等腰三角形和直角三角形[上学期]
文档属性
| 名称 | 等腰三角形和直角三角形[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 280.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-11-16 13:38:00 | ||
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文档简介
课件28张PPT。等腰三角形与直角三角形(一)数学 初二一、提出问题：
瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时
就用一块等腰三角板，放在梁上（如图）从顶点系一重物，如果系重物的绳正好经过三角板底边中点，房梁就是水平的，为什么？二、问题的解决
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角）
注意：“等边对等角”是指同一三角形中的边角关系。
2．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。问题解决：若系重物的绳经过BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，有AD⊥BC，因为AD是竖直向下，垂直于地面，所以此时房梁是水平的。
等腰三角形的“三线合一”的性质提供了构造直角三角形及证明垂直的方法。三、例题解析
例1．已经如图，在△ABC中，AB=AC，E在
CA的延长线上。∠AEF=∠AFE。
求证：EF⊥BC。∴EF⊥BC。证法一、作BC边上的高AD，D为垂足。∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAC=2∠1又∵∠BAC是△AEF的一个外角，∠E=∠3∴∠BAC=∠E+∠3=2∠3∴2∠1=2∠3∴AD//EF231∴EF⊥BC证法二、过E作EM//BC交BA的延长线于M∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠1=∠C，∠B=∠M∴∠1=∠M∵在△EFM中，∠M+∠MEF+∠EFM=180°即∠M+∠1+∠2+∠3=180°∵∠2=∠3∴2（∠1+∠2）=180°即∠1+∠2=90°∴EF⊥EMM123 证明两直线夹角为90°，也是证明两直线垂直的常用方法。也提供了由等腰三角形构造直角形的另一种方法，如图，已知△ABC中，AB=AC，延长线BA到D，使AD=AB，连结DC，可得△BDC为直角三角形。D例题解析
例2．如图在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。
求证：∠DBC=证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∵BD⊥AC于D证法三：如图，作AE⊥BC于E∵AB=AC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠1=∠DBC（折半法）1证法二：（加倍法） 如图作∠C′BD=∠CBD，交AC于C′∴C′B=CB∵BD⊥AC∴∠C′BC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠A=180°-2∠C∴∠C′BC=∠AC′例3．已知，如图△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC交BC于E，以BE为边向△ABC的外部作等边△BED。
求证：BD⊥CD
∴BD⊥CD证明：∵△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC交BC于E∴BE=EC∵△BED为等边△∴∠1=∠2=60°BE=ED∴DE=EC∴∠3=∠4∵∠2=∠3+∠4∴∠3=30°∴∠BDC=∠1+∠3=60°+30°=90°2341例4．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边上任一点。
AE⊥CD于E，CH⊥AB于H，交AE于G
求证：BD=CG∵AE⊥CD于E证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°∴∠CAB=45°∵CH⊥AB于H∴∠1=45°，AH=BH∴∠1=∠CAB∴CH=AH=BH４１２３∴∠2+∠3=90°∴BD=CG∵∠4+∠3=90°∴∠2=∠4∴在△DHC和△GHA中∴△DHC≌△GHA（ASA）∴DH=GH∴BH－DH=CH―GH例5．如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D，CE⊥BE于E。
求证：CE= 。∴∠3=∠1证明：延长BA、CE交于M点∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2∵BE⊥CE∴∠2+∠BCE=90°，∠1+∠M=90°∴∠M=∠BCE∴BC=BM∴CE=∵AB⊥AB∴∠3+∠M=90°１Ｍ２３等腰直角三角形为我们证明三角形全等提供了条件。在△ACM和△ABD中∴△ACM≌△ABD（ASA）∴BD=CM四、问题探究
现在有一块长方形木板的残留部分，它的两条对边AB、CD整齐且平行，但另两条对边参差不齐，现在没有直角尺，请你在毛边附近画出一条与AB、CD都垂直的边来。由例1中方法二的证明可知FN⊥AB。解：（1）在AB边上靠近A、B的位置分别取点E、F（2）以E、F为圆心，EF长为半径画弧相交于Ｍ点（3）以Ｍ为圆心，ＥＦ长为半径画弧，
交EM的延长线于N（4）连结FN（5）延长FN交CD于KEMNFK五、作业
1．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
BD是AC边上的高
求∠DBC的度数
2．如图在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°。D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE。
求证：AF⊥DE3．某中学师生在工厂参观中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，用“三弧法”。方法如下（如图）
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧相交于C。
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC延长线于D
（3）连结DB
请问∠ABD是△直角吗，为什么？C参考答案
1．18°
2．证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠1=45°
∵EC⊥BC
∴∠2=45°
∴∠2=∠B在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴AD=AE
∵DF=FE
∴AF⊥DE
3．参考例1证法二。再见教师：白芳
瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时
就用一块等腰三角板，放在梁上（如图）从顶点系一重物，如果系重物的绳正好经过三角板底边中点，房梁就是水平的，为什么？二、问题的解决
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角）
注意：“等边对等角”是指同一三角形中的边角关系。
2．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。问题解决：若系重物的绳经过BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，有AD⊥BC，因为AD是竖直向下，垂直于地面，所以此时房梁是水平的。
等腰三角形的“三线合一”的性质提供了构造直角三角形及证明垂直的方法。三、例题解析
例1．已经如图，在△ABC中，AB=AC，E在
CA的延长线上。∠AEF=∠AFE。
求证：EF⊥BC。∴EF⊥BC。证法一、作BC边上的高AD，D为垂足。∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAC=2∠1又∵∠BAC是△AEF的一个外角，∠E=∠3∴∠BAC=∠E+∠3=2∠3∴2∠1=2∠3∴AD//EF231∴EF⊥BC证法二、过E作EM//BC交BA的延长线于M∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠1=∠C，∠B=∠M∴∠1=∠M∵在△EFM中，∠M+∠MEF+∠EFM=180°即∠M+∠1+∠2+∠3=180°∵∠2=∠3∴2（∠1+∠2）=180°即∠1+∠2=90°∴EF⊥EMM123 证明两直线夹角为90°，也是证明两直线垂直的常用方法。也提供了由等腰三角形构造直角形的另一种方法，如图，已知△ABC中，AB=AC，延长线BA到D，使AD=AB，连结DC，可得△BDC为直角三角形。D例题解析
例2．如图在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。
求证：∠DBC=证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∵BD⊥AC于D证法三：如图，作AE⊥BC于E∵AB=AC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠1=∠DBC（折半法）1证法二：（加倍法） 如图作∠C′BD=∠CBD，交AC于C′∴C′B=CB∵BD⊥AC∴∠C′BC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠A=180°-2∠C∴∠C′BC=∠AC′例3．已知，如图△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC交BC于E，以BE为边向△ABC的外部作等边△BED。
求证：BD⊥CD
∴BD⊥CD证明：∵△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC交BC于E∴BE=EC∵△BED为等边△∴∠1=∠2=60°BE=ED∴DE=EC∴∠3=∠4∵∠2=∠3+∠4∴∠3=30°∴∠BDC=∠1+∠3=60°+30°=90°2341例4．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边上任一点。
AE⊥CD于E，CH⊥AB于H，交AE于G
求证：BD=CG∵AE⊥CD于E证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°∴∠CAB=45°∵CH⊥AB于H∴∠1=45°，AH=BH∴∠1=∠CAB∴CH=AH=BH４１２３∴∠2+∠3=90°∴BD=CG∵∠4+∠3=90°∴∠2=∠4∴在△DHC和△GHA中∴△DHC≌△GHA（ASA）∴DH=GH∴BH－DH=CH―GH例5．如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D，CE⊥BE于E。
求证：CE= 。∴∠3=∠1证明：延长BA、CE交于M点∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2∵BE⊥CE∴∠2+∠BCE=90°，∠1+∠M=90°∴∠M=∠BCE∴BC=BM∴CE=∵AB⊥AB∴∠3+∠M=90°１Ｍ２３等腰直角三角形为我们证明三角形全等提供了条件。在△ACM和△ABD中∴△ACM≌△ABD（ASA）∴BD=CM四、问题探究
现在有一块长方形木板的残留部分，它的两条对边AB、CD整齐且平行，但另两条对边参差不齐，现在没有直角尺，请你在毛边附近画出一条与AB、CD都垂直的边来。由例1中方法二的证明可知FN⊥AB。解：（1）在AB边上靠近A、B的位置分别取点E、F（2）以E、F为圆心，EF长为半径画弧相交于Ｍ点（3）以Ｍ为圆心，ＥＦ长为半径画弧，
交EM的延长线于N（4）连结FN（5）延长FN交CD于KEMNFK五、作业
1．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
BD是AC边上的高
求∠DBC的度数
2．如图在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°。D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE。
求证：AF⊥DE3．某中学师生在工厂参观中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，用“三弧法”。方法如下（如图）
（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧相交于C。
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC延长线于D
（3）连结DB
请问∠ABD是△直角吗，为什么？C参考答案
1．18°
2．证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠1=45°
∵EC⊥BC
∴∠2=45°
∴∠2=∠B在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴AD=AE
∵DF=FE
∴AF⊥DE
3．参考例1证法二。再见教师：白芳