1.1 集合的概念 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（无答案）

数学学生讲义
学生姓名： 年级：高一年级 科目：数学 学科教师：
课题 集合的概念
授课类型 基础知识回顾 经典例题再现
教学目标 1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
教学重难点
授课日期及时段
教学内容
一、集合与元素的概念： 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对 象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。 特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如……；元素通常用小写的字母表示，如……。 二、集合中元素的特性： 1、确定性：设是一个给定的集合，是某一具体的对象，则或者是的元素，或者不是的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程有两个重根，其解集只能记为，而不能记为。 3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如和表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。 三、元素与集合的关系： 一般地，如果是集合的元素，就说属于，记作；如果不是集合的元素，就说不属于，记作。 特别提醒：1、“属于”号与“不属于”号，使用时不可反过来写，“A－6”与“A 8”的写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性，或，这两种情况必有一种成立；3、集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。如：集合相对于集合而言，是的一个元素；元素与集合之间不存在大小与相等的关系，如与，只能是，不能写成。4、符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系，如：的写法是错误的，而的写法是正确的。 四、集合的分类： 按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作．空集是个特殊的集合，空集归入 有限集。如：。 按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为： （1）单元素集：只含一个元素的集合；如，。 （2）数集：有一些数字组成的集合； （3）点集：由符合某一条件的点，组成的集合； （4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：方程的解集是：。 五、常用数集的关系及记法 六：集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考虑元素顺序；4、适用于表示元素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。①格式：；②含义：它表示集合由具有性质的所有元素构成的。其中为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；表明了的范围；为该集合中元素所具有的特征。如：不等式的解集可以表示为：或。 特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为： （3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合可用韦恩图表示为： 类型一：集合的概念及元素的性质 例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？ (1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体. 例2．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？ 【变式1】设 (1)若aZ，则是否有aS？ (2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？ 类型二：元素与集合的关系 例3.用符号“”或“”填空． (1) (2) (3) 【变式1】 用符号“”或“”填空 （1）若,则 ；-2 . （2）若则 ；-2 . 类型三：集合中元素性质的应用 例4.定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 【变式1】定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 【变式2】定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 变式3. ，则M=( ) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4} 例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值. 例6.已知集合，若，求实数的值及集合. 【变式1】已知集合，，求实数的值 类型四：集合的表示方法 例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合. 【变式1】用列举法表示集合： (1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN} (3)C={y|x+y=3，xN， yN} (4) (5) (6)P={x|x(x-a)=0， aR} 【变式2】用适当的方法表示下列集合： （1）比5大3的数； （2）方程的解集； （3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。 A组 1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( ) A．与0非常接近的数 B．我班喜欢跳舞的同学 C．我校学生中的团员 D．我班的高个子学生 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A． B． C． D． 3．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 4．下面有四个命题： (1)集合中最小的数是1；　　　　　　 (2)若不属于，则属于； (3)若则的最小值为2； (4)的解可表示为； 其中正确命题的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6． 设，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．用符号“”或“”填空 (1)-3______， ______， ______； (2)(是个无理数). 8. 方程组用列举法表示为 . 9．自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 . 10．由所确定的实数集合是 . 11．用描述法表示的集合可化简为 . 三、解答题 12．已知集合，试用列举法表示集合. 13．分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）大于且小于6的整数所组成的集合； （2）方程的实数根所组成的集合. 14．已知集合={x|，}，若中元素至多只有一个，求实数的取值范围. B组 1．下列四个集合中，是空集的是( ) A． B． C． D． 2．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 3．集合 用描述法可表示为（ ） A． B． C． D． 4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．用符号“”或“”填空 (1)-3______， ______， ______； (2)(是个无理数). 7. 方程组用列举法表示为 . 8．设，则集合中所有元素之积为 . 9．由所确定的实数集合是 . 10．用描述法表示的集合可化简为 . 11．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 三、解答题 12．分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）大于且小于6的整数所组成的集合； （2）方程的实数根所组成的集合. 13．已知集合={x|，}. （1）若中只有一个元素，实数的取值范围. （2）若中至少有一个元素，实数的取值范围. （3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围. 14．设集合. 求证：（1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于.