24.4第1课时 弧长和扇形面积 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
24.4第1课时 弧长和扇形面积
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1. 以圆的周长和面积为基础,探究弧长和扇形的面积公式,并会用来计算弧长和扇形面积.
2. 能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积.
重点：经历探究弧长和扇形面积公式的过程.能够推导公式.
难点：用公式解决实际问题.
情景导入
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
新知探究
(1)半径为R的圆,周长是多少？
(2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？
(3)1°的圆心角所对的弧长是多少？
(4)n°的圆心角所对的弧长是多少？
(5)由此不难得出：半径是R，所对圆心角是n°的弧的弧长是多少？
360°
问题1
我们知道弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.
归纳总结
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
注意
弧长公式：


注意事项
1.题目中若没有写明精确度，可用含 π 的代数式表示弧长，如弧长为 3π，11π 等.
2. 公式中的n和180表示倍数关系，没有单位.
3.不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
例题讲解
例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L (结果取整数)．
解： 由弧长公式得 AB 的长
因此所要求的展直长度
针对训练
已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm，则该扇形的半径为 cm.
15

新知探究
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
扇形面积计算公式及相关的计算
新知探究
类比弧长公式的推导，如何推导扇形的面积公式？
(1)半径为R的圆,面积是多少？
(2)圆的面积可以看作多少度的圆心角所对的弧长？
(3)1°的圆心角所对的扇形面积是多少？
(4)n°的圆心角所对的面积是多少？
(5)由此不难得出：半径是R，所对圆心角是n°的扇形的面积是多少？
360°
问题2
归纳总结
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
扇形面积公式：
新知探究
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大.
扇形的面积与哪些因素有关？
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
●
扇形的面积与圆心角、半径有关.
新知探究
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
例题讲解
例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．

O

A

B

C
D
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6m，DC=0.3m，
∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=OA=OC.
从而 ∠AOD=60°，∠AOB=120°.
例题讲解

O

A

B

C
D
有水部分的面积
新知探究

由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
课堂练习
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为(　　)
A．π　　　 　B．1　　　　 C．2　　　　D.
2．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π　　 　B．5π　 　 　C．4π　　 　D．3π
C
A
3.某扇形的周长是28cm，面积为49平方厘米，则这个扇形的半径是______
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则S阴影=_______
7cm
2.5π-4
课堂练习
课堂练习
5.如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45 cm， CO=5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区城(阴影部分)的面积为 cm2(结果保留π).
500π

总结归纳
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
不规则图形面积的求解方法
课堂练习
6. 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
课堂练习
7.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：(1) 如图，连接OD.
因为∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,
所以∠DOP=180°-120°=60°.
因为∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,
所以OD⊥DP.
又OD为⊙O的半径，所以DP是⊙O的切线.
课堂练习

7.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
课堂小结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
谢谢
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