第5章 函数概念与性质 章节复习讲义-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（含答案）

函数的概念与性质知识清单
一、函数的概念与图像知识清单
【知识点一、函数的概念】
1．函数的概念
设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都
有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的构成要素
由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．
辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值．
3．相等函数（同一函数）
对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．
【知识点二、函数的三种表示方法】
1．解析法：用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
2．图象法：用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
3．列表法：通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
【知识点三、分段函数】
1．分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．
二、函数的概念与图像题型分析
1．函数概念
判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x）．
【例1】给出下列两个集合的对应：
①；②；
③；④；
⑤
其中是到的函数有__________个．
【变式训练1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　）
① ② ③ ④
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
2．函数相等
讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同． 注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数．
【例2】下列各组函数中，与表示同一函数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练1】在下列四组函数中，与表示同一函数的是　　
A． B．
C． D．
3．函数图象
（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是．
（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象．若函数是分段函数，需注意分段函数的图象由几部分构成．
（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理．
【例3】函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1】如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________．
4．分段函数
（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现的形式时，应从内到外依次求值．
（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
【例4】已知，则=_________．
【变式训练1】设函数若（a），则实数的值为　　
A． B． C．或 D．或
【变式训练2】已知使成立的的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【变式训练3】已知函数则（5）　　
A．0 B． C． D．1
5．求函数的解析式时忽略函数的定义域
【例6】已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求关于的函数解析式．
【变式训练1】已知函数；
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，，求实数的取值范围．
一、函数的三要素知识清单
【知识点一、函数的定义域】
当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：
①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求；
④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；
⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
【知识点二、求函数值或函数的值域】
（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．
求函数值应遵循的原则：
①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．
②求的值应遵循由里往外的原则．
③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．
（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
【知识点三、函数解析式的求法】
（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：
①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；
②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．
（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f （ x），f（x）与．
（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
二、函数的三要素题型分析
1．函数的定义域
【例1】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】求下列函数的定义域．
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
【变式训练2】（1）已知的定义域为，，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，，求函数的定义域．
【变式训练3】（1）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
（2）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
2．求函数值或函数的值域
【例2】函数y=的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】函数的值域为
A． B． C． D．
【变式训练1】求下列函数的值域
（1），，； （2）．
（3），，； （4）．
（5） （6） （7）．
3．函数解析式的求法
【例4】已知，求．
【变式训练1】（1）设二次函数满足，且，求的解析式．
（2）已知二次函数满足条件和，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且有，求的解析式．
一、函数的单调性与最值知识清单
【知识点一、函数的单调性】
1．函数单调性的定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I：
①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12．函数的单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）___________，区间D叫做y=f（x）的___________．
名师解读：常见函数的单调性
函数类型 单调性
一次函数 在上单调递增
在上单调递减
反比例函数 单调减区间是和
单调增区间是和
二次函数 单调减区间是，单调增区间是
单调减区间是，单调增区间是
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
【知识点二、函数的最大值与最小值】
1．最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________．
那么，我们称M是函数的最大值．函数的最大值对应图象最高点的纵坐标．
2．最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________．
那么，我们称m是函数的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
名师解读：函数的最值与单调性的关系
如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值．
如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值．
如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．
名师解读：求函数的最大（小）值
求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；
（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．
注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．
（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．
二、函数的单调性与最值题型分析
(一) 证明或判断函数的单调性
例1、证明：函数在区间（0，＋∞）上是增函数．
【变式训练1】．用单调性定义证明：函数在（﹣∞，1）上为增函数．
【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：
是增函数对任意，都有，或，或；是减函数对任意，都有，或，或．
(二) 函数单调性的应用
例2、若函数在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
【变式训练1】．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
(三) 求函数的最大值与最小值
例3、已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值．
【变式训练1】．对a，b∈R，记max{a，b}，函数f（x）＝max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是（　　）
A．0 B． C． D．3
一、函数的奇偶性知识清单
【知识点一、函数的奇偶性】
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．
名师解读：函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
【知识点二、函数的奇偶性的图像特征】
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．
名师解读：性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
二、函数的奇偶性题型分析
(一) 证明或判断函数的奇偶性
例1、下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是非奇非偶函数
C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
【变式训练1】．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x
（3）f（x）（4）f（x）
（5）f（x）（6）f（x）
（7）f（x）（8）f（x）
(二) 函数奇偶性的应用
例2、设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例3、设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．>> B．>>
C．<< D．<<
【变式训练1】.函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）
A．f（2）＜f（π）＜f（5） B．f（π）＜f（2）＜f（5）
C．f（2）＜f（5）＜f（π） D．f（5）＜f（π）＜f（2）
例4、已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝2x+3．
（1）求f（x））的解析式；
（2）若f（a）＜7，求实数a的取值范围．
例5、设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）≤0的解集为　 　．
【变式训练1】已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集　 　．
例6、已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1 x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．