FOA=∠OAB.
所以∠FAO=∠FOA
即:AF=OF 所以AC=AF+FC=OF+FC.
同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.
所以△CFE的周长: =OF+FC+OE+EC
=AC+BC=12+8=20 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ 请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形！36°⌒
ABC请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！ 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的其中两顶点构成等腰三角形！BAC50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论（分类讨论）
1.性质 性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2.判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
如图：若AB=AC
①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC
②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC
③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC
作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. 2. 若等腰三角形的一个内角是45°,则它的顶角为90°( ) 1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为 .21或18总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用
分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!1、如果等腰三角形的一个外角为100°， 则这个等腰三角形的顶角为 。2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ， 则AC长为 。课堂检测ABCED例1：已知，如图等边△AEB与等 边△BCD在线段AC的同侧 求证： △ABD≌△EBCA B C DE变式：已知如图△ABD与△ACE均为等边三角形，求证：DC=BE想一想：
你还能写出哪些结论
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3 已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 求证：AC= BD.证明：
∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
∴AC= DC
∴AC= BD例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB. 求∠A的度数.分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=z
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=z
∵BE=DE
∴∠EBD=∠EDB=90°
∵AD=DE
∴∠A=∠AED=x
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）
∴解得x=45°
即：∠A=45°例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
∴△BDM≌△CEM（SAS）
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 求证：△DEF也是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC－BD=AC－CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中
∴△AEF≌△CDE（SAS）
∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形说明：证明等边三角形有三种思路：
①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。
具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。 证明：过D作DH∥AE，交BC于H
∴
∵AB=AC ∴
∴
∴DB=DH
又∵DB=CE
∴DH=CE
又∵
∴
∴DG=EG.说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。1.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。
2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。
3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。
4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。
5.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。
6.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。
7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。练习8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。 在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE.
2. 若CE=1,则DE=_____.
3. 你还能找出哪些相等的线段吗? 4. 若AB=6,则△DEB的周长等于多少?
1. DE⊥AB吗?
11DB=______.即：CE=DE=DBAD=AC=BCCABO 等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则:
3. 若AC=10,则△CEF的周长为多少?2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？1. 图中有几个等腰三角形?
AF+ EB=FE相等角之间的转化相等线段之间的转化如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长?
解:因为OA平分∠CAB.
所以∠FAO=∠OAB.
又因为EF∥AB.
所以∠FOA=∠OAB.
所以∠FAO=∠FOA
即:AF=OF 所以AC=AF+FC=OF+FC.
同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.
所以△CFE的周长: =OF+FC+OE+EC
=AC+BC=12+8=20 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ 请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形！36°⌒
ABC请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！ 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的其中两顶点构成等腰三角形！BAC50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论（分类讨论）