甘肃省张掖市高台县2022-2023学年高三上学期第三次检测数学试题（Word版含答案）

高台县2022-2023学年度上学期高三第三次检测试卷
数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．（ ）．
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面半径为3，用一个平行于底面的平面去截侧锥，截面圆半径为2，截得的圆台的高为2，则原圆锥的侧面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知向量，，与的夹角为，则等于（ ）．
A． B． C． D．3
5．若数列是等差数列，其前n项和用表示，若满足．则当取得最大值时，n的值为（ ）．
A．14 B．15 C．16 D．17
6．设，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B． C． D．2
7．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法错误的有（ ）．
A．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
10．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若对于任意的，，则a的值可以为（ ）．
A． B． C． D．
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）．
① ②
A． B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
12．定义在R上的奇函数满足，当时，
（e为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）．
A． B．
C．不是周期函数 D．函数的图象关于点对称
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．
13．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为______．
14．若数列的前n项和，则的通项公式______．
15．设函数，若实数a，b，c满足，且，则的取值范围是______．
16．在中，，则______；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记，则当取最大值时，的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，求的中线的最小值．
18．（12分）
已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若对恒成立，求正整数m的最大值．
19．（12分）
已知向量，．令函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，恰好为函数的最大值，此时，求的最小值．
20．（12分）
已知数列的前n项和为，且满足，数列是等差数列，，．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，设，求的前n项和．
21．（12分）
已知函数，，其中e为自然对数的底数．
（1）求a的值；
（2）若函数的零点为，求的值．
22．（12分）
已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
参考答案及解析
一、选择题
1．B
【解析】由题意得，，所以．
2．D
【解析】由题意得．
3．C
【解析】如图，两圆锥的轴截面相似．
设原圆锥的半径为r，高为h，则，，解得，
则原圆锥的母线长，侧面积．
4．C
【解析】由题意得，
因为，所以，
所以．
5．C
【解析】设数列的公差为d．
因为满足，所以，
即，所以．
又，，
所以，
所以当取得最大值时，．
6．B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
7．C
【解析】因为，所以，所以，
即，，
所以，所以，．
因此
，
设，因为是锐角三角形，
所以，，，
所以，所以，
令，，则，
所以在区间上单调递增，
所以．
8．A
【解析】因为，所以①，
，所以②．
由①②得，
因为在区间上单调递增，所以，
则，所以．
令，则，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
二、选择题
9．ABD
【解析】对于A，1，2，3成等差数列，但1，4，9不成等差数列，故A错误；
对于B，1，2，3成等差数列，但，，不成等差数列，故B错误；
对于D，1，2，3成等差数列，但2，，不成等差数列，故D错误；
C显然正确．
10．CD
【解析】因为，所以，
又，所以．
又因为，所以，
所以，，所以，，且，
所以，所以取，，
所以，．
又因为对任意的，，
所以，所以，
所以，所以，，
所以，或，，
所以a的值可以为，．
11．ABD
【解析】对于A，，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确．
12．ABD
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，
当时，，整理得．
因为，所以，
又为奇函数，所以，所以，
所以，则．
当时，，解得，所以．
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以是的一个周期，故C错误；
对于D，因为，，
所以，所以，
所以的图象关于点对称，故D正确．
三、填空题
13．112
【解析】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，
所以棱台的下底面积，上底面积，高，
所以正四棱台的体积．
14．
【解析】当时，；
当时，，
显然当时不满足上式，所以数列的通项公式为．
15．
【解析】南题意，可得的图象如图所示．
因为，且，
所以且，解得．
令，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
因为，，所以的取值范围为．
16．
【解析】由，
得
．
因为，所以．又，所以．
设，，
则，，．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，
得．
又，
所以，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
此时，
所以，所以．
四、解答题
17．解：（1）在中，
由正弦定理及，
得，即．
由余弦定理得，
又，所以．
（2）因为是的中线，所以．
由（1）知，所以
，
当且仅当时取等号，则．
所以的中线的最小值为．
18．解：（1）因为数列满足，，
所以，为等比数列．
设的公比为q，可得，
又，即，解得，所以．
（2），
，．
上面两式相减可得，
则．
因为，
所以数列递增，最小，且为，
所以，解得，则正整数m的最大值为2021．
19．解：（1）因为，，
所以，
所以
，
则的最小正周期为，
令，，
解得，，
故的单调递增区间为，．
（2）由恰好为函数的最大值可得，
即，
因为，所以，则．
在中，由，可得，
在中，由，可得，
所以．
在中，，
则可得，，
则．
因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
20．解：（1）由题意知，当时，，
两式相减，可得，即．
当时，，解得，
所以数列是等比数列，所以的通项公式为．
设等差数列的公差为d，
由，，
可得，解得，，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）可得，则，
所以，
则
．
21．解：（1）根据题意，，则，
若，则，解得．
（2）由（1）得，
则，则，
若的零点为，则，
变形可得，
设，则，则有，
而函数是区间上的增函数，必有，即，
则有．
22．（1）解：因为是R上的增函数，
所以，，所以，
设，则，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即．
（2）证明：依题意可得，
．
因为，是极值点，所以，即，
两式相减可得，
所证不等式等价于，即，
不妨设，
两边同除以可得，
令，，
则只需证明，即．
设，，
由（1）可知，当时，恒成立，
所以成立，即，
可得，所以，
所以在区间上单调递减，，
所以原不等式成立，即．