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专题三 中考新题型
【考情讲述】
二次函数数形结合综合题（解答题压轴题）一直以来都是全国各省必考题，因为它是初中阶段一个非常重要的知识模块.二次函数几乎可以与初中阶段的所有知识点综合进行考查，2021年的广东省卷、广州卷、深圳卷的最后一题都是二次函数综合题，且题目没有配图,这需要学生结合空间观念和模型思想作出图形,分类解答.考查了学生对二次函数的综合理解和应用能力.
【中考真题】
（2021·广东）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（－1，0），且对任意实数x，都有4x－12≤ax2＋bx＋c≤2x2－8x＋6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【例1】（2021·广州）已知抛物线y＝x2－（m＋1）x＋2m＋3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（－1，－1），F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
解:（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2－x＋3.
将x＝2代入，得y＝4－2＋3＝5.
∴点（2，4）不在抛物线上.
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】（2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
（2）由题意，得当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售出[100－2（x－50）]盒.
∴y＝(x－40)[100－2（x－50）]＝－2x2＋280x－8 000（50≤x≤65）.
配方，得y＝－2（x－70）2＋1 800.
∵－2<0，∴当x＜70时，y随x的增大而增大.
∴当x＝65时，y有最大值，y最大值＝－2×（65－70）2＋1 800＝1 750．
答：y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000（50≤x≤65），且最大利润为1 750元．
2.（2021·锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2（万元/t），加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售
价y（万元/t）与原料的质量x（t）
之间的关系如图Z22－3－2所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入－总支出）．
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第二十二章 二次函数
第11课时 二次函数
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有______________确定的值与其对应，那么就说x是______________，y是x的______________.
唯一
自变量
函数
2. 已知函数y＝(m－1)xm2＋3是关于x的一次函数，则m的值为______________．
－1
探究新知
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，______________是二次项系数，______________是一次项系数，常数项是______________.
知识点一 二次函数的定义
a
b
c
1. 已知二次函数y＝1－5x＋3x2，则二次项系数a＝______________，一次项系数b＝______________，常数项c＝______________.
2. 如果y＝(m＋1)x2＋mx－1是关于x的二次函数，那么m满足的条件是____________________.
3
－5
1
m≠－1
知识点二 函数自变量的取值范围
(1)对于整式：自变量的取值范围是_________________；
(2)对于分式：自变量的取值应使得分母______________；
(3)对于二次根式：自变量的取值应使得被开方式为______________；
(4)对于实际问题：函数关系式有意义且实际问题有意义.
全体实数
不为0
非负数
全体实数
x≥－1
r>0
知识点三 通过实例体会二次函数
认真审题，利用有效信息列出包含自变量和因变量之间的____________________，再整理变形化成二次函数的一般形式，最后确定自变量的____________________.
等量关系
取值范围
4. 已知直角三角形的两条直角边之和为8，其中一条直角边的长为x，面积为y，那么面积y与直角边的长x之间的函
数关系式是_______________________，直角边的长x的取值范围是____________________.
0课堂导练
A
D
2.（创新题）已知y＝（m－2）xn－1＋3是关于x的二次函数，则m______________，n______________．
≠2
＝3
全体实数
x≠3
x≥－1且x≠1
x≠2
全体实数
x>1
【例3】小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地，矩形面积S（单位：m2）随矩形一边长x（单位：m）的变化而变化.求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
思路点拨：由矩形的一边长为x m，周长为60 m，可求出另一边长，再根据矩形的面积公式可得S与x之间的函数关系式．
解：∵矩形的一边长为x m，周长为60 m，
∴另一边长为（30－x）m.
∴S＝x（30－x）＝－x2＋30x（0＜x＜30）．
4. 某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，则y与平均年增长率x之间的函数关系式是____________________.
y＝20x2＋40x＋20
5.（创新题）如图22－11－1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AC向点C以
2 cm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边BC向点B以4 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从点A，C同时出发，那么△PCQ的面积S(单位：cm2)随出发时间t(单位：s)如何变化？（写出函数关系式及t的取值范围）
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第二十二章 二次函数
第13课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
二次函数y＝3x2的对称轴是______________，顶点是______________，且当x＝0时，函数y有最______________值是______________.
y轴
（0，0）
小
0
探究新知
知识点一 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
函数 y＝ax2＋k（a>0） y＝ax2＋k（a<0）
图象 以k>0为例： 以k>0为例：
开口方向 _________________ _________________
顶点坐标 _________________ _________________
开口向上
开口向下
（0，k）
（0，k）
函数 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0）
对称轴 ________________ ________________
增减性 当x>0时，y随x的增大而____________； 当x<0时，y随x的增大而___________ 当x>0时，y随x的增大而___________；
当x<0时，y随x的增大而___________
最值 当x＝__________时，y有最___________值是____________ 当x＝_______时，y有最____________值是____________
y轴
y轴
增大
减小
减小
增大
0
小
k
0
大
k
下
y轴
减小
增大
最小值
－5
知识点二 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的关系
图象形状相同，只是位置不同：当k>0时，由抛物线y＝ax2向______________平移______________个单位长度得到y＝ax2＋k；当k<0时，由抛物线y＝ax2向______________平移______________个单位长度得到y＝ax2＋k.
上
k
下
｜k｜
3. 将抛物线y＝－x2向上平移1个单位长度得到抛物线__________________；将抛物线y＝2x2向下平移9个单位长度得到抛物线__________________.
y＝－x2＋1
y＝2x2－9
课堂导练
【例1】抛物线y＝－x2－1的图象大致是( )
思路点拨：由解析式中的a判断开口方向，k判断顶点坐标即可.
B
1. 抛物线y＝x2＋1的图象大致是( )
C
【例2】二次函数y＝3x2－3的图象开口向______________，顶点坐标为______________，对称轴为______________. 当x＞0时，y随x的增大而______________；当x＜0时，y随x的增大而______________. 因为a＝3＞0，所以y有最______________值，当x＝______________时，y的最______________值是______________.
上
(0，－3)
y轴
增大
减小
小
0
小
－3
思路点拨：先由解析式知顶点坐标和开口方向，后画出草图，利用数形结合的方法分析解决问题，或根据二次函数
y＝ax2＋k的图象性质直接作答.
抛物
下
y轴
(0，7)
增大
减小
0
大
7
（2）画图略.
（3）由图象，得当x＝0时，y最大值＝2．
思路点拨：（1）根据平移规律“上加下减”写出平移后的抛物线解析式；（2）根据抛物线解析式列函数对应值表，并作函数图象；（3）结合函数图象回答问题．
3. 将二次函数y＝－3x2的图象向下平移5个单位长度后，所得到的函数的解析式是_____________________.
4. 若抛物线y＝ax2＋c的形状与y＝2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，－3)，则该抛物线的函数表达式是_____________________.
y＝－3x2－5
y＝－2x2－3
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第二十二章 二次函数
第23课时 实际问题与二次函数（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 一件衣服的进价是48元，出售以后的利润率为50%，则该件衣服的售价是______________元．
72
2. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图22－23－1所示，则方程x2＋bx＋c＝0的解是_____________________．
x1＝－1，x2＝3
探究新知
审清题意，记住公式：
利润＝售价－______________
利润率＝______________×100%
总利润＝单个商品的利润×______________通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题.
知识点一 利润问题——常规型
进价
销售量
1.（人教九上P51习题2改编）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为______________元．
25
知识点二 利润问题——借助图象或表格
先根据图象或表格列出利润与自变量之间的函数关系式，再结合______________的取值范围，利用二次函数的性质求解.
自变量
2. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x(元/件)与日销售量y(件)之间的关系（满足一次函数）如下表：
x/(元·件－1) 15 18 20 22 ...
y/件 250 220 200 180 ...
按照这样的规律可得，日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式是___________________________________.
w＝－10x2＋500x－4 000
知识点三 拱桥问题
方法步骤：
(1)建立________________________，找出函数模型；
(2)把已知条件转化为点的______________；
(3)求出函数______________和自变量的取值范围；
(4)由二次函数的性质去分析解决问题.
平面直角坐标系
坐标
解析式
3. 如图22－23－2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，建立平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析
式是_________________________.
课堂导练
【例1】新年前夕，某超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．
（1）要想平均每天在销售服装上盈利1 750元，那么每套应降价多少元？
（2）商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？最大利润是多少？
解：（1）设每套降价x元.
由题意，得（45－x）（30＋2x）＝1 750.
解得x1＝10，x2＝20.
∵尽快减少库存，∴x＝20.
答：每套应降价20元.
（2）设总利润为w元.由题意，得w＝（45－x）（30＋2x）＝－2（x－15）2＋1 800.
∵－2<0，
∴当x＝15时，w有最大值，w最大值＝1 800.
答：商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元，最大利润为1 800元．
思路点拨：（1）由总利润＝每件利润×销售件数，列方程即可解得答案；（2）列出函数关系式，再由二次函数的性质解答即可．
1. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．据市场调查：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每月可获利1 800元？
（3）当销售单价为多少元时，每月获得利润最大？最大利润是多少？
（2）由题意，得（x－30）（－2x＋200）－450＝1 800.
解得x1＝55，x2＝75（不合题意，舍去）.
答：当销售单价为55元时，每月可获利1 800元．
（3）设每月获得的利润为w元.
由题意，得w＝（x－30）（－2x＋200）－450＝－2（x－65）2＋2 000.
∵－2＜0，
∴当x≤65时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，w有最大值，w最大值＝－2×（60－65）2＋
2 000＝1 950.
答：当销售单价为60元时，每月获得利润最大，最大利润是1 950元．
【例2】外出佩戴医用口罩能有效预防新型冠状病毒．某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为1.8元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，相关信息如下：
销售单价 x/（元·件－1） ... 2 2.5 3 4 ...
每月销售量 y/万件 ... 6 5 4 2 ...
（1）根据y与x的变化规律，求出一次函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润为4.4万元？
（3）如果公司每月的制造成本不超过5.4万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
（2）设总利润为z万元.
由题意，得z＝y（x－1.8）＝（－2x＋10）·（x－1.8）＝－2x2＋13.6x－18.
当z＝4.4时，－2x2＋13.6x－18＝4.4.
解得x1＝4，x2＝2.8.
答：当销售单价为4元或2.8元时，公司每月获得的利润为4.4万元.
（3）∵公司每月的制造成本不超过5.4万元，每件制造成本为1.8元，
∴1.8(－2x＋10)≤5.4.解得x≥3.5.
∵z＝－2x2＋13.6x－18＝－2（x－3.4）2＋5.12，
∴当x≥3.5时，z随x的增大而减小.
∴当x＝3.5时，z有最大值，z最大值＝－2×（3.5－3.4）2＋5.12＝5.1．
答：当销售单价为3.5元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为5.1万元．
思路点拨：（1）通过表中数据，设出y与x的函数解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据利润＝销售量×（销售单价－成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z＝4.4，求出x的值；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过5.4万元，以及每件制造成本1.8元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
2. 2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图22－23－3所示，设每月获得的利润为w（元）．
（1）求出每月的销售量y（件）与销售
单价x（元）之间的函数关系式；
（2）这种文化衫销售单价定为多少元
时，每月的销售利润最大？最大利润是
多少元？
（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？
（2）由题意，得w＝（x－40）y＝（x－40）·（－10x＋
1 000）＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10（x－70）2＋
9 000.
∵－10＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为9 000.
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9 000元.
（3）由（2）得当x＜70时，w随x的增大而增大.
∵x≤60，
∴当x＝60时，w有最大值，w最大值＝－10×（60－70）2＋
9 000＝8 000.
答：销售单价应定为60元，每月的最大利润为8 000元．
【例3】如图22－23－4是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，
并求出抛物线的解析式；
（2）当水面下降1 m时，此时水面
宽度是多少米？
解：（1）建立平面直角坐标系如答图22－23－1所示.
由题意，得顶点坐标为（0，0）.
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0）.
把点（－2，－2）代入，得－2＝4a.
解得a＝－0.5 .
∴抛物线的解析式为y＝－0.5x2.
思路点拨：（1）根据题目建立平面直角坐标系，再用待定系数法求二次函数的解析式；（2）通过把y＝－3代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
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第二十二章 二次函数
第20课时 二次函数与一元二次方程（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 一次函数y＝－x＋2的图象与x轴的交点坐标是______________．
（2，0）
2. 一元一次方程－x＋2＝0的根为______________．
x＝2
探究新知
(1)当x＝0时，y＝c， 则抛物线与y轴的交点坐标为______________；
(2)当y＝0时，ax2＋bx＋c＝0，解此方程求出两根x1，x2，则抛物线与x轴的交点坐标为_____________________.
知识点一 求抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点
(0，c)
(x1，0)，(x2，0)
1. 二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标是______________________，与y轴的交点坐标是_________________________.
(2，0)，(－3，0)
(0，－6)
知识点二 二次函数与一元二次方程的解
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的______________，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解.
横坐标
2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图22－20
－1所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________________________.
x1＝3，x2＝－1
知识点三 判断抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点
个数
(1)当抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0有_______________________的实数根；
(2)当抛物线与x轴有且只有一个交点时，b2－4ac＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有__________________的实数根；
(3)当抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0，方程ax2＋bx＋c＝0______________实数根.
两个不相等
两个相等
无
3. 若二次函数y＝mx2＋x＋1的图象与x轴只有一个交点，
则m的值是______________.
4. 抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴无交点，则b2与4c的大小关系是______________.
b2＜4c
知识点四 二次函数与一元二次方程关系的综合运用
解决二次函数与面积相结合问题的关键是用二次函数的图象与x轴交点的横坐标表示出______________的长，
即d＝｜x2－ x1｜.
线段
5. 已知二次函数y＝x2－4x－5的图象与x轴交于A，B两点，顶点为点C，则△ABC的面积为______________.
27
课堂导练
【例1】抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是_________，
与x轴的交点坐标是_____________________________.
思路点拨：分别将x＝0，y＝0代入函数解析式求解．
（0，2）
（1，0），（2，0）
1. 抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是_____________，与x轴的交点坐标是_________________．
（0，－3）
【例2】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－20－2所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为_________________.
思路点拨：抛物线与x轴的交点的横坐标，即为一元二次方程的根.
x1＝－1，x2 ＝4
2. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为
_________________________.
（－1，0），（3，0）
【例3】抛物线y＝x2－4x＋5与x轴的交点个数为( )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无法确定
思路点拨：令x2－4x＋5＝0，求出Δ的值，判断出其符号即可.
A
3. 若抛物线y＝x2＋4x＋m与x轴有交点，求m的取值范围.
解：∵抛物线y＝x2＋4x＋m与x轴有交点，
∴关于x的一元二次方程x2＋4x＋m＝0有解.
∴Δ＝42－4m≥0，即m≤4.
∴m的取值范围是m≤4.
4
4. (创新题)抛物线y＝－（x－1）2－m2＋4m与x轴的两个交点分别为C，D，顶点为P．当△PCD的面积最大时，m＝______________．
2
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专题二 中考重难点
D
【例2】（2021·江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图Z22－2－2所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D
A
2.（2021·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A
二、二次函数与一元二次方程
【例3】（2021·铜仁）已知抛物线y＝a（x－h）2＋k与x轴有两个交点A（－1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x－h－m）2＋k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是( )
A．5 B．－1
C．5或1 D．－5或－1
C
【对接中考】
3.（2021·赤峰）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x ... -1 0 1 2 3 ...
y ... 3 0 -1 m 3 ...
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
C
三、求二次函数的解析式
【例4】（2021·杭州）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2＋bx＋1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由;
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p＋q＝2，求证：P＋Q＞6．
（2）解：当a＝1，b＝3时，y＝x2＋3x＋1.
∵Δ＝32－4×1×1＝5＞0，
∴函数y＝x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．（答案不唯一）
（3）证明：由题意，得P＝p2＋p＋1，Q＝q2＋q＋1.
∴ P＋Q＝p2＋p＋1＋q2＋q＋1＝p2＋q2＋4＝（2－q）2＋q2＋4＝2（q－1）2＋6≥6.
由条件p≠q，得q≠1．
∴ P＋Q＞6．
【对接中考】
4.（2021·温州）已知抛物线y＝ax2－2ax－8（a≠0）经过点（－2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线l交抛物线于点A（－4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
解：（1）把点（－2，0）代入y＝ax2－2ax－8，
得0＝4a＋4a－8.
解得a＝1.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－8.
∵y＝x2－2x－8＝（x－1）2－9，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－9）．
（2）把A(－4，m)代入y＝x2－2x－8，
得m＝（－4）2－2×（－4）－8＝16.
把B(n，7)代入y＝x2－2x－8，得7＝n2－2n－8.
解得n1＝5，n2＝－3.
∵n为正数，∴n＝5.∴A（－4，16），B（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，－9），
∴抛物线的顶点在直线l下方.
∴－4＜xP＜5，－9≤yP＜16．
【对接中考】
5.（2021·泰州）已知二次函数y＝－x2＋（a－1）x＋a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝－（x－p）（x－a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m＋3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的取值范围．
（2）∵y＝－x2＋（a－1）x＋a＝－[x2－（a－1）x－a]＝－（x＋1）（x－a），
∴p＝－1.
五、实际问题与二次函数
【例6】（2021·鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元.为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价）.若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）由题意，得y＝20＋2（70－x）.
整理，得y＝－2x＋160.
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝－2x＋160（30≤x＜70）.
（2）设销售这款文化衫每天所获得的利润为w元.
由题意，得w＝（x－30－2）y＝（x－32）·（－2x＋160）＝－2x2＋224x－5 120.
整理，得w＝－2（x－56）2＋1 152.
∵－2＜0，∴当x＝56时，w有最大值为1 152.
答：当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1 152元．
【对接中考】
6.（2021·青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30 m处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1 s时，它们距离地面都是35 m，在6 s时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（m）与小钢球运动时间x（s）之间的函数关系如图Z22－2－4所示；小钢球离地面高度y2（m）与它的运动时间x（s）之间的函数关系如图Z22－2－4中抛物线．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1 s后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
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第二十二章 二次函数
第14课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 已知二次函数y＝x2＋1，当x＜0时，y随x的增大而______________.（填“增大”或“减小”）
减小
2. 抛物线y＝－2x2＋4可由抛物线y＝－2x2向______________平移______________个单位长度得到.
上
4
探究新知
知识点一 二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
函数 y＝a（x－h）2（a>0） y＝a（x－h）2（a<0）
图象 以h>0为例： 以h>0为例：
开口方向 _________________ _________________
顶点坐标 _________________ _________________
开口向上
开口向下
（h，0）
（h，0）
函数 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0）
对称轴 ________________ ________________
增减性 当x_________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小 当x________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小
最值 最值当x＝________时，y有最_______值是____________ 当x＝_______时，y有最_______值是_______
直线x＝h
直线x＝h
>h
>h
h
小
0
h
大
0
上
直线x＝5
(5，0)
2. 已知二次函数y＝2（x＋5）2.
（1）其图象是______________，开口方向______________，对称轴是_________________，顶点坐标是______________；
（2）当x＝___________时，y有最______________值是______________；当x______________时，y随x的增大而增大.
抛物线
向上
直线x＝－5
（－5，0）
－5
小
0
＞－5
知识点二 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
图象形状相同，只是位置不同：当h>0时，由抛物线y＝ax2向______________平移______________个单位长度得到y＝a(x－h)2；当h<0时，由抛物线y＝ax2向______________平移______________个单位长度得到y＝a(x－h)2.
右
h
左
｜h｜
y＝(x＋2)2
课堂导练
【例1】二次函数y＝(x－2)2的图象大致是( )
B
思路点拨：由解析式中的a判断开口方向，h判断对称轴即可.
1. 二次函数y＝－5(x＋1)2的图象大致是( )
A
上
(－2，0)
直线x＝－2
＜－2
－2
小
0
思路点拨：抓住顶点坐标与a的值判断开口方向，可以画出草图，对照图象即可回答上面的问题.
2. 抛物线y＝－(x－1)2的开口______________，对称轴是______________，顶点坐标是__________________；当 x___________时，y随x的增大而减小；当x____________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y的最__________值是______________.
向下
直线x＝1
(1，0)
＞1
＜1
1
大
0
3. 已知某抛物线的开口向上，对称轴平行于y轴，顶点坐标是（－3，0），写出一个符合条件的抛物线解析式：_________________________________. 对于该抛物线，当x＝__________时，y有最_________值是__________.
y＝（x＋3）2（答案不唯一）
－3
小
0
－4
－6
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第二十二章 二次函数
第22课时 实际问题与二次函数（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 正方形的边长是x，面积是S，请写出S与x的关系式__________________．
S＝x2
2. 已知矩形周长为16 cm，它的一边长为 x cm，面积为
y cm2，则y与x之间函数解析式为____________________．
y＝－x2＋8x
探究新知
方法步骤：
(1)利用数形结合思想与函数思想，确定函数______________和自变量的___________________；
(2)求出抛物线的顶点、与x轴的交点或其他点的坐标；
(3)由二次函数的性质去分析解决问题.
知识点一 运动路径问题
解析式
取值范围
1. 如图22－22－1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，则水管应为________m.
2.25
知识点二 围栏问题
方法步骤：
(1)确立自变量以及自变量的取值范围；
(2)根据几何图形形状列出面积与自变量之间的_____________________；
(3)用______________________求出最值以及取得最值时相应的自变量的值.
函数关系式
公式法或配方法
2. 如图22－22－2，利用成直角的墙角（墙足够长），用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）与它一边长a（m）的函数关系式是
_______________________________，
面积S的最大值是______________m2.
S＝－a2＋10a
25
知识点三 动点面积问题
方法步骤：
(1)以“静”制“动”，找出图形变化过程中的不变量与变量的关系，构建函数模型；
(2)确定二次函数的______________，必要时进行分类讨论；
(3)根据二次函数的最大值或最小值的特点来解决问题.
解析式
3. 如图22－22－3，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的
速度向左运动，最终点A与点M重合.
那么经过___________s，重叠部分
的面积等于8 cm2.
8
课堂导练
【例1】如图22－22－4，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10 m远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2 m（击球点、落地点、球洞三点共线），球在空中最高
处达3.2 m．
（1）求表示球飞行的高度y（单位：m）与表示球飞出的水平距离x（单位：m）之间的函数关系式；
（2）当球的飞行高度不低于3 m时，求x的取值范围．
解：（1）由题意知（0，0），（8，0），（4，3.2）
在抛物线上，
∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax（x－8）（a≠0）.
将（4，3.2）代入，得3.2＝a×4×（4－8）.
解得a＝－0.2.
∴y＝－0.2x（x－8）＝－0.2x2＋1.6x.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－0.2x2＋1.6x.
（2）令y＝3，得3＝－0.2x2＋1.6x.
∴x2－8x＋15＝0.
解得x1＝3，x2＝5.
∴当球的飞行高度不低于3 m时，x的取值范围是3≤x≤5．
思路点拨：（1）由题意得到抛物线经过的坐标，再根据坐标得出抛物线的解析式；（2）通过抛物线的解析式以及图象解决问题.
（1）建立如图22－22－5所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中；
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？
【例2】（人教九上P57复习题7改编）如图22－22－6，张大叔要围成一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长30 m），另三边用总长为80 m的篱笆恰好围成的鸡场，设BC边的长为x m，长方形ABCD的面积为S m2.
（1）求S与x的关系式及x的取值范围；
（2）求养鸡场的最大占地面积．
2. 王叔叔想要在院子里修建一个矩形猪舍（如图22－22－7），猪舍一面靠墙，墙长13 m，另外三面用27 m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1 m宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90 m2？
（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整
数），猪舍面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设AB＝x m，则BC＝27＋1－2x＝（28－2x）m.
由题意，得x（28－2x）＝90.
整理，得x2－14x＋45＝0.
解得x1＝5，x2＝9.
∵墙长13 m，∴0<28－2x≤13.
解得7.5≤x<14.
∴AB＝9 m.
答：所围矩形猪舍的AB边为9 m时，猪舍面积为90 m2.
（2）设猪舍面积为S m2.
由题意，得S＝x（28－2x）＝－2x2＋28x＝－2（x－7）2＋98.
∵－2＜0，∴当7.5≤x<14时，S随x的增大而减小.
∵x为整数，
∴当x＝8时，S有最大值，S最大值＝－2×（8－7）2＋98＝－2＋98＝96.
答：所围矩形猪舍的AB边为8 m时，猪舍面积最大，最大面积是96 m2．
【例3】（人教九上P41习题8改编）如图22－22－8，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以 2 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s.
（1）AP＝______________cm，
BP＝______________cm，
BQ＝______________cm；
2t
（12－2t）
4t
（2）当t为何值时，△PBQ的面积为32 cm2？
（3）当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）S＝－4t2＋24t＝－4（t－3）2＋36.
∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2．
思路点拨：（1）根据题意即可得出答案；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可.
3. 如图22－22－9，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿BA向点A移动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度，沿CB向点B移动，连接QP，QD，PD. 若两个点同时运动的时间为
x s(0＜x≤2)，解答下列问题：
(1)设△QPD的面积为S，用含x的函
数关系式表示S；
(2)当x为何值时，S有最小值？并求
出最小值.
(2)由(1)得当x＝1.5时，S有最小值为3.75.
谢 谢(共27张PPT)
专题四 核心素养
1．（模型思想、应用意识）（人教九上P49改编）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图Z22－4－1，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）
之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，
则喷出水珠的最大高度是______________m．
3
2.（几何直观、模型思想）（2021·黑龙江）如图Z22－4－2，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
3．（几何直观、模型思想、创新意识）（人教九上P57复习题9改编）如图Z22－4－3，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH，若∠A＝60°，AB＝a．
（1）设BE＝x，求HE的长度；（用含a，
x的代数式表示）
（2）求矩形EFGH面积的最大值．
解：（1）设BE＝x，则BF＝DG＝DH＝x．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝a.
∴AH＝AE＝a－x.
∵∠A＝60°，
∴△AHE为等边三角形.
∴HE＝a－x .
4．（推理能力、模型思想、创新意识）某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测．从上午8∶00起第x分钟等候检测的居民人数为y人，且y与x成二次函数关系（如图Z22－4－4），如果没有开始检测，那么在第10分钟时，等候检测的人数会达到最大值150人．
（1）求在0～10 min内，y与x之间的函数解析式；
（2）若8∶00起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，则检测开始后，第几分钟等候检测的居民人
数最多？最多是多少人？
解：（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为（10，150）.
∴设0～10 min内，y与x的函数解析式为y＝a（x－10）2＋150（a≠0）.
将（0，50）代入，得50＝a（0－10）2＋150.
解得a＝－1.
∴y＝－（x－10）2＋150＝－x2＋20x＋50.
∴在0～10 min内，y与x的函数解析式为y＝－x2＋20x＋50.
（2）∵共设两个检测岗，每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，
∴每分钟共有10个居民检测完毕可离开.
∴第x分钟等候检测的居民人数为y＝－x2＋20x＋50－10x＝－（x－5）2＋75.
∵－1<0，∴当x＝5时，y有最大值为75．
答：检测开始后，第5分钟等候检测的居民人数最多，为75人．
5.（推理能力、模型思想、应用意识）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图Z22－4－5），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线解
析式和篮球在运动中离地面的最
大高度；
（2）若篮筐离地面3.05 m，离运动员投篮处水平距离为4.2 m，则篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
（2）不能.理由如下：
∵篮筐离地面3.05 m，
∴3.05＝－0.2（x－2.5）2＋3.5.
解得x1＝1，x2＝4.
∴当篮球在运动中离地面的高度为3.05 m时，水平距离为1 m或4 m，并非4.2 m.
∴要使得篮球投进篮筐，则抛物线要向右平移0.2 m.
答：抛物线向右平移0.2 m，即运动员应向前移动0.2 m再投篮，刚好能使篮球投进篮筐.
6．（模型思想、应用意识）（2021·临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m），速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图Z22－4－6所示．
（1）当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
时间 x/天 1 3 6 10 ...
日销量 m/kg 142 138 132 124 ...
（1）求m与x的函数关系式；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1 kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，并且发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
（2）设日销售利润为w元.
①当1≤x≤20且x为整数时，w＝（0.25x＋30－20）（－2x＋144）＝－0.5x2＋16x＋1 440＝－0.5（x－16）2＋1 568.
∵－0.5<0，
∴当x＝16时，日销售利润有最大值，最大日销售利润为1 568元；
②当20＜x≤40且x为整数时，
w＝（35－20）（－2x＋144）＝－30x＋2 160.
∵－30<0，
∴当x＝21时，日销售利润有最大值，最大日销售利润w＝－30×21＋2 160＝1 530.
∵1 568>1 530，
∴第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1 568元.
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为p.
由题意，得p＝－0.5x2＋16x＋1 440－（－2x＋144）n＝－0.5x2＋（16＋2n）x＋1 440－144n.
∴其对称轴为直线x＝16＋2n.
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x为整数，
∴只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5.
∴16＋2n＞19.5，即n＞1.75.
又∵n＜4，
∴n的取值范围是1.75＜n＜4.
谢 谢(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
第12课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
如图22－12－1，画出一次函数y＝x＋1的
图象．
x
y＝x＋1
略.
探究新知
可用描点法分______________、______________、______________三步画出，其函数图象是一条______________.
知识点一 二次函数图象的画图步骤
列表
描点
连线
抛物线
知识点二 二次函数y＝ax2的图象和性质
函数 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0）
图象
开口方向 _________________ _________________
顶点坐标 _________________ _________________
开口向上
开口向下
（0，0）
（0，0）
函数 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0）
对称轴 ________________ ________________
增减性 当x>0时，y随x的增大而____________； 当x<0时，y随x的增大而___________ 当x>0时，y随x的增大而___________；
当x<0时，y随x的增大而______________
最值 当x＝__________时，y有最___________值是____________ 当x＝_______时，y有最______________值是______________
y轴
y轴
增大
减小
减小
增大
0
小
0
0
大
0
如图22－12－2，在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象.
x
y=x2
y=-x2
画图略.
根据所画图象，探究二次函数y＝－x2的性质.
（1）该图象的开口方向______________，对称轴是______________，顶点是______________；
（2）当x＜0时，y随x的增大而______________；
当x＞0时，y随x的增大而______________；
当x＝0时，y有最______________值是______________．
向下
y轴
（0，0）
增大
减小
大
0
课堂导练
【例1】在图22－12－3中画出y＝5x2的图象.
x
y=5x2
略.
思路点拨：可用描点法分列表、描点、连线三步画出，要用平滑曲线来连接各点．
1. 在图22－12－4中画出y＝－3x2的图象.
x
y=-3x2
略.
向上
y轴
(0，0)
增大
＝0
小
0
向下
y轴
(0，0)
减小
＝0
大
0
【例3】若二次函数y＝ax2的图象过点(1，－2)，则该函数的解析式是______________.
思路点拨：将已知点的坐标代入二次函数解析式中求出a值，此题即可得解.
y＝－2x2
3. (创新题)已知点P(2，8)在二次函数y＝ax2的图象上，则这个二次函数的解析式为______________.
y＝2x2
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第二十二章 二次函数
第19课时 用待定系数法求二次函数解析式
——顶点式和交点式
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 抛物线y＝ax2＋2经过点（－2，6），那么a＝__________．
1
2. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点（3，0），（－1，0），则该二次函数的解析式为_______________．
y＝－x2＋2x＋3
探究新知
方法步骤：(1)设二次函数的解析式为y＝_______________
(a≠0)；(2)代入顶点坐标与其他已知条件列出一元一次方程；(3)解出待定系数a；(4)回代写出解析式.
知识点一 利用顶点式求二次函数的解析式
a(x－h)2＋k
1. 若二次函数顶点坐标为(2，3)，且过点(1，5)，则该二次函数的解析式为_____________________________.
y＝2(x－2)2＋3
知识点二 利用交点式求二次函数的解析式
方法步骤：(1)设二次函数的解析式为y＝______________
(a≠0)；(2)代入抛物线与x轴两个交点的横坐标与另一个点的坐标，列出一元一次方程；(3)解出待定系数a；(4)回代写出解析式，并化为一般式.
a(x－x1)(x－x2)
2. 已知二次函数图象经过点(－1，0)，(1，－8)和(3，0)，则该二次函数的解析式为____________________________.
y＝2x2－4x－6
课堂导练
【例1】已知二次函数的图象以点A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)， 求该函数的关系式.
解：由顶点A(－1，4)，可设二次函数的关系式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0).
∵二次函数的图象过点B(2，－5)，
∴－5＝a(2＋1)2＋4.解得a＝－1.
∴该函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋4.
思路点拨：已知抛物线的顶点坐标，则可设出顶点式，然后把点B代入求出a的值，最后回代写出关系式即可．
【例2】已知二次函数图象的对称轴为直线x＝3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式.
思路点拨：由题目的条件可以得此二次函数的顶点坐标，再利用顶点试求解即可．
2. 已知抛物线过点（1，9），当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，且函数的最小值为1. 求该二次函数的解析式.
解：设该二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1.
将（1，9）代入，得a(1－3)2＋1＝9.
解得a＝2.
∴该二次函数的解析式为y＝2(x－3)2＋1.
【例3】已知抛物线经过点A（－4，0），B（1，0），C（－2，6），求这个二次函数的解析式.
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)(a≠0).
将C(－2，6)代入，得a(－2＋4)(－2－1)＝6.
解得a＝－1.
∴y＝－(x＋4)(x－1)＝－x2－3x＋4.
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4.
思路点拨：根据给出的交点坐标，可设出交点式，再将另一个点代入交点式求出a的值，最后将a回代再将交点式化为一般式即可．
3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，求该抛物线的解析式并写出它的对称轴和顶点坐标.
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0).
把C(0，3)代入，得3＝－3a.
解得a＝－1.
∴二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，4).
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章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
2. 会画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.
3. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.
4. 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
课程标准
二次函数的图象和性质
知识导航
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的性质列表如下：
a的符号 a＞0 a＜0
图象
a的符号 a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴
顶点坐标
增减性
a的符号 a＞0 a＜0
最值
二次函数的解析式 有三种常见形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）； (2)顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； (3)交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）
二次函数与一元二次方程
b2－4ac的取值 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ ax2＋bx＋c（a≠ 0）的图象与x 轴的交点 a>0
a＜0
b2－4ac的取值 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根
实际问题与 二次函数 (1)利用二次函数解决几何图形中的最值问题；
(2)利用二次函数解决利润问题；
(3)构建二次函数模型解决实际问题
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第二十二章 二次函数
第18课时 用待定系数法求二次函数解析式
——一般式
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 已知正比例函数图象经过点A（2，－6），
求正比例函数的解析式．
解：设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0).
把A（2，－6）代入，得－6＝2k.
解得k＝－3.
∴正比例函数的解析式为y＝－3x.
2. 已知一次函数经过点（1，－1）和（0，3），求一次函数的解析式．
探究新知
方法步骤：
(1)设二次函数的解析式为y＝__________________(a≠0)；
(2)代入点的坐标列出方程(组)；
(3)求出待定系数；
(4)回代写出解析式.
知识点一 已知对称轴是y轴，求解析式
ax2或ax2＋k
1. 若二次函数y＝ax2的图象经过点(－1，2)，则二次函数y＝ax2的解析式是______________.
y＝2x2
知识点二 已知a，b，c中任意常数，求解析式
方法步骤：(1)先设二次函数的______________；(2)代入点的坐标列出方程（组）；(3)解出未知系数；(4)回代写出解析式.
一般式
2. 若二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点(－1，0)，
(3，0)，则此二次函数的解析式为y＝__________________.
x2－2x－3
知识点三 已知三点，求解析式
方法步骤：(1)设二次函数的解析式为y＝______________ (a≠0)；(2)代入三点坐标列出三元一次方程组；(3)解出待定系数a，b，c；(4)回代写出解析式.
ax2＋bx＋c
3. 已知二次函数的图象过点A（0，－1），B（1，1），C（－1，2），求此二次函数的解析式．
课堂导练
【例1】已知二次函数y＝ax2经过点(4，－4)，求这个二次函数的解析式.
思路点拨：将点的坐标代入y＝ax2，即可求出a值.
1. 已知二次函数y＝ax2－2的图象经过点(1，－4)，求这个二次函数的解析式.
解：把(1，－4)代入y＝ax2－2，得a－2＝－4.
解得a＝－2.
∴这个二次函数的解析式为y＝－2x2－2.
【例2】已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点
A（0，4）和B（1，－2），求此函数解析式.
思路点拨：将点A（0，4）与B（1，－2）代入解析式求解可得.
2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)和点B(4，3)，求抛物线的解析式和顶点坐标.
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
思路点拨：把x＝0，y＝1；x＝－1，y＝6；x＝1，y＝0分别代入y＝ax2＋bx＋c得到关于a，b，c的三元一次方程组，再解方程组求出a，b，c，最后回代得出二次函数的解析式.
3. 已知二次函数的图象经过（－1，0），（0，3），
（2，3）三点．求这个二次函数的解析式.
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第二十二章 二次函数
第17课时 用公式法求抛物线y＝ax2＋bx＋c
的顶点坐标和对称轴
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 将抛物线y＝x2－6x＋5化为顶点式可得
到__________________________________，该抛物线的开口_____________，顶点坐标是______________，对称轴是______________.当x______________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小；当x____________时，y有最_________值是______________.
y＝（x－3）2－4
向上
（3，－4）
直线x＝3
>3
<3
＝3
小
－4
2. 将抛物线y＝－2x2－8x＋3化为顶点式可得到y＝_______________________________，该抛物线的开口______________，顶点坐标是____________________，对称轴是_____________________.当x______________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小；当x______________时，y有最______________值是______________.
－2（x＋2）2＋11
向下
（－2，11）
直线x＝－2
<－2
>－2
＝－2
大
11
探究新知
知识点一 用公式法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和
对称轴
1. 利用公式法求得二次函数y＝－3x2＋6x－1的对称轴为______________，顶点坐标为______________．
直线x＝1
（1，2）
知识点二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的几何变换
先用______________法或______________法求出抛物线的顶点坐标，再根据抛物线的平移规律进行移动.
公式
配方
2. 在平面直角坐标系内，将抛物线y＝x2－2x＋3的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后，图象对应的二次函数解析式为________________________________________.
y＝(x＋2)2＋7(或y＝x2＋4x＋11)
课堂导练
【例1】用公式法求二次函数y＝－2x2＋4x－1的图象的顶点坐标.
1. 用公式法求抛物线y＝－2x2－6x＋7的开口方向、顶点坐标和对称轴.
【例2】将抛物线y＝x2＋4x－2先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，求平移后抛物线的解析式、对称轴及顶点坐标.
解：y＝x2＋4x－2＝x2＋4x＋4－4－2＝（x＋2）2－6，
∴该抛物线先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝（x－2）2－9.
∴平移后抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，－9）.
思路点拨：先将抛物线化为顶点式（可用配方法或公式法），再根据“上加下减，左加右减”的原则得到新抛物线解析式，从而得到对称轴和顶点坐标．
2. 将抛物线y＝－3x2＋6x＋5先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后的解析式.
【例3】若抛物线y＝x2＋2mx＋m的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的解析式.
3. 抛物线y＝x2＋(m－3)x的对称轴是直线x＝－2，则m＝______________.
4. 抛物线y＝3x2＋mx＋n的顶点为（－1，－4），则m＝______________，n＝______________.
7
6
－1
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第二十二章 二次函数
第16课时 将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为
y＝a(x－h)2＋k的形式
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
直线x＝－4
（－4，－6）
3
36
6
探究新知
知识点一 将“a＝1”型的二次函数一般式化成y＝a(x－h)2 ＋k的形式
1. 配方：y＝x2＋8x＋1
＝x2＋8x＋________－_______＋1
＝（x＋_______）2－_______.
16
16
4
15
知识点二 将“a≠1”型的二次函数一般式化成
y＝a(x－h)2＋k的形式
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
＝2(x－______________)2－______________.
1
1
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－6x－3＝x2－6x＋9－9－3＝(x－3)2－12，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（3，－12），对称轴为直线x＝3.
思路点拨：注意这里的配方法是在等号右边同“加”同“减”，这与解一元二次方程中的配方法略有不同，不可混淆.
1. 利用配方法将抛物线y＝x2－8x化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式.
2. 利用配方法将抛物线y＝x2＋3x－1化为顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
【例3】利用配方法将抛物线y＝－2x2＋4x＋3化为顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－2x2＋4x＋3＝－2（x2－2x＋1－1）＋3＝－2（x－1）2＋5，
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1.
思路点拨：对于二次项系数a≠1时，在配方时先将二次项和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
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第二十二章 二次函数
第21课时 二次函数与一元二次方程（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图
象如图22－21－1所示，对称轴为直
线x＝－1，与x轴的一个交点为（1，0），则方程ax2＋bx＋c＝0的解为_____________________________．
x1＝1，x2＝－3
2. 抛物线y＝x2＋8x－4与直线y＝5的交点坐标是
___________________________________．
（1，5），（－9，5）
探究新知
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的x的取值范围就是不等式____________________的解集；抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的x的取值范围就是不等式_____________________的解集. 如果不等式中带有等号，则其解集也相应带有等号.
知识点一 利用抛物线与x轴的交点解决不等式问题
ax2＋bx＋c＞0
ax2＋bx＋c＜0
1. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象如图22－21－2所示，若y＞0，则x的取值范围是__________________________.
x＜－1或x＞3
知识点二 利用抛物线与直线的交点解决不等式问题
方法步骤：(1)弄清楚抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n的交点坐标；(2)抛物线在直线______________方的部分对应的x的取值，就是不等式y1＞y2的解集；抛物线在直线______________方的部分对应的x的取值，就是不等式y1＜y2的解集.
上
下
2. 如图22－21－3是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象，写出y2＜y1时，x的取值范围__________________________．
x＞1或x＜－2
知识点三 利用图象法求一元二次方程的近似根
方法步骤：(1)画出函数的图象；(2)观察图象，确定抛物线与__________轴交点的坐标；(3)交点的______________即为一元二次方程的解(或近似解).
x
横坐标
3. 小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图22－21－4所示的图象，观察得一个近似根为x1＝－4.5，则方程的另一个近似根为x2＝____________.(结果精确到0.1)
2.5
课堂导练
【例1】如图22－21－5是二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象，若y≥0，则x的取值范围是_____________________.
－1≤x≤5
思路点拨：先利用抛物线的轴对称性质求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据图象即可解决问题.
1. 根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象草图(如图22－21－6)回答下列问题：
(1)当______________________时，y＝0；
(2)当_____________________时，y＞0；
(3)当______________时，y＜0.
x＝－1或x＝2
x＜－1或x＞2
－1＜x＜2
【例2】如图22－21－7，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋b的交点A，B的坐标分别为(1，－3)，(6，1)，当y1＞y2时，x的取值范围是_________________________.
x＜1或x＞6
思路点拨：根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.
2. 如图22－21－8，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n交于A（0，1），B（3，0）．
（1）当x＝______________时，y1＝y2；
（2）当______________时，y1＞y2；
（3）当______________时，y1＜y2．
0或3
0＜x＜3
x＜0或x＞3
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－21－9所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解为( )
A. x1≈－2.1，x2≈0.1
B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9
D. x1≈－3，x2≈1
思路点拨：可利用图象的对称性解答.
B
3. 下表是用计算器探索函数y＝2x2－2x－10所得的数值，则方程2x2－2x－10＝0的一个近似解为( )
C
x -2.1 -2.2 -2.3 -2.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
A.x≈－2.15 B.x≈－2.21
C.x≈－2.32 D.x≈－2.41
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第二十二章 二次函数
第15课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 二次函数y＝3x2－3的图象开口向
______________，顶点是______________，对称轴是_________________，当x＞0时，y随x增大而___________；当x＜0时，y随x增大而____________；当x_____________时，y有最____________值是____________．
上
（0，－3）
直线x＝0
增大
减小
＝0
小
－3
2. 抛物线y＝－（x－1）2是由抛物线y＝－x2向______________平移______________个单位长度得到的．平移后的抛物线对称轴是 __________________，顶点坐标是______________，当x＝______________时，y有最______________值是______________．
右
1
直线x＝1
（1，0）
1
大
0
探究新知
知识点一 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
函数 y＝a（x－h）2＋k（a>0） y＝a（x－h）2＋k（a<0）
图象 以h>0，k>0为例： 以h>0，k>0为例：
开口方向 _________________ _________________
顶点坐标 _________________ _________________
开口向上
开口向下
（h，k）
（h，k）
函数 y＝a（x－h）2＋k（a>0） y＝a（x－h）2＋k（a<0）
对称轴 ________________ ________________
增减性 当x_________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小 当x________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小
最值 最值当x＝________时，y有最_______值是____________ 当x＝_______时，y有最_______值是_______
直线x＝h
直线x＝h
>h
>h
h
小
k
h
大
k
1. 对于二次函数y＝（x＋1）2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（－1，2）
D．当x≥－1时，y随x增大而减小
C
2. 已知二次函数y＝－3（x＋2）2－7.
（1）其图象开口方向______________，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________________；
（2）当x______________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小；
（3）当x______________时，y有最______________值是______________．
向下
（－2，－7）
直线x＝－2
＜－2
＞－2
＝－2
大
－7
知识点二 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系
图象形状相同，只是位置不同：将抛物线y＝ax2向右(左)平移______________个单位长度，再向上(下)平移______________个单位长度得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.
｜h｜
｜k｜
3. 抛物线y＝－x2向左平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为___________________.
y＝－(x＋8)2－3
课堂导练
【例1】在如图22－15－1所示直角坐标系中画出二次函数y＝（x－2）2－1的图象.
x
y＝(x－2)2－1
略.
思路点拨：根据二次函数解析式完成表格，并根据表格画出函数图象.
1. 根据左边所画图象回答：
抛物线y＝（x－2）2－1的开口向______________，顶点坐标为______________，对称轴为__________________.当x__________时，y有最____________值是______________；当x______________时，y随x的增大而增大.
上
（2，－1）
直线x＝2
＝2
小
－1
＞2
【例2】已知函数y＝－2(x＋2)2－3.
(1)开口方向：______________；
(2)对称轴：_____________________；
(3)顶点坐标：______________；
(4)当x______________时，y随x的增大而增大；
(5)当x______________时，函数y有最______________值是______________.
思路点拨：结合二次函数的图象和性质即可解答.
向下
直线x＝－2
(－2，－3)
＜－2
＝－2
大
－3
2. 抛物线y＝－2(x＋3)2－1的对称轴是______________，顶点坐标是___________________.当x______________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小；当x______________时，y有最______________值是______________.
直线x＝－3
（－3，－1）
<－3
>－3
＝－3
大
－1
【例3】已知二次函数为y＝2x2，将它向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后的函数解析式为__________________________．
思路点拨：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
y＝2（x＋1）2－3
3. 抛物线y＝3x2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A. y＝3(x＋3)2－2
B. y＝3(x＋3)2＋2
C. y＝3(x－3)2－2
D. y＝3(x－3)2＋2
D
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专题一 本章易错点例析
易错点1.对二次函数的概念不清晰
【例1】已知函数y＝（m＋3）xm2＋m－4＋（m＋2）x＋2．当函数是二次函数时，求m的值．
错解：根据二次函数的定义，得m2＋m－4＝2.
解得m＝2或m＝－3.
错解分析：不但应满足m2＋m－4＝2，还应满足m＋3≠0，两者缺一不可，上述解法因忽略了隐含条件m＋3≠0，而导致错误.
正解：依题意，得m2＋m－4＝2且m＋3≠0.解得m＝2.
1. 已知函数y＝（m2－1）x2－（m2－2m－3）x－m－1，当m为何值时，y是x的二次函数？当m为何值时，y是x的一次函数？
C
易错点3.不会用函数观点分析有关一元二次方程的问题
【例3】已知抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上，求该抛物线的解析式．
错解：根据题意，得Δ＝(a＋2)2－4×1×9＝0.
解得a＝4或a＝－8.
∴拋物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9.
错解分析：思维定式，看到坐标轴只想到x轴，忽视了y轴也是坐标轴，造成漏解.
3. 关于x的函数y＝（m2－1）x2－（2m＋2）x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
解：①当m2－1＝0，且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则Δ＝（2m＋2）2－4（m2－1）×2＝0.
解得m1＝3，m2＝－1（不合题意，舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
4. 如图Z22－1－2，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个矩形临时隔离区，隔离区的一边利用学校边墙（墙长4 m），其他三边用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的其中一边还要开一个1 m宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8 m．
（1）若隔离区面积为9 m2，则隔离区的长和宽分别是______________m和______________m；
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大面积为多少平方米？
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