第七讲-幂函数
知识点一、幂函数的概念
概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为.
补充：也可以表示成或，也可以表示成
知识点二、幂函数的图像与性质
1、常见的五种幂函数的图像及其性质：(，，，，)
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减
定点
2、有关幂函数的常用结论
（1）幂函数在上都有定义.
（2）幂函数的图象均过定点.
（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
（5）幂函数在第四象限无图像.
考点一、幂函数的概念
【典型例题】
1、在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式练习】
1、给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2、已知是幂函数，求m，n的值．
3、已知函数，则“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二、幂函数的三要素
【典型例题】
1、写出下列函数的定义域与值域
(1)函数的定义域是________，值域是________；
(2)函数的定义域是________，值域是________；
(3)函数的定义域是________，值域是________；
(4)函数的定义域是________，值域是________.
2、已知幂函数的图象过点，则________.
3、幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、讨论下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)；(3)；(4).
2、（多选题）已知幂函数的图象过点，则（ ）.
A． B． C． D．
3、已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
考点三、幂函数的图像
【典型例题】
1、若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图像如下图，则、、、的大小关系是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3、任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
【变式练习】
1、如图所示，幂函数及直线，，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，则幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A、Ⅳ，Ⅶ
B、Ⅳ，Ⅷ
C、Ⅲ，Ⅷ
D、Ⅲ，Ⅶ
2、已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ）
A． B．
C． D．
3、幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点四、幂函数性质的应用
【典型例题】
1、（多选题）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
2、已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
3、幂函数在定义域内为奇函数，且在区间上单调递减，则_________.
4、已知幂函数，，对任意，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5、已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是_________.
6、若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
【变式练习】
1．已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是___________．
3、已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
4、设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
5、已知，，则m与n的大小关系为________．
6、已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是________.
7、（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【模拟训练】
1、下列函数中哪个是幂函数( )
A． B． C． D．
2、已知幂函数的图象过点，则______．
3、幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
4、已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
5、已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.
6、给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______．
①为奇函数；
②在上单调递减；
③当时，．
8、“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9、已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
10、写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
11、设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12、图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
13、（多选题）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
14、已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是__________．
15、幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
16、函数的大致图象是
A． B．
C． D．
17、以下命题正确的是( )
①幂函数的图像都经过
②幂函数的图像不可能出现在第四象限
③当时，函数的图像是两条射线(不含端点)
④是奇函数，且在定义域内为减函数
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
18、已知幂函数，且在定义域内单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19、已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
20、已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．第七讲-幂函数
知识点一、幂函数的概念
概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为.
补充：也可以表示成或，也可以表示成
知识点二、幂函数的图像与性质
1、常见的五种幂函数的图像及其性质：(，，，，)
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减
定点
2、有关幂函数的常用结论
（1）幂函数在上都有定义.
（2）幂函数的图象均过定点.
（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
（5）幂函数在第四象限无图像.
考点一、幂函数的概念
【典型例题】
1、在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为，所以是幂函数；
由于出现系数2，因此不是幂函数；
是两项和的形式，不是幂函数；
()，可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.
2、已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【解析】由幂函数，故有，
解得，或，当时，不合题意.
故选：D．
【变式练习】
1、给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.
2、已知是幂函数，求m，n的值．
【解析】由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
3、已知函数，则“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由是幂函数，得，即，解得或，则“”是“是幂函数”的充分不必要条件．
故选：A.
考点二、幂函数的三要素
【典型例题】
1、写出下列函数的定义域与值域
(1)函数的定义域是________，值域是________；
(2)函数的定义域是________，值域是________；
(3)函数的定义域是________，值域是________；
(4)函数的定义域是________，值域是________.
【答案】R
【解析】(1)的定义域是，值域是；
(2)的定义域是，值域是；
(3)的定义域是，值域是；
(4)的定义域是，值域是；
2、已知幂函数的图象过点，则________.
【答案】1.5
【解析】因为函数是幂函数，所以，又因为幂函数的图象过点，所以，所以所以，故答案为：1.5
3、幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
【变式练习】
1、讨论下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)定义域为R，值域为；(2)定义域为，值域为；(3)定义域为，值域为；(4)定义域为R，值域为.
【解析】(1)函数的定义域为R，值域为.
(2)因为，所以函数的定义域为，值域为.
(3)因为，所以，且，所以函数的定义域为，值域为.
(4)因为，所以函数的定义域为R，值域为.
2、（多选题）已知幂函数的图象过点，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为是幂函数，所以，所以或者
又的图象过点，
所以，
所以或.
答案：BC.
3、已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
(2)解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
考点三、幂函数的图像
【典型例题】
1、若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图像如下图，则、、、的大小关系是（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】取，则，则，故选A。
2、在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，若时，函数在递增，此时递增，
若时，函数在递减，递减，
所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，
选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，
所以交于轴正半轴，可排除D，故选C．
3、任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
【答案】A
【解析】因为所有幂函数的图象都过，
所以最少有个交点，
如图所示：
当函数为和时，它们有个交点，
故选：．
【变式练习】
1、如图所示，幂函数及直线，，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，则幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A、Ⅳ，Ⅶ
B、Ⅳ，Ⅷ
C、Ⅲ，Ⅷ
D、Ⅲ，Ⅶ
【答案】D
【解析】在直线两侧，按逆时针方向指数函数图像对应的真数部分均由小变大；
而，故在直线左侧，图像经过第Ⅲ卦限，
在直线右侧，图像经过第Ⅶ卦限，故选D。
2、已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：
故选：C.
3、幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】幂函数在是减函数，且为偶函数，故选:C.
考点四、幂函数性质的应用
【典型例题】
1、（多选题）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
【答案】BC
【解析】因为为幂函数，
所以，解得m=2或m=-1．
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数．
因为且，所以．
因为为增函数，所以，所以．故BC正确．故选BC
2、已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
【答案】
【解析】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得，所以的范围为，故答案为．
3、幂函数在定义域内为奇函数，且在区间上单调递减，则_________.
【答案】
4、已知幂函数，，对任意，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函数，
∴，，而，即，
故选：A
5、已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是_________.
【答案】
【解析】设幂函数为，
因为幂函数的图象过点，可得，解得，
所以幂函数为，
此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，
则，所以.
故答案为：.
6、若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
【答案】D
【解析】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；
因为，所以，，B错误；
，，由于，则
，故，D正确.
故选：D
【变式练习】
1．已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或．故选D．
2．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题设，，所以为奇函数，
由解析式易知在定义域上为增函数，
综上，由，可得，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，可得；
当时，恒成立，符合题设；
当时，恒成立，可得；
综上，的取值范围．故答案为
3、已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由幂函数的定义，得：m2-m-1=1，
∴m=-1或m=2，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且m∈Z，
∴m＞0，
∴m=2．
4、设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
【解析】由题可设，代入点，则，解得，
则在单调递减，
因为，所以可得，则.
故选：A.
5、已知，，则m与n的大小关系为________．
【答案】
【解析】设，已知，则，
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则，即，
故答案为：.
6、已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为幂函数过点，
所以 ，
解得，
所以在 上递增，
又，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围是
故答案为：
7、（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【解析】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
【模拟训练】
1、下列函数中哪个是幂函数( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幂函数是，，显然，是幂函数. ，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A．
2、已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】4
【解析】由题意令，由于图象过点，得，
故答案为：4．
3、幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
【答案】0
【解析】根据幂函数的定义得，
解得或；
当时，，图象与轴有交点，不满足题意；
当时，，图象与轴没有交点，满足题意；
综上，，
故答案为：
4、已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
5、已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.
【答案】
【解析】设，则，解得，
所以，此时为上的递增函数，且为奇函数，
所以等价于，
所以 ，即，所以或.
故答案为：
6、给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.
故选：A
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______．
①为奇函数；
②在上单调递减；
③当时，．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则，易知函数为奇函数，满足①；
由在上单调递减，可知在上单调递减，满足②；
对于③，
，
当时，，即，满足③．
故答案为：（答案不唯一）.
8、“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
9、已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
【答案】
【解析】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故
故答案为：
10、写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
【解析】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
11、设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】当时，定义域为，不满足题意
当时，定义域为，不满足题意
当时，定义域为，不满足题意
当时，定义域为，且为奇函数，满足题意
当时，定义域为，是偶函数，不满足题意
当时，定义域为，且为奇函数，满足题意
所以，使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为2
故选：B
12、图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】D
【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，
结合选项知，指数的值依次可以是．
故选：D.
13、（多选题）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
14、已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意，易知函数为上的奇函数，且在上单调递增.
因为在上恒成立，
所以，在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则在上恒成立，
则，解得.
故答案为：.
15、幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【解析】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故选：A．
16、函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A．
17、以下命题正确的是( )
①幂函数的图像都经过
②幂函数的图像不可能出现在第四象限
③当时，函数的图像是两条射线(不含端点)
④是奇函数，且在定义域内为减函数
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；
②形如，的函数是幂函数，当时，，
所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；
③的定义域是，，所以时，
的图象是两条射线(不含端点)，所以③正确；
④是奇函数，函数的定义域是，
函数在是减函数，在也是减函数，
但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C
18、已知幂函数，且在定义域内单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)，(2)存在，且.
【解析】
(1)函数是幂函数，
，
解得或.
由于在定义域内递增，所以不符合，
当时，，符合题意.
(2)，，
图象开口向上，对称轴为，
当，即时，在上递增，.
当，即时，，不符合题意.
当，即时，在上递减，，不符合题意.
综上所述，存在使得的最小值为.
19、已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
(2)解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
20、已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
(2)由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
