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第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程（二）
【A组】（基础过关）
1. 某学校准备建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽多10 m，设花圃的宽为x m. 则可列方程为( )
A. x(x－10)＝200
B. 2x＋2(x－10)＝200
C. x(x＋10)＝200
D. 2x＋2(x＋10)＝200
C
2. 如图F21－9－1，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长为80 cm，宽为50 cm. 如果风景画的面积是3 500 cm2. 设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A. (80－x)(50－x)＝3 500
B. (80－2x)(50－2x)＝3 500
C. (80＋x)(50＋x)＝3 500
D. (80＋2x)(50＋2x)＝3 500
B
3.要用一条长为24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm 的直角三角形，则两直角边的长分别为__________________．
6 cm，8 cm
4. 如图F21－9－2，有一张矩形纸片，长为10 cm，宽为6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长. 设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为___________________________.
(10－2x)(6－2x)＝32
5. 某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1 500元. 若设店主把该商品每件售价降低x元，可列方程为
__________________________________.
(50－25－x)(100＋5x)＝1 500
【B组】（能力提升）
6. 如图F21－9－3，有长为46 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为25 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD. 为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1 m的门，当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180 m2？
【C组】（探究拓展）
7.（创新题）学校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形(如图F21－9－4，图中尺寸单位：m)，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为x m的小道（图中阴影部分）．
（1）如图F21－9－4①，在试验园地开辟一条水平宽度相等小道，则剩余部分的面积为__________________m2（用含x的代数式表示）；
20（32－x）
（2）如图F21－9－4②，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行．若使剩余部分面积为570 m2，试求小道的水平宽度x．
解：（2）依题意，得(32－2x)(20－x)＝570.
解得x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）.
答：小道的水平宽度为1 m．
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第二十一章 一元二次方程
第2课时 直接开平方法
【A组】（基础过关）
1. 方程x2－36＝0的解是( )
A. x1＝6，x2＝－6 B. x1＝x2＝0
C. x1＝x2＝6 D. x1＝x2＝－6
A
2. 方程2x2＝8的根为( )
A. 2 B. －2
C. ±2 D. 没有实数根
C
3. 已知一元二次方程a（x＋m）2＋n＝0（a≠0）的两根分别为－3，1，则方程a（x＋m－2）2＋n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．－1，3
C．－3，1 D．－1，5
B
4. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋2）*5＝0的解为_____________．
5. 已知x＝－1是方程x2－a＝0的解，则a＝_________.
6. 若关于x的方程(x－1)2＋m＝0有解，则m的取值范围是_______________.
3或－7
1
m≤0
【B组】（能力提升）
7. 解下列方程：
(1)x2－121＝0；
解：移项，得x2＝121.
∴x1＝11，x2＝－11.
(2)2(x－1)2＝338.
解：整理，得(x－1)2＝169.
开方，得x－1＝±13.
∴x1＝14，x2＝－12.
8. 解方程：(3x－1)2＝(x＋1)2.
解：开方，得3x－1＝±(x＋1).
∴3x－1＝x＋1或3x－1＝－(x＋1).
∴x1＝1，x2＝0.
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第二十一章 一元二次方程
第5课时 因式分解法
【A组】（基础过关）
1. 一元二次方程x2＝－2x的解是( )
A．x1＝x2＝0
B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2
D．x1＝0，x2＝－2
D
C
C
（x－2）（x＋3）
x1＝3，x2＝－1
【B组】（能力提升）
7. 解下列方程：
(1)2x2－4x＝0；
解：因式分解，得2x(x－2)＝0.
∴2x＝0或x－2＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
(2)4x2＝11x；
(3)2(x－3)2＝x2－9.
解：整理，得2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)(2x－6－x－3)＝0.
∴x－3＝0或x－9＝0.
∴x1＝3，x2＝9.
8. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2－2x＋1＝0；
解：因式分解，得(x－1)2＝0.
∴x－1＝0.
∴x1＝x2＝1.
（2）9（x＋2）2＝16（2x－5）2.
x≤2
解：（2）∵x≤2，
∴4x－8≤0.
∴x2＋|4x－8|＝x2－4x＋8＝4.
整理，得x2－4x＋4＝0.
∴（x－2）2＝0.
∴x1＝x2＝2．
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第二十一章 一元二次方程
第8课时 实际问题与一元二次方程（一）
【A组】（基础过关）
1. 某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程
( )
A. 600(1－2x)＝486
B. 600(1－x)2＝486
C. 600(1－x)＝486
D. 486(1＋x)2＝600
B
2. 某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，上映三天后累计票房收入达到10亿元. 若增长率为x，则下列方程正确的是( )
A. 3(1＋x)＝10
B. 3(1＋x)2＝10
C. 3＋3(1＋x)2＝10
D. 3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝10
D
3. 某商场今年4月的营业额为2 500万元，预计到6月的营业额可达到3 600万元，如果5，6两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意列出的方程为_______________________．
2 500（1＋x）2＝3 600
4. 某农产品以每袋400元的均价销售，为加快资金周转，经销商对价格经过连续两次下调后，决定以每袋256元的价格销售，则平均每次下调的百分率是__________.
5. 某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为__________.
20%
20%
【B组】（能力提升）
6. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解： (1)设每轮传染中平均一人传染了x人.
根据题意，得1＋x＋x(x＋1)＝36.
解得x1＝5，x2＝－7(不合题意，舍去).
答：每轮传染中平均一人传染了5人.
(2)根据题意，得5×36＝180(人).
答：如果不及时控制，第三轮将又有180人被传染.
7. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务.
解：(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x.依题意，得10(1＋x)2＝12.1，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%.
(2)12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)，
0.8×16＝12.8(万件).
∵13.31＞12.8，
∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成今年9月份的投递任务.
【C组】（探究拓展）
8.（创新题）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x.
依题意，得6（1＋x）2＝17.34.
解得x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
（2）17.34×（1＋70%）＝29.478（万座），
∵29.478＞25，
∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座．
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第二十一章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
【A组】（基础过关）
1．关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A．a＞0 B．a≠0
C．a＝1 D．a≥0
B
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2＋2y＝0
C. 2x＋1＝0 D. x2＝1
3. 若xm＋1＋6x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为
( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
D
C
4. 将方程x(x－1)＝3x＋1化为一元二次方程的一般形式：______________________.
5. 一元二次方程2x2－5＝3x的一次项系数为__________.
6. 设m是一元二次方程x2－x－2 019＝0的一个根，则m2－m＋2的值为__________________.
x2－4x－1＝0
－3
2 021
8. 一元二次方程a(x2＋1)＋b(x＋2)＋c＝0化为一般式后为6x2＋10x－1＝0，求以a，b为两条对角线的长的菱形的面积.
【C组】（探究拓展）
9. (创新题)已知m是一元二次方程x2＋x＝5的实数根，求代数式(2m－1)(2m＋1)－m(m－3)－7的值.
解：(2m－1)(2m＋1)－m(m－3)－7
＝4m2－1－m2＋3m－7
＝3m2＋3m－8
＝3(m2＋m)－8.
∵m是一元二次方程x2＋x＝5的实数根，
∴m2＋m＝5.
∴原式＝3×5－8＝7，即代数式(2m－1)(2m＋1)－m(m－3)－7的值为7.
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第二十一章 一元二次方程
*第7课时 一元二次方程的根与系数的关系
【A组】（基础过关）
1. 方程x2－6x＋5＝0的两个根的和为( )
A. －6 B. 6 C. －5 D. 5
2. 已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，那么代数式2a2－4a＋5的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B
C
3. 若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是( )
A. －1 B. 1或－1
C. 1 D. 2
C
4. 已知a，b是一元二次方程x2－7x－2＝0的两实数根，则代数式a2＋b2＝__________.
5. 若x1，x2是一元二次方程x2－kx＋k－1＝0的两个实数根，且x1＋x2＝3，则k＝__________.
6. 已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为－6，两根之积为－8，则此方程为________________．
53
3
x2＋6x－8＝0
【B组】（能力提升）
7. 已知关于x的一元二次方程x2＋ax－5＝0的一个根是1，求a的值及该方程的另一个根.
解：将x＝1代入方程x2＋ax－5＝0，得12＋a－5＝0.
解得 a＝4.
设方程的另一个根为x2，则x2＋1＝－4.
解得x2＝－5.
∴a的值为4，方程的另一个根为－5.
8. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若2x1x2－x1－x2＝1，求k的值.
【C组】（探究拓展）
9.（创新题）已知关于x的一元二次方程x2－（3k＋1）x＋2k2＋2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）若△ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围．
（1）证明：∵Δ＝（3k＋1）2－4（2k2＋2k）＝k2－2k＋1＝（k－1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根.
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第二十一章 一元二次方程
第10课时 实际问题与一元二次方程（三）
【A组】（基础过关）
1. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1 892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A. x(x＋1)＝1 892
B. x(x－1)＝1 892×2
C. x(x－1)＝1 892
D. 2x(x＋1)＝1 892
C
2. 如图F21－10－1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点图F21－10－1时另一个点也停止运动. 运动________s后，△PBQ面积为5 cm2. ( )
A. 0.5 B. 1
C. 5 D. 1或5
B
3. 两数的和为6，这两数的积为7，则这两数分别是
_________________________.
4. 一个两位数，个位数比十位数大5，且个位数的平方比这个两位数大32，则这个两位数是__________.
49
【B组】（能力提升）
5. 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛.
(1)应该邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，实际共比赛多少场？
6. 如图F21－10－2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝10 cm，点P由点A出发，沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动. 如果点P，Q分别从点A，B同时出发.
(1)经过几秒后，AP＝CQ？
(2)经过几秒后，△PBQ的面积为15 cm2？
【C组】（探究拓展）
7.（创新题）阅读诗词，列出方程，算出周瑜去世时的年龄：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
提示：“三十而立，四十而不惑”.
解：设周瑜去世时年龄的个位数是x，则十位数是x－3.
根据题意，得10（x－3）＋x＝x2.
解得x1＝6，x2＝5.
∴x2＝36或x2＝25.
∵三十而立，四十而不惑，
∴x2＝36.
答：周瑜去世时的年龄是36岁．
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第二十一章 一元二次方程
第3课时 配方法
【A组】（基础过关）
1. 一元二次方程x2－4x－5＝0经过配方后，可变形为( )
A. (x－2)2＝1 B. (x＋2)2＝－1
C. (x－2)2＝9 D. (x＋2)2＝9
C
2. 一元二次方程x2－8x＋48＝0可以表示成(x－a)2＝b的形式，其中a，b为整数，则a＋b＝( )
A. 40 B. －36
C. －32 D. －28
D
9
3
1
1
4. 用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，则方程可变形为(x＋2)2＝__________.
5. 用配方法解方程x2－4x＝6时，方程两边同时加上__________，使得方程左边配成一个完全平方式．
6. 将一元二次方程x2＋2x－1＝0化成(x＋a)2＝b的形式，其中a，b是常数，则a＝__________，b＝__________.
3
4
1
2
【B组】（能力提升）
7. 用配方法解下列方程：
(1)x2＋6x－1＝0；
8. 用配方法解下列方程：
(1)3x2＋6x－4＝0；
(2)(x＋1)(2x－3)＝1.
【C组】（探究拓展）
9.（创新题）求证：关于x的方程（a2－8a＋20）x2＋3ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋20＝（a－4）2＋4≥4，
∴无论a取何值，a2－8a＋20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0.
∴关于x的方程（a2－8a＋20）x2＋3ax＋1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
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第二十一章 一元二次方程
第4课时 公式法
B
2. 用公式法解一元二次方程2x2－3x＝1时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为( )
A. 2，－3，－1
B. 2，3，1
C. 2，－3，1
D. 2，3，－1
A
3. 一元二次方程x2＋4x＋1＝0根的判别式的值为________．
4. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0无实数根，则k的取值范围是__________.
5. 关于x的方程(k－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则实数k的取值范围是__________.
12
k＞1
k≤2
3x2＋5x＋1＝0
【B组】（能力提升）
7. 用公式法解下列方程：
(1) x2＋3x＋1＝0；
(2)3x2－x－1＝0.
8. 用公式法解方程：（x＋1）（x＋3）＝8．
【C组】（探究拓展）
9.（创新题）阅读下面的材料：
解方程：x2－|x|－2＝0.
当x≥0时，原方程可化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1（舍去）；
当x<0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1（舍去）.
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2．
请参照材料解下列方程：
（1）x2－|x|－6＝0；
（2）x2－|x－5|－5＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2－x－6＝0，
解得x1＝3，x2＝－2（舍去）；
当x＜0时，原方程可化为x2＋x－6＝0，
解得x1＝－3，x2＝2（舍去）.
∴原方程的根是x1＝3，x2＝－3.
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第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程的解法综合
B
2. 一元二次方程x2＋2x＝0的根的判别式的值是( )
A. 4 B. 2
C. 0 D. －4
3. 用配方法解方程x2－2x－8＝0时，原方程应变为( )
A. (x－2)2＝9 B. (x＋2)2＝9
C. (x－1)2＝9 D. (x＋1)2＝9
A
C
4. 方程x2＋5x＝0的适当解法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
5. 已知3是一元二次方程x2＋m＝0的一个根，则该方程的另一个根是__________.
C
－3
6. 关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根，则k应满
足的条件是____________________．
【B组】（能力提升）
7. 解下列方程：
(1)4(6x－1)2＝25；
(2)x2＋3x－2＝0；
(3)x(x－7)＝8(7－x).
解：移项，得x(x－7)－8(7－x)＝0.
因式分解，得(x－7)(x＋8)＝0.
∴x－7＝0或x＋8＝0.
∴x1＝7，x2＝－8.
8. 已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，求该三角形的周长.
解：原方程可化为(x－5)(x－8)＝0.
∴x－5＝0或x－8＝0.
∴x1＝5，x2＝8.
①当x＝5时，三角形的三边关系为3＋4＞5，能构成三角形；
②当x＝8时，三角形的三边关系为3＋4＜8，不能构成三角形.
∴该三角形的周长为3＋4＋5＝12.
【C组】（探究拓展）
9.（创新题）已知关于x的一元二次方程（k－2）x2＋2x＋1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该方程的两个实数根都是整数，求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（k－2）x2＋2x＋1＝0有两个实数根，
∴k≠2且Δ＝22－4×（k－2）×1＝12－4k≥0.
∴k≤3且k≠2.
谢 谢
