第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章综合检测卷-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（含答案）

《第6章　幂函数、指数函数和对数函数》全章综合检测卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={y|y=},B={x|y=ln (x-1)},则A∩B=(　　)
A.[1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
2.[2022江苏淮安高一上期末]已知函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数,则函数g(x)=loga(x-m)+1(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标是(　　)
A.(2,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(-1,2)
3.[2022吉林油田高级中学高三上调研]函数y=ln |ex-e-x|的部分图象是(　　)
4.已知函数f(x)=a-x+lox(a>0且a≠1),则f(x)在区间[1,2]上的最大值为(　　)
A.f(1) B.f(1)或f(2)
C.1 D.f(b),b∈(1,2)
5.[2021江苏宿迁高一上期末]2004年中国探月工程正式立项,从嫦娥一号升空,到嫦娥五号携月壤返回,中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米.有人说,在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)(　　)
A.40 B.41 C.42 D.43
6.[2022湖北武汉汉阳一中、江夏一中高一上联考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.设a= f(log3),b=f(),c=f(),则(　　)
A.aC.c7.若x2-loga(x+1)<2x-1在x∈(,1)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[()-4,1) B.(()-4,1)
C.(1,()4) D.(1,()4]
8.[2022江苏省江阴高级中学高一期末]已知函数f(x)定义在(0,+∞)上,当x2>x1>0时,x2f(x1)-x1f(x2)>x2-x1.若f(1)=e+1,则不等式f(ln x)>ln x+x的解集为(　　)
A.(0,e) B.(1,e)
C.(1,+∞) D.(e,+∞)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得 0分.
9.已知函数f(x)=则下列结论中错误的是(　　)
A.f(x)的值域为(0,+∞)
B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点
C.f(x)是单调函数
D.f(x)是偶函数
10.[2022山东滨州行知中学高一上期末]已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则(　　)
A.函数f(x)的图象与x轴有两个交点
B.函数f(x)的最小值为-4
C.函数f(x)的最大值为4
D.函数f(x)的图象关于直线x=2对称
11.[2022江苏南京雨花台中学、山东潍坊部分学校联考]已知正实数x,y满足log2x+y<()x-()y,则(　　)
A. B.x3C.ln (y-x+1)>0 D.2x-y<
12.[2022江苏南京五中高一月考]已知函数f(x)=,g(x)=lg(-x),则(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.函数g(x)为奇函数
C.函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值之和为0
D.设F(x)=f(x)+g(x),则F(2a)+F(-1-a)<0的解集为(1,+∞)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　 .
14.[2022辽宁省名校联盟高一联考]写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=　　　　　.
①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②f(-x)=f(x);③任取x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0.
15.如图所示,已知函数y=log2(4x)的图象上的两点A,B和函数y=log2x的图象上的点C,线段AC平行于y轴,当△ABC为正三角形时,点B的横坐标为　　　　.
16.[2022江苏镇江四校高一联考]已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x都有f(x+4)=3f(x),当x∈[-2,2]时,f(x)=则f(4)=　 　　;若当x∈(2,6]时,f(x)≥t2-4t恒成立,则实数t的取值范围是　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2022江苏省盐城中学高一上期末]已知定义在R上的函数f(x)=4x+k·4-x(k∈R).
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数k的值;
(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,1]恒成立,求实数k的取值范围.
18.(12分)如图所示,函数F(x)的图象是由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)与幂函数g(x)=xb的图象“拼接”而成的.
(1)求F(x)的解析式;
(2)比较ab与ba的大小;
(3)已知(m+4)-b<(3-2m)-b,求实数m的取值范围.
19.(12分)目前我国一些高耗能产业的产能过剩,严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某行业计划从 2022年开始,每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0(1)设第n(n∈N*)年(2022年记为第1年)的年产能为 2021年的a倍,请用a,n表示x;
(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2021年的年产能的25%
参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.
20.(12分)[2022江苏南通高一上期末]在条件①b为自变量x,c为关于b(即x)的函数,记为y;②c为自变量x,b为关于c(即x)的函数,记为y中任选一个补充在下面的横线上,并作答.
对于等式ab=c(a>0,a≠1),若视a为常数,　　　　,将y表示成关于x的函数f(x),且函数y=f(x)的图象经过点(2,).
(1)求f(x)的解析式,并写出f(|x|)的单调区间;
(2)解关于x的不等式f(2x)+kf(x)-≥0.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
21.(12分)已知函数f(x)=log2[k·4x-(k-1)2x+k+].
(1)当k=0时,求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)的最大值是-1,求实数k的值;
(3)已知022.(12分)[2022江苏泰州高一上期末]若存在实数m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”.
(1)若h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(2,1)函数”,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,求f(x),g(x)的解析式.
(2)设函数f(x)=ln (ex+1),g(x)=x,是否存在实数m,n使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,且同时满足①h(x)是偶函数;②h(x)的值域为[ln 2,+∞).若存在,请求出实数m,n的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1.C　因为A={y|y=}=R,B={x|y=ln(x-1)}=(1,+∞),所以A∩B=(1,+∞).
2.A　因为函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数,所以3m-2=1,所以m=1,所以g(x)=loga(x-1)+1.令x-1=1,得x=2,此时g(2)=1,所以函数g(x)的图象过定点(2,1),
3.B　因为ex-e-x≠0,所以x≠-x,所以x∈R,且x≠0.令G(x)=ln |ex-e-x|(x∈R,且x≠0),则G(-x)=ln |e-x-ex|=ln |ex-e-x|=G(x),所以G(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A,C.令H(x)=ex-e-x(x>0),因为函数H(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=ln |ex-e-x|在(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
4.B　因为f(x)=()x+lox(a>0且a≠1),所以当a>1时,0<<1,函数f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1);当01,函数f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2).综上,f(x)的最大值为f(1)或f(2).
5.C　设对折n次时,纸的厚度为y(单位:毫米).由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,则y=0.1×2n.令y=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥lg 3.8+12,即n≥=42,所以至少对折的次数n是42.故选C.
6.A　由题意可得a=f(log3)=f(-log34)=f(log34).因为log34>log33=1, 0<<20=1,所以log34>>0,所以f(log34)7.D
8.B
二、多项选择题
9.ACD
10.AB
11.BC　由题意,log2<()x-()y.当x>y,即>1时,log2>0,而()x<()y,所以()x-()y<0,故log2<()x-()y不成立.当x=y时,log2=0,()x-()y=0,log2<()x-()y不成立,故00,则y-x+1>1,ln(y-x+1)>0,故C正确.2x-y<20=1,故D不一定正确.故选BC.
12.BCD
三、填空题
13.[5,+∞)
14.ln |x|(答案不唯一)
15.
16.-　[1,3]
四、解答题
17.(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即4-x+k·4x=4x+k·4-x,
两边乘以4x得1+k·42x=42x+k,故k=1.(4分)
(2)由f(x)≤6,得4x+k·4-x≤6,
即k·4-x≤6-4x,
即k≤-(4x)2+6·4x=-(4x-3)2+9,所以k≤-(4x-3)2+9对x∈[0,1]恒成立.(7分)
因为0≤x≤1,所以1≤4x≤4,
故当x=0,即4x=1时,-(4x-3)2+9取得最小值为5,(8分)
所以实数k的取值范围为(-∞,5].(10分)
18.(1)将点(,)分别代入函数f(x)=ax与g(x)=xb,得解得(3分)
所以F(x)=(4分)
(2)ab=(=()2,ba=(,(6分)
又函数y=()x在R上是减函数,
所以(>()2,即ab(3)由(1)可得(m+4<(3-2m,
又幂函数y=在(0,+∞)上是减函数,(10分)
所以解得-所以实数m的取值范围是(-,).(12分)
19.(1)依题意得(1-x)n=a,则1-x=,
所以x=1-(n∈N*).(4分)
(2)设第n年的年产能不超过2021年的年产能的25%,则(1-10%)n≤25%,
即()n≤,nlg ≤lg ,n(2lg 3-1)≤-2lg 2,则n≥.(8分)
因为≈,
所以n≥.(10分)
因为13<<14,且n∈N*,
所以n的最小值为14,
所以至少要到2035年才能使年产能不超过2021年的年产能的25%.(12分)
20.方案一　选择条件①.
(1)由ax=y,得f(x)=ax.(1分)
因为y=f(x)的图象过点(2,),所以a2=,
又a>0,a≠1,所以a=,
所以f(x)=()x.(4分)
f(|x|)=()|x|的增区间为(-∞,0],减区间为[0,+∞).(6分)
(2)由(1)知f(x)=()x,所以f(2x)+kf(x)-=()2x+k()x-≥0.
令t=()x>0,则t2+kt-≥0,(8分)
所以t≥,
所以()x≥,(10分)
解得x≤lo,
所以原不等式的解集为 (-∞,lo].(12分)
方案二　选择条件②.
(1)由ay=x,得f(x)=logax.(1分)
因为y=f(x)的图象过点(2,),所以loga2=,
又a>0,a≠1,所以a=4,
所以f(x)=log4x.(4分)
f(|x|)=log4|x|的减区间为(-∞,0),增区间为(0,+∞).(6分)
(2)由(1)知f(x)=log4x,所以f(2x)+kf(x)-=log4(2x)+klog4x-≥0,即(1+k)log4x≥0.(8分)
当1+k=0,即k=-1时,x>0;
当1+k>0,即k>-1时,log4x≥0,x≥1;
当1+k<0,即k<-1时,log4x≤0,0综上,当k=-1时,原不等式的解集为(0,+∞);当k>-1时,原不等式的解集为[1,+∞);当k<-1时,原不等式的解集为(0,1].(12分)
21.(1)当k=0时,f(x)=log2(2x+).(1分)
因为2x+,所以f(x)>log2=-1,
所以f(x)的值域是(-1,+∞).(3分)
(2)由(1),知当k=0时,函数f(x)没有最大值.
设t=2x(t>0),则log2[k·4x-(k-1)2x+k+]=log2[kt2-(k-1)t+k+],
令g(t)=kt2-(k-1)t+k+,t>0.
若k>0,则函数g(t)的图象开口向上,所以函数g(t)没有最大值,即函数f(x)没有最大值.
若k<0,要使函数f(x)的最大值是-1,需使g(t)的最大值是,所以>0,g(t)max=g()=k()2-(k-1)+k+,所以k=-1.
综上,k=-1.(7分)
(3)当x>0时,t=2x>1,
设m(t)=k·t2-(k-1)t+k+,
因为0所以当t>1时,m(t)为增函数,即f(x)为增函数,
所以函数f(x)的定义域为[a,b]时,f(x)的值域为[a+1,b+1]等价于函数f(x)的图象与直线y=x+1有两个交点(a,a+1),(b,b+1),且a>0,b>0,
即log2[k·4x-(k-1)2x+k+]=x+1有两个正根,即k·4x-(k-1)2x+k+=2x+1有两个正根,
所以k·t2-(k-1)t+k+=2t,即k·t2-(k+1)t+k+=0有两个大于1的根.(10分)
又>1,所以
解得所以实数k的取值范围是(,).(12分)
22.(1)因为h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(2,1)函数”,
所以2f(x)+g(x)=ex,　①
所以2f(-x)+g(-x)=e-x.
又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以-2f(x)+g(x)=e-x.　②
由①②得f(x)=(ex-e-x),g(x)=(ex+e-x).(4分)
(2)假设存在实数m,n,使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,则h(x)=mf(x)+ng(x)=mln(ex+1)+nx.
因为h(x)是偶函数,所以h(-x)=h(x),
即mln(e-x+1)-nx=mln(ex+1)+nx,
即m+2nx=0.(6分)
因为==ln ex=x,所以(2n+m)x=0.
因为(2n+m)x=0对任意x∈R恒成立,所以m=-2n,　③(8分)
所以h(x)=-2nln(ex+1)+nx=n=n.(9分)
因为ex++2≥2+2=4,当且仅当ex=,即x=0时取等号,
所以≤=-2ln 2.
因为h(x)的值域为[ln 2,+∞),所以n<0,且-2n=1.　④(11分)
由③④得m=1,n=-.
综上,存在实数m=1,n=-符合题意.(12分)