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第二十一章 一元二次方程
*第7课时 一元二次方程的根与系数的关系
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 将方程(x-3)(x-5)=0化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为__________________________________.
a=1,b=-8,c=15
2. 将方程x2=2x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为_________________________________.
a=1,b=-2,c=0
探究新知
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根,分别为x1,x2,则x1+x2=______________,x1x2=____________.
知识点一 根与系数的关系
1. 方程x2-5x-6=0的两根之和为( )
A. -6 B. 5
C. -5 D. 1
2. 一元二次方程x2-3x=4的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A. 3 B. -3
C. 4 D. -4
B
D
知识点二 利用根与系数的关系求代数式的值
(x1+x2)2-2x1x2
2
14
知识点三 一元二次方程的根与系数的关系的综合运用
解决此类问题时,切勿忽略以下前提条件:一元二次方程的二次项系数不为______________且方程必须有_____________.
零
根
5. 若x1,x2是一元二次方程x2-2 020x+1=0的两个实数根,则代数式(x1+1)(x2+1)的值为____________.
2 022
课堂导练
【例1】下列方程的两根为x1,x2,不解方程,根据根与系数的关系填表.
方程 x1+x2 x1x2
x2-3x=0 ______________ ______________
x2-x-5=0 ______________ ______________
2x2+7x-6=0 ______________ ______________
3
0
1
-5
-3
1. 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)4x2+1=7x,
x1+x2=_____________,x1x2=_____________;
(2)3x2-1=0,
x1+x2=_____________,x1x2=_____________;
(3)x2-6x=0,
x1+x2=_____________,x1x2=_____________.
0
6
0
【例2】关于x的方程x2+(2k+1)x+k2+2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足|x1|+|x2|=x1x2-1,求k的值.
思路点拨:
(1)求出方程的Δ=b2-4ac,即可得到实数k的取值范围;
(2)根据(1)中得到的实数k的取值范围,可判断出x1,x2的正负,结合根与系数的关系,即可求出k的值.
2.(创新题)已知关于x的方程x2+ax+a-1=0.
(1)若该方程的一个根为4,求a的值及方程的另一个根;
(2)求证:无论a取何实数,该方程都有两个实数根.
(1)解:将x=4代入方程x2+ax+a-1=0,
得42+4a+a-1=0. 解得a=-3.
∴该方程为x2-3x-4=0.
设方程的另一个根为x2,则4x2=-4.解得x2=-1.
∴a的值为-3,方程的另一个根为-1.
(2)证明:∵Δ=a2-4(a-1)=(a-2)2≥0,
∴无论a取何实数,该方程都有两个实数根.
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第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程的解法综合
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 解一元二次方程的基本思路:将二次方程化为一次方程,即______________.
降次
2. 因式分解:
(1)4x2-49=__________________________;
(2)2ax2-4ax+2a=_____________________.
(2x+7)(2x-7)
2a(x-1)2
探究新知
根据方程的结构特点,选择恰当、简便的方法求解,一般按以下顺序思考:
(1)___________________:形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程适用;
(2)____________________:方程的左边可化成两个一次因式的乘积(x+p)(x+q),右边为0;
知识点一 选择适当的方法解一元二次方程
直接开平方法
因式分解法
(3)配方法:将ax2+bx+c=0(a=1)配方,化为(x+m)2=n的形式;
(4)公式法:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
______________________________.
1. 解方程(x+2)2=3最适当的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
2. 解方程(5x-3)2=2(5x-3),最适当的方法是( )
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 公式法
D. 因式分解法
A
D
知识点二 用十字相乘法解一元二次方程(选学)
形如x2+(a+b)x+ab=0的方程,将其左边因式分解,则方程可化为________________________=0.所以x+a=0或x+b=0,则x1=______________,x2=______________.
(x+a)(x+b)
-a
-b
3. 方程x2-x-2=0的一个根是( )
A. 0 B. 2
C. -2 D. 1
4. 已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则△ABC的周长为( )
A. 17 B. 13
C. 11 D. 13或17
B
A
课堂导练
【例1】解下列方程:
(1)9(x+2)2=16;
(2)x2+4x-4=0.
思路点拨:根据方程的结构特点,选择恰当、简便的方法求解.
(1)适合用直接开平方法;
(2)二次项系数为1,一次项系数为偶数,适合用配方法.
1.解下列方程:
(1)x2-2x-3=0(用公式法);
(2)(x-2)2=(2x+3)2(用因式分解法).
【例2】将x2-5x+6分解因式时,可依据口诀“首尾两项要分解,交叉之积的和在中央”,即
所以x2-5x+6=(x-2)(x-3).我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”.试利用十字相乘法解方程:
x2+5x-6=0.
思路点拨:先探索出符合该二次三项式的“十字”型,再将方程左边因式分解,即可求解.
解:因式分解,得(x+6)(x-1)=0.
∴x+6=0或x-1=0.
∴x1=-6,x2=1.
2. 用十字相乘法解下列方程:
(1)x2-4x-12=0;
解:因式分解, 得(x-6)(x+2)=0.
∴x-6=0或x+2=0.
∴x1=6,x2=-2.
(2)y2-7y+6=0.
解:因式分解,得(y-1)(y-6)=0.
∴y-1=0或y-6=0.
∴y1=1,y2=6.
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专题四 核心素养
1.(几何直观、模型思想)(2021·邵阳)在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1或2个
D
2.(数据分析观念、模型思想、应用意识)为响应政府号召,加强防疫物资储备,某服装厂改装一条生产线加工口罩,今年一月份的口罩产量是80万只,第一季度总产量是340万只,设二、三月份的产量月平均增长率为x,根据题意可得方程为( )
A.80(1+x)2=340
B.80+80(1+x)+80(1+2x)=340
C.80(1+x)3=340
D.80+80(1+x)+80(1+x)2=340
D
3.(模型思想、创新意识)定义运算:a※b=3ab2-4ab-2.例如:4※2=3×4×22-4×4×2-2=14.则方程2※x=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
B
4.(运算能力、模型思想)(2020·泰安)将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b (a, b为常数)的形式,则a,b的值分别是( )
A.-4,21 B.-4,11
C.4,21 D.-8,69
A
5.(运算能力、模型思想、应用意识)(2021·菏泽)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元;
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160 kg;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120 kg.
根据他们的对话,解决问题:超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,那么这种水果的销售价为每千克多少元?
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第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程(二)
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 某小区居民从2020年三月开始到五月底全部接种新冠疫苗.已知该小区常住人口1 820人,三月已有500人接种新冠疫苗,四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长,且月增长率均为x,则下面所列方程正确的是( )
A.500(1+x)2=1 820
B.500+500(1+x)2=1 820
C.500(1+x)+500(1+x)2=1 820
D.500+500(1+x)+500(1+x)2=1 820
D
2. 已知直角三角形的两条直角边长的和为7,面积为6.设
一条直角边长为x,则可得到方程_________________.
3. 一块面积为600 m2的长方形土地,它的长比宽多10 m,求长方形的长与宽,若设长方形的长为x m,根据题意可列方程为___________________.
x(x-10)=600
探究新知
运用规则图形(矩形、三角形等)的面积公式进行求解,如果图形不规则,则先将不规则图形分割或组合成_________图形,找出各部分面积的和、差关系,再用公式计算.
知识点一 面积问题
规则
1. 如图21-9-1,用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为17 m(恰好用完),围成的大长方形花圃的面积为24 m2,设垂直于墙的一段篱笆长为x m,可列出方程为________________________.
x(17-3x)=24
知识点二 营销利润问题
进价
销售量
2. 某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,商场计划要赚600元,则可列方程为_________________________________.
(x-30)(100-x)=600
课堂导练
【例1】某校东校区正在修建,如图21-9-2,按图纸规划,需要在一个长30 m,宽20 m的长方形ABCD空地上修建三条同样宽的通道(AB=20 m),使其中两条
与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种
植草皮.要使草地总面积为468 m2,那么
通道的宽应设计为多少米?
解:设通道的宽应设计为x m.
根据题意,得(30-2x)(20-x)=468.
整理,得x2-35x+66=0.
解得x1=2,x2=33(不合题意,舍去).
答:通道的宽应设计为2 m.
思路点拨:根据题意,结合长方形的面积公式可列出方程,求出x并将不合适的根舍去即可.
1. 某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边是由周长为30 m的篱笆围成.如图21-9-3,已知墙长为20 m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃园的面积为108 m2,求x的值;
(2)苗圃园的面积能达到120平方米吗?若能,求出x的值;若不能,说明理由.
解:(1)由题意,得x(30-2x)=108.
解得x1=6,x2=9.
∵0<30-2x≤20,∴5≤x<15.
∴x=6或x=9,均符合题意.
答:若苗圃园的面积为108 m2,x的值为6或9.
(2)不能.理由如下:
由题意,得x(30-2x)=120.
整理,得x2-15x+60=0.
∴Δ=(-15)2-4×1×60=-15<0.
此时方程无解.
答:苗圃园的面积不能达到120 m2.
【例2】某超市销售一种利润为每千克10元的水产品,一个月能销售出500 kg. 经市场分析,销售单价每涨价1元,月销售量就减少10 kg. 针对这种水产品的销售情况,若设单价每千克涨价x元,请解答以下问题:
(1)每千克水产品获利______________元,月销售量就减少______________ kg;
(10+x)
10x
(2)要使得月销售利润达到8 000元,又要“薄利多销”,销售单价应涨价多少元?
解:(2)由题意,得(10+x)(500-10x)=8 000.
解得x1=10,x2=30.
∵要“薄利多销”,
∴x=10.
答:销售单价应涨价10元.
思路点拨:
(1)根据已知条件可直接用x表示出所要求的量;
(2)利用每千克水产品获利×月销售量=总利润,列方程求解即可.
2. 一商店销售某种商品,平均每天可售出40件,每件盈利40元,为了扩大销售同时增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出5件.
(1)若销售单价降低m元,则平均每天销售数量为______________件,每件盈利______________元;
(40+5m)
(40-m)
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为2 800元?
解:(2)由题意,得(40+5m)(40-m)=2 800.
解得m1=20,m2=12.
∵40-m≥25,∴m≤15.
∴m=12.
答:当每件商品降价12元时,该商店每天销售利润为2 800元.
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第二十一章 一元二次方程
第5课时 因式分解法
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 因式分解的方法.
(1)提取公因式法:
ma+mb=______________;
(2)公式法:
a2±2ab+b2=______________;
a2-b2=____________________.
m(a+b)
(a±b)2
(a+b)(a-b)
2. 因式分解:
(1)x2+x=______________;
(2)x(x-1)+x-1=______________;
(3)4x2-121=________________________.
x(x+1)
(x-1)(x+1)
(2x+11)(2x-11)
探究新知
若一元二次方程的左边可化成两个一次因式的乘积
(x-p)(x-q),右边为0,则方程的根为x1=___________,x2=_____________.
知识点一 因式分解法
p
q
1. 一元二次方程(x-2)(x+3)=0的根是
____________________.
2. 一元二次方程x2+x=0的两个实数根中较大的根是______________.
x1=2,x2=-3
0
知识点二 利用提公因式法因式分解,解一元二次方 程的步骤
(1)移项:将方程右边化为______________;
(2)化积:提取公因式,将方程左边分解成两个______________的乘积;
(3)转化:令每个因式都等于____________,得到两个一元一次方程;
(4)求解:分别解这两个一元一次方程,它们的根就是方程的解.
0
一次因式
0
3. 用因式分解法解一元二次方程x2-8x=0,可将方程化为两个一元一次方程,即______________,_____________.
4. 一元二次方程x(x-5)+x-5=0的根是
_______________________.
x=0
x-8=0
x1=5,x2=-1
知识点三 利用公式法因式分解,解一元二次方程的步骤
除了用______________公式或______________和(或差)公式代替知识点二中的提取公因式,其他过程均类同知识点二.
平方差
完全平方
5. 方程x2+5x=0的适当解法是( )
A.直接开平方法 B.配方法
C.因式分解法 D.公式法
6. 方程3x=x2的根是___________________.
C
x1=0,x2=3
课堂导练
【例1】 解方程:x2-3x=0.
解:因式分解,得x(x-3)=0.
∴x=0或x-3=0.
∴x1=0,x2=3.
思路点拨:先将方程左边提取公因式x,分解成两个一次因式的乘积,再转化为两个一元一次方程,解之即可求出一元二次方程的两个解.
1. 解方程:2x2+x=0.
【例2】(人教九上P14例3改编)解方程:
x(x+2)-x-2=0.
思路点拨:把x+2看成一个整体,运用提公因式法求解即可.
解:因式分解,得(x+2)(x-1)=0.
∴x+2=0或x-1=0.
∴x1=-2,x2=1.
2. 解方程:25x2-16=0.
【例3】已知三角形的两边长分别为3和7,第三边的长是方程x(x-7)-10(x-7)=0的一个根,求这个三角形的周长.
解:原方程可化为(x-7)(x-10)=0.
∴x-7=0或x-10=0.
∴x1=7,x2=10.
分为两种情况:①当三角形的三边长分别为3,7,7时,符合三角形三边关系定理,此时该三角形的周长为3+7+7=17;
②当三角形的三边长分别为3,7,10时,不符合三角形三边关系定理,此时不能构成三角形.
∴这个三角形的周长为17.
思路点拨:先求出方程的解,再分情况讨论,根据三角形三边关系定理进行判断.
3.(创新题)已知等腰三角形ABC的一腰长和一底边长是关于x的方程x(2x-1)=4x-m的两个实数根.
(1)当m=2时,求△ABC的周长;
(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值.
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章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
3. 了解一元二次方程的根与系数的关系.
4. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.
课程标准
知识导航
一元二次方程 的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项
一元二次方程的解法 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根
直接开平方法 形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程适用
配方法 将ax2+bx+c=0(a≠0)配方,化为(x+m)2=n的形式,再求解
一元二次方程的解法 公式法
因式分 解法 方程的左边可化成两个一次因式的乘积(x+p)·(x+q),右边为0
一元二次方程的根 根的判别式Δ=b2-4ac
Δ<0,方程没有实数根
根与系数的关系
实际问题与 一元二次方程 常见的应用问题:
(1)传染问题;(2)平均变化率问题;(3)面积、体积问题;(4)利润问题;(5)数字问题;(6)动点问题;(7)单(双)循环问题
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专题三 中考新题型
【考情讲述】
2021年广东省中考数学命题把数学知识和国家及广东地区经济社会发展中出现的热点问题有机结合起来,例如涉及端午节吃粽子的传统习俗等富有浓郁时代气息的数学试题,要求学生从实际背景中提取关键信息,建立方程等模型来解答问题,在此过程中重点考查的是一元一次方程、分式方程和不等式,而一元二次方程则融合在简单题当中,且题目非常新颖,联系实际,紧跟时代步伐,体现出重模型思想和应用意识的命题趋势.
【中考真题】
(2021·广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足-3<x1<-1,1<x2<3,则符合条
件的一个方程为_________________________________.
x2-2=0(答案不唯一)
【例1】若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根
是2,则m+n的值为( )
A.2 B.4
C.-4 D.-2
D
1. (创新题)已知m是一元二次方程x2-4x-2=0的一个根,则代数式2m2-8m+2 017的值为( )
A.2 020 B.2 021
C.2 022 D.2 023
B
【例2】若x1,x2是x2+bx-3b=0的两个根,且x12+x22=7,则b的值是( )
A.1 B.-7
C.1或-7 D.7或-1
A
B
【例3】如图Z21-3-1,某小区想借助互相垂直的两面墙(墙体足够长),在墙角区域用40 m长的篱笆刚好围成一个面积为384 m2的矩形花园.设宽AB=x m,且ABA.18 B.20
C.16 D.24
C
3. 某商品经过两次降价,售价由原来的每件640元降到每件360元,已知两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为( )
A.20% B.25%
C.30% D.36%
B
【例4】(创新题)在落实国家“精准扶贫”战略中,我市某县大力推进“互联网+农工贸”新销售模式,做大做强“农村电商”,县领导直播带货,为本地土特产找销路.某果农响应号召,尝试在线上和线下同时销售自己种的春见蜜桔(粑粑柑).
(1)2021年1月份该果农线上、线下共售出春见蜜桔800 kg,其中线下销售的春见蜜桔重量不超过线上销售重量的3倍,线下销售春见蜜桔的重量最多为多少千克?
(2)2021年1月份结束时该果农线下销售的春见蜜桔重量恰好是(1)中销售重量的最大值,且线上、线下春见蜜桔的售价之比为3∶4,2月份正值春见蜜桔产销旺季,春见蜜桔的售价有所上涨,因此2月份收入在1月份的基础上增加了6.3a%,且2月份线上、线下春见蜜桔售价在1月份基础上分别增加a%,2a%,销售重量在1月份基础上分别增加3a%,4a%,求a的值.
解:(1)设线下销售春见蜜桔的重量为x kg,则线上销售春见蜜桔的重量为(800-x)kg.
依题意,得x≤3(800-x).
解得x≤600.
答:线下销售春见蜜桔的重量最多为600 kg.
(2)由(1)可知,1月份线上销售春见蜜桔200 kg.
设1月份线上春见蜜桔的售价为3m 元/kg,
则1月份线下春见蜜桔的售价为4m 元/kg.
依题意,得200(1+3a%)×3m(1+a%)+600(1+4a%)×
4m(1+2a%)=(200×3m+600×4m)(1+6.3a%).
整理,得a2-10a=0.
解得a1=0(不合题意,舍去),a2=10.
∴a的值为10.
4.(创新题)某企业在网上销售A,B两种品牌木制休闲用品.今年2月,一共销售A,B两种品牌木制休闲用品共450件,其中A品牌木制休闲用品每件售价20元,B品牌木制休闲用品每件售价30元,2月全部售完这些木制休闲用品,所得总销售额不低于11 500元.
(1)A品牌木制休闲用品最多销售多少件?
解:(1)设A品牌木制休闲用品销售x件,则B木制休闲用品销售(450-x)件.
依题意,得20x+30(450-x)≥11 500.
解得x≤200.
答:A品牌木制休闲用品最多销售200件.
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第二十一章 一元二次方程
第10课时 实际问题与一元二次方程(三)
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 两个连续的整数相差______________,两个连续的偶数(或奇数)相差______________.
1
2
2. 方程x(x-1)=6化成一般形式为__________________,该方程的解为_____________________.
x2-x-6=0
x1=-2,x2=3
探究新知
用十进制来表示数:若一个三位数的百位数为a,十位数为b,个位数为c,则这个三位数可用字母表示为_____________________________.
知识点一 数字问题
100a+10b+c
1. 一个两位数,个位数是a,十位数比个位数小2,则这个两位数用式子表示是__________________.
11a-20
知识点二 动点问题
用“速度×时间=______________”来表示线段的(边)长,再利用图形的面积公式或勾股定理等列方程求解.
路程
2. 如图21-10-1,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=30 cm,BC=25 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动,速度是2 cm/s;同时,动点Q从点B出发,沿BC方向运动,速度是1 cm/s,则出发后,经过___________s,P,Q两点之间相距25 cm .
10
知识点三 其他问题
解决单循环、签合同、握手、对角线、互送礼物等问题:
设参与数量为x,则单循环问题的总次数=______________,双循环问题的总次数=______________.
x(x-1)
3. 一次排球邀请赛中,每个队之间都要比一场、赛程计划安排9天,每天安排4场比赛. 设比赛组织者应邀请x个队参赛,则可列一元二次方程为____________________. (化成一般形式)
x2-x-72=0
课堂导练
【例1】一个两位数,个位数与十位数之和为5,将个位数与十位数对调后,所得的新数比原数的平方小497,求原来的两位数.
思路点拨:直接假设出原来的两位数的个位数为x,则十位数为5-x,进而表示出两数,得出等式求出答案.
1. 已知三个连续奇数,其中最小的数的平方的三倍减去25与两个较大的数的平方的和相等,试求这三个连续奇数.
解:设这三个连续奇数分别为n,n+2,n+4.
依题意,得3n2-25=(n+2)2+(n+4)2.
解得n1=15,n2=-3.
当n=15时,这三个连续奇数为15,17,19;
当n=-3时,这三个连续奇数为-3,-1,1.
答:这三个连续奇数分别为15,17,19或-3,-1,1.
【例2】如图21-10-2,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=
5 cm,BC=7 cm. 点P从点A开始沿AB边向终点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BC边向终点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止.
点P,Q分别从点A,B同时出发, 出发多少秒后,
PQ的长度为5 cm
解:设出发t s时,PQ的长度为5 cm,则BP=(5-t) cm,
BQ=2t cm.
在Rt△PBQ中,根据勾股定理,
得PQ2=BP2+BQ2,即25=(5-t)2+(2t)2.
解得t1=0(不合题意,舍去),t2=2.
答:出发2 s后,PQ的长度为5 cm.
思路点拨:设出发t s后,PQ的长度为5 cm,在Rt△PBQ中,利用勾股定理建立一元二次方程并求解.
2. 如图21-10-3,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那
么几秒后,△PBQ的面积为6 cm2?
(2)在(1)的条件下,△PBQ的面积能否为
8 cm2?说明理由.
【例3】在一次同学聚会上,每人都向其他人各赠送了一份小礼品,共互送110份小礼品,如果参加聚会的同学有x名,根据题意,列出的方程是( )
A. x(x+1)=110 B. x(x-1)=110
C. 2x(x+1)=110 D. x(x-1)=110×2
思路点拨:根据“总礼品数=110”,列方程即可.
B
A
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专题二 中考重难点
一、一元二次方程的定义及其根
【例1】关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是-2,则k值为( )
A.2或4 B.0或4
C.-2或0 D.-2或2
B
【对接中考】
1.(2021·深圳)已知方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值为______________.
2
二、根的判别式
【例2】(2021·河池)关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数由m的值确定
A
【对接中考】
2.(2021·宁夏)关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥2 B.m≤2
C.m>2 D.m<2
D
三、根与系数的关系
【例3】(2021·玉林)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则( )
A.x1+x2<0 B.x1x2<0
C.x1x2>-1 D.x1x2<1
D
D
四、一元二次方程的解法
【例4】(2021·西宁)解方程:x(x-2)=x-2.
解:移项,得x(x-2)-(x-2)=0.
因式分解,得(x-2)(x-1)=0.
∴x-2=0或x-1=0.
∴x1=2,x2=1.
【对接中考】
4.(2021·荆州)已知a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解,请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0.
五、实际问题与一元二次方程
【例5】(2020·西藏)某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广. 如图Z21-2-1,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m
宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长
和宽.
解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则另一边的长度为(69+1-2x) m,
根据题意,得x(69+1-2x)=600.
整理,得x2-35x+300=0.
解得x1=15,x2=20.
当x=15时,70-2x=40>35,不合题意,舍去;
当x=20时,70-2x=30,符合题意.
答:这个茶园的长30 m,宽20 m.
【对接中考】
5.(2021·滨州)某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率;
(2)若该商品每件的进价为40元,计划通过以上两次降价的方式,将库存的该商品20件全部售出,并且确保两次降价销售的总利润不少于200元,那么第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价?
解:(1)设该商品每次降价的百分率为x.
由题意,得60(1-x)2=48.6.
解得x1=0.1=10%,x2=-1.9(不合题意,舍去).
答:该商品每次降价的百分率是10%.
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第二十一章 一元二次方程
第3课时 配方法
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 已知代数式x2+nx+4是一个完全平方式,则n的值为______________.
2. 分解因式:a2-4ab+4b2=______________.
±4
(a-2b)2
探究新知
方法步骤:
(1)移项:将___________________移到方程右边;
(2)配方:方程两边都加上____________________________
_______________,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
(3)开方:用直接开平方法求解.
知识点一 配方法解“a=1”型一元二次方程x2+bx+c=0
c(或常数项)
平方)
16
4
4x
2
3x
知识点二 配方法解“a≠1”型一元二次方程ax2+bx+c=0
方法步骤:
(1)移项;
(2)系数化为1:方程两边同时除以______________, 将二次项系数化为1;
(3)配方;
(4)开方.
a
6
3
课堂导练
【例1】(人教九上P9练习2改编)用配方法解下列方程:(1)x2-10x+9=0;
解:移项,得x2-10x=-9.
配方,得x2-10x+25=-9+25,即(x-5)2=16.
开方,得x-5=±4.
∴x1=9,x2=1.
(2)x(x+8)=25.
思路点拨:利用配方法求得方程的解.
1. 用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-9=0;
(2)x2-4x+1=0.
【例2】用配方法解方程:2x2+x-1=0.
思路点拨:将二次项系数化为1,转化为“a=1”型方程来求解.
2.(创新题)关于用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),小明提出一种方法:
∵ax2+bx+c=0(a≠0),
∴4a2x2+4abx+4ac=0.
∴4a2x2+4abx+b2=b2-4ac.
……
(1)请你把小明省略的过程补充完整;
(2)请用上述方法解方程:3x2-4x-1=0.
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专题一 本章易错点例析
易错点1. 忽略一元二次方程的概念中a≠0
【例1】下列说法正确的是( )
A.方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B.方程3x2=4的常数项是4
C.若一元二次方程的常数项为0,则0必是它的一个根D.当一次项系数为0时,一元二次方程总有非零解
错解:A.
错解分析:在一元二次方程的定义中,一定要注意二次项系数a≠0,而错解却忽视了这一点.
正解:C.
m≠3且m≥0
2. 用配方法解方程:2x2-3x-6=0.
3. 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根,求k的最大整数值.
易错点4.一元二次方程实际应用中出错
【例4】某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为____________.
错解:设这种商品平均每次降价的百分率为x.
根据题意,得80(1+x)2=125.
解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合题意,舍去).
故答案为:25%.
错解分析:在列方程时出现错误,要找准关键的等量关系.设这种商品平均每次降价的百分率为x.
根据题意,得125(1-x)2=80.
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).
正解:20%.
4. 某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,增加盈利,尽可能地减少库存,决定采取降价措施,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可以多售出2件,想要平均每天销售这种童装盈利1 200元,那么每件童装应降价多少元?
解:设每件童装应降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天的销售量为(20+2x)件.
依题意,得(40-x)(20+2x)=1 200.
整理,得x2-30x+200=0.
解得x1=10,x2=20.
又∵尽可能地减少库存,
∴x=20.
答:每件童装应降价20元.
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第二十一章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 若(m+1)x|m|=6是关于x的一元一次方程,则m的值为______________.
1
2. 如果x=4是关于x的方程nx-3=5的解,那么n的值为______________.
2
探究新知
只含有______________个未知数,并且未知数的最高次数是______________的整式方程,叫做一元二次方程.
知识点一 一元二次方程的概念
一
2
D
B
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是_____________________(a≠0),其中ax2是二次项,______________是二次项系数; bx是一次项,______________是一次项系数;______________是常数项.
ax2+bx+c=0
a
b
c
3. 将方程8x=3x2-1化为一般形式为_________________.
4. 已知一元二次方程4x2-5x=81,则它的二次项系数为______________,一次项为______________,常数项为______________.
3x2-8x-1=0
4
-5x
-81
知识点三 一元二次方程的根(解)
使一元二次方程左右两边______________的未知数的值叫做一元二次方程的解.
相等
5. 下列各数中,是方程3x2-12=0的根的_____________.
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
6.已知m是关于x的一元二次方程x2+2x-7=0 的一个实数根,则m2+2m=______________.
-2,2
7
课堂导练
C
思路点拨:只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).特别要注意a≠0的条件,这是在做题过程中容易忽视的知识点.
A
3
【例2】(人教九上P3例题改编)已知方程
(x-1)(2-2x)=3.
化为一般形式为_____________________,
二次项系数为______________,
一次项系数为______________,
常数项为______________.
思路点拨:注意在说明二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号.
-2x2+4x-5=0
-2
4
-5
3. 填空:
方程 一般形式 a b c
5x2=2x _______________ _____ _____ _____
2x(x-1)=0 _______________ _____ _____ _____
(x-1)2=2x _______________ _____ _____ _____
5x2-2x=0
5
-2
0
2x2-2x=0
2
-2
0
x2-4x+1=0
1
-4
1
D
【例3】一元二次方程x2+3x+2=0的根为( )
A. 1,2 B. -1,-2
C. 1,-2 D. -1,2
思路点拨:判定一个数是不是一元二次方程的解,可将此数分别代入一元二次方程中,若能使方程左右两边相等,则这个数是一元二次方程的解,反之,它不是一元二次方程的解.
B
5. 已知关于x的方程x2+mx-2=0有一个根是2,则m的值为( )
A. -1 B. 1
C. -3 D. 3
A
6.(原创题)已知m是方程x2+3x-1=0的一个根,求代数式2m2+6m+2 020的值.
解:根据题意,得m2+3m-1=0.
∴m2+3m=1.
则2m2+6m+2 020
=2(m2+3m)+2 020
=2×1+2 020
=2 022.
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第二十一章 一元二次方程
第2课时 直接开平方法
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. (1)4的平方根是______________;
(2)3的平方根是______________.
±2
2. 已知一个正数x的两个平方根分别是a+4和a-2,求x的值.
解:由题意,得(a+4)+(a-2)=0.
解得a=-1.
∴a+4=-1+4=3.
∴x=32=9.
探究新知
两边直接开方,得x1=___________,x2=_____________.
知识点一 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程方程
1. 解方程:x2=9.
解:x1=3,x2=-3.
知识点二 解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程
方程两边直接开方,得mx+n=______________,
∴x1=______________,x2=______________.
2. 解方程:(x+1)2-4=0.
知识点三 根据p值判断解的情况
两个不相等
两个相等
没有
3. 若方程x2=a(a≥0),则方程______________.(填“有解”或“无解”)
4. 如果关于x的方程(x+5)2=m-1没有实数根,那么m的取值范围是______________.
有解
m<1
课堂导练
【例1】解下列方程:
(1)x2=7; (2)4x2-16=0.
解:移项,得4x2=16.
∴x2=4.
∴x1=2,x2=-2.
思路点拨:根据平方根的定义即可求出方程的根.
1. 解下列方程:
(1)x2-25=0;
解:移项,得x2=25.
∴x1=5,x2=-5.
(2)25x2-36=0.
【例2】 解下列方程:
(1)(2x-1)2=9;
(2)2(x-1)2-32=0.
解:移项,得2(x-1)2=32.
∴(x-1)2=16.
∴x-1=4或x-1=-4.
∴x1=5,x2=-3.
2. 解下列方程:
(1)(x-2)2=4;
(2)(x-2)2=(2x-1)2.
解:开方,得x-2=±(2x-1).
∴x-2=2x-1或x-2=1-2x.
∴x1=-1,x2=1.
C
3. 若关于x的一元二次方程(x-2)2=m有实数解,则m的取值范围是( )
A. m≤0 B. m>0
C. m≥0 D. 无法确定
C
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第二十一章 一元二次方程
第8课时 实际问题与一元二次方程(一)
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 因式分解:
(1)x2+2x+1=______________;
(2)x2-4xy+4y2=______________.
(x+1)2
(x-2y)2
2. 一元二次方程(x+1)2=4的解为________________.
x1=1,x2=-3
探究新知
先弄清楚起始病源数量、单个病源平均每轮传染的数量,再根据传染的轮数和传染结果数列方程,可按应用题一般步骤求解:
(1)设______________;
(2)列______________;
(3)解方程;
(4)______________;
(5)作答.
知识点一 传染问题
未知数
方程
检验
1. 新冠肺炎防治取得战略性成果. 若有一人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有16人患了新冠肺炎, 设每轮传染中平
均一人传染了x人,则可列方程为_____________________.
x+1+x(x+1)=16
知识点二 平均变化率问题
若a为起始量,b为终止量,n为增长 (或降低) 的次数,x为平均增长 (或降低) 率,则用字母表示为___________________.(“+”表示增长,“-”表示降低)
a(1±x)n=b
2. 为解决群众看病贵的问题,某市有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后,现价为256元. 设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为____________________________.
289(1-x)2=256
课堂导练
【例1】某新型病毒传染性很强,曾有2人同时患上该病毒,若在一天内一人平均能传染x人,经过两天传染后共有128人患上该病毒,则x的值为______________.
思路点拨:根据题意列出关于x的一元二次方程,求出x并取其正值即可.
7
1. 为响应国家号召打赢脱贫攻坚战,小明利用信息技术开了一家网络商店,将家乡的土特产销往全国,今年6月份盈利24 000元,8月份盈利34 560元,求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为______________________________.
24 000(1+x)2=34 560
【例2】 有一人患了流感,经过两轮传染后共有144人患了流感.
(1)每轮传染中平均一人传染了多少人
(2)如果不及时控制,三轮传染后,患流感的有多少人?
解:(1)设每轮传染中平均一人传染了x人.
根据题意,得1+x+x(1+x)=144.
解得x1=11,x2=-13(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一人传染了11人.
思路点拨:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人,根据题意可列出方程,求出x并取其正值;
(2)根据(1)中求出的x,可计算出三轮传染后,患流感的人数.
(2)144+144×11=1 728(人).
答:三轮传染后,患流感的有1 728人.
2.(创新题)某品牌手机,原售价每台4 000元,经连续两次降价后,现售价每台3 240元,已知两次降价的百分率相同.
(1)求每次降价的百分率;
(2)如果按这个百分率再降价一次,求第三次降价后的售价.
解:(1)设平均每次降价的百分率为x.由题意,
得4 000(1-x)2=3 240.
解得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.
答:每次降价的百分率为10%.
(2)3 240×(1-10%)=2 916(元).
答:第三次降价后的售价为2 916元.
【例3】 2019年初,某市开始实施“旧物循环计划”,为旧物品二次利用提供了公益平台,到2019年底,全年回收旧物3万件.随着宣传力度的加大,2021年全年回收旧物已经达6.75万件. 若每年回收旧物的增长率相同.
(1)求每年回收旧物的增长率;
(2)按着这样的增长速度, 请预测2022年全年回收旧物能够达到多少万件.
解:(1)设每年回收旧物的增长率为x.
根据题意,得3(1+x)2=6.75.
解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).
答:每年回收旧物的增长率为50%.
(2)6.75×(1+50%)=10.125(万件).
答:预测2022年全年回收旧物能够达到10.125万件.
思路点拨:
(1)设每年回收旧物的增长率为x,根据题意列出一元二次方程,求出x并取其正值即可得出结果;
(2)根据2022年全年回收旧物的件数=2021年全年回收旧物的件数×(1+增长率),可求出2022年全年回收旧物的件数.
3. 某公司2021年10月份营业额为64万元,12月份营业额达到100万元.
(1)求该公司11,12两个月营业额的月平均增长率;
(2)如果月平均增长率保持不变,据此估计该公司2022年1月份的月营业额.
解:(1)设该公司11,12两个月营业额的月平均增长率为x.
依题意,得64(1+x)2=100.
解得x1=0.25=25%,x2=-2.25 (不合题意,舍去).
答:该公司11,12两个月营业额的月平均增长率为25%.
(2)100×(1+25%)=125(万元).
答:估计该公司2022年1月份的月营业额为125万元.
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第二十一章 一元二次方程
第4课时 公式法
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为( )
A.5,4,1 B.5,4,-1
C.5,-4,1 D.5,-4,-1
C
2. 一元二次方程x2-6x+1=0配方后可化为( )
A.(x+3)2=2
B.(x-3)2=8
C.(x-3)2=2
D.(x-6)2=35
B
探究新知
知识点一 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式
两个不相等
两个相等
没有
1. 一元二次方程x2-2x-1=0根的情况是( )
A. 只有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 有两个不相等的实数根
D
2. 下列一元二次方程没有实数根的是( )
A. x2+x+1=0
B. x2+x-1=0
C. x2-2x-1=0
D. x2-2x+1=0
A
知识点二 用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的步骤
(1)把方程化成一般形式,并写出a,b,c的值;
(2)求出Δ=______________的值(当Δ<0时,方程无解);
(3)当Δ≥0时,把a,b,c的值代入求根公式:
_______________________;
(4)写出方程的解x1,x2.
b2-4ac
3. 用公式法解方程:2x2-2x-3=0.
解:a=2,b=-2,c=-3,b2-4ac=______________.
∴x=______________.
∴x1=______________,x2=______________.
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知识点三 利用根的情况求参数的值或取值范围
解此类题时,既要考虑到根的判别式大于零、等于零或小于零的情况,又要考虑到二次项系数______________及其他隐含的条件.
不等于零
4. 关于x的方程x2+6x+k=0没有实数根,则k的取值范围为______________.
k>9
课堂导练
【例1】 一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
思路点拨:根据根的判别式b2-4ac判断即可.
B
1. 下列方程中,没有实数根的是( )
A. x2-4x+4=0
B. x2-2x+5=0
C. x2-2x=0
D. x2-2x-3=0
B
【例2】 (人教九上P11例2改编)用公式法解方程:
2x2-8x+3=0.
思路点拨:先求出Δ=b2-4ac的值,再代入公式求出答案即可,熟记公式是解此题的关键.
2. 用公式法解方程:4x2-2x-1=0.
【例3】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式m2+m-5的值.
(1)证明:∵Δ=(2m+1)2-4m(m+1)=1>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:∵x=0是此方程的一个根,
∴把x=0代入方程,得m(m+1)=0,即m2+m=0.
∴m2+m-5=-5.
思路点拨:(1)计算出Δ,然后根据判别式的意义得到结论;
(2)把x=0代入方程,然后利用整体代入的方法计算代数式m2+m-5的值.
3. 已知关于x的一元二次方程x(kx-4)-x2+4=0.
(1)若方程有两个实数根,求k的取值范围;
(2)若这个方程有一个根为-1,求k的值.
解:(1)整理方程,得(k-1)x2-4x+4=0.
根据题意,得k-1≠0且Δ=(-4)2-4(k-1)×4≥0.
解得k≤2且k≠1.
(2)把x=-1代入原方程,得-1×(-k-4)-(-1)2+4=0.
解得k=-7.
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