(共12张PPT)
专题三 中考新动向
【考情讲述】
2021年和2020年有关概率的考查基本以简单的选择题或者填空题为主，2019年综合考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与画树状图法求概率是解题的关键，把握好这两个大的方向即可.
B
【例1】（2021·河池）从－2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是
______________．
1.（2020·深圳）一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外无其他差别），从中随机摸
出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是________．
【例2】（2019·广东）为了解某校九年级全体男生1 000 m跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制如下不完整的统计图(如图Z25－3－1)和统计表，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）表格中的x＝____________，y＝______________，扇形图中表示C等级的圆心角的度数为______________；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法求同时抽到甲和乙两名学生的概率．
4
40
36°
2.（创新题）为了传承中华优秀传统文化，某中学团委决定开展“文化润校”系列活动，其中参加“经典诵读活动”的人数共50人，赛后对学生此项活动的成绩进行整理，得到下列不完整的统计表：
组别 分数段 频数 频率
A 60≤x<70 9 0.18
B 70≤x<80 21 b
C 80≤x<90 a 0.32
D 90≤x<100 4 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表格中的a＝____________，b＝______________；
（2）若在D组的4名同学中，各有男、女生2名，随机抽取2名同学外出参加活动，请用列表法或画树状图法表示抽到的两名同学均为男生的概率．
16
0.42
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专题四 核心素养
B
2．（应用意识、创新意识）（跨学科融合）（2021·通辽）如图Z25－4－2，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的
概率是_____________．
3．（应用意识、创新意识）（人教九上P140习题4改编）一只蚂蚁在如图Z25－4－3所示的树枝上寻觅食物，假设蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到
食物的概率是____________．
4．（应用意识、创新意识）（2021·襄阳）中国象棋文化历史久远．在图Z25－4－4中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“---”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是
______________．
（2）列表如下：
第二个 第一个
－2 0.3 0
－2 — （0.3，－2） （0，－2）
0.3 （－2，0.3） — （0，0.3）
—
0 （－2，0） （0.3，0） —
6．（数据分析观念、应用意识、创新意识）（2021·河北）某博物馆展厅的俯视示意图如图Z25－4－5①所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图Z25－4－5②的
树状图，并分析嘉淇经过
两个十字道口后向哪个方向
参观的概率较大．
7．（数据分析观念、应用意识、创新意识）（2021·湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生 服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A，B，C，D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（用A，B，C，D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表法或画树状图法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
谢 谢(共32张PPT)
第二十五章 概率初步
第50课时 用列举法求概率(三)
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 掷两枚相同的质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为
6的概率是______________．
2. 在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外无其他差别，随机地摸出一个小球后放回摇匀，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的
标号之积为奇数的概率是__________．
探究新知
解题时要注意区分是放回事件还是无放回事件，无放回两步型事件意味着第二次可供选择的选项少了一个，通常用画树状图法更简便.
知识点一 用列举法求概率(无放回两步型)
1. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概
率是______________．
知识点二 用列举法求概率（一次性取两个型）
一次性取两个型事件实质就是无放回型事件，通常用画树状图法更简便.
2. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．一次随机摸取两个小球，则取出的
小球上一个数是另一个数的2倍的概率是______________．
知识点三 用列举法求概率（三步型）
对于三步型的概率，通常用画树状图法更简便.
3. 一个不透明的口袋中装有一红一白两个小球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个小球，记下摸出小球的颜色后，放回口袋摇匀，这样连续共计摸三次，则
三次摸出的小球恰好颜色相同的概率是__________．
知识点四 游戏的公平性
问题对于游戏的公平性，可以先用列表法或画树状图法求出______________，再通过比较概率的大小进行判断：若概率_____________，则游戏公平；若概率_____________，则游戏不公平，需要修改游戏规则使概率相等，游戏公平.
概率
相同
不相同
4. 甲、乙两人玩游戏，判定这个游戏是否公平的标准是( )
A. 游戏的规则由甲方确定
B. 游戏的规则由乙方确定
C. 游戏的规则由甲乙双方商定
D. 游戏双方要各有50%赢的机会
D
课堂导练
【例1】一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，它们分别标有的数字1，2，3，6，任意从袋子中摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次摸出的球所标数字之积为6的概率.
思路点拨：此题是无放回事件，意味着第二次可供选择的选项少了一个，通常用画树状图法更简便.
1. 一个不透明的口袋中有2个红球，1个白球，1个绿球.这些球除颜色外无其他差别，将球摇匀.若从中摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法，求摸出一个红球和一个绿球的概率.
【例2】（原创题）某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生A，B和2位女生C，D共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．
思路点拨：一次性取两个型事件实质就是无放回型事件，通常用画树状图法更简便.
2. 一个不透明的口袋中装有4个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球，2个蓝球，现从中随机摸出两个球，求这两个球为同色的概率.
【例3】（人教九上P138例3改编）甲口袋中装有2个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有2个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有3个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这三个口袋中各随机取出一个小球．
（1）用画树状图法表示所有可能出现的结果；
（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．
解：（1）画树状图如答图25－50－3.
∴共有12种等可能出现的结果.
思路点拨：（1）根据题意用画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答；
（2）根据树状图结合三角形的三边关系列举出能构成三角形的情况，再用概率公式求解即可．
3. 甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【例4】小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
（1）利用画树状图法或列表法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（剪刀、石头、布分别用①，②，③表示）；
（2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平.
解：（1）列表如下.
小颖 小明
① ② ③
① （①，①） （②，①） （③，①）
② （①，②） （②，②） （③，②）
③ （①，③） （②，③） （③，③）
∴共有9种等可能的结果.
思路点拨：（1）用列表法得出所有等可能的结果；
（2）找出三人获胜的结果数继而得出三人获胜的概率，比较即可得到结果．
4. 小明、小军两人做游戏，游戏规则如下：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3个红球和2个绿球，两人先后从袋中取出一个球(不放回)，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜.
(1)请用画树状图法表示游戏所有可能出现的结果；
(2)小明获胜的概率是______________，小军获胜的概率是______________，指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利.
0.4
0.6
解：(1)画树状图如答图25－50－7.
∴共有20种等可能的结果.
(2)不公平.理由如下：
小明获胜的概率为0.4，小军获胜的概率为0.6.
∵0.6＞0.4，
∴不公平，对小军有利.
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第二十五章 概率初步
第46课时 随机事件
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 有四张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，把它们倒扣着混放，任意抽一张卡片，有______________种等可能的结果.
4
2. 掷一个骰子，六个面上分别写着数字1，2，3，6，6，6，落地后，数字______________朝上的可能性最大.
6
探究新知
在一定条件下，______________发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下，______________发生的事件，叫做不可能事件. 必然事件与不可能事件统称_________________.
知识点一 确定性事件
必然
不可能
确定性事件
1. 下列事件中，属于必然事件的是( )
A．2023年的元旦是晴天
B．太阳从东边升起
C．打开电视正在播放新闻联播
D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
B
2. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是( )
A．两张卡片的数字之和等于4
B．两张卡片的数字之和等于5
C．两张卡片的数字之和等于6
D．两张卡片的数字之和等于7
A
知识点二 随机事件
在一定条件下，可能发生也可能______________的事件，叫做随机事件，也就是说，事先不能确定是否发生的事件称为______________事件.
不发生
随机
3. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是( )
A. 缘木求鱼 B. 水落石出
C. 瓮中捉鳖 D. 守株待兔
D
4. 下列事件是随机事件的是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．平移后得到的图形与原来的图形对应线段相等
C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．钝角三角形的内角和大于180°
C
知识点三 随机事件发生的可能性
随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同，可以根据不同的方法进行计算.
5. 一个不透明的袋子中有3个红球和5个白球，每个球除颜色外无其他差别，从袋子中任意摸出一个球，是红球的可能性_____________（填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
小于
课堂导练
【例1】 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 两条线段可以组成一个三角形
B. 打开电视机，它正在播放动画片
C. 早上的太阳从西方升起
D. 400人中有两人的生日在同一天
思路点拨：必然发生的事件称为必然事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
D
1. 下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 四边形的内角和为360°
B. 梯形的对角线不相等
C. 内错角相等
D. 存在实数x，满足x2＋1＝0
D
【例2】下列事件：①通常加热到100℃时，水沸腾；②度量三角形的内角和，结果是360°；③篮球队员在罚球线上投一次，未投中；④经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯．其中____________是必然事件；_____________是不可能事件；______________是随机事件．
思路点拨：根据必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生，也可能不发生的事件选择即可．
①
②
③④
2. 下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和为180°
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 掷一次骰子，向上一面点数是7
D. 如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a
B
【例3】一个不透明的袋子中装有20个形状、质地、大小均相同的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其余都是黄球，从中随机摸出一个，摸出哪种球的可能性最大？
思路点拨：在简单随机事件中，数量的多少反映了可能性的大小，先求出黄球的个数，再进行判断即可.
解：∵黄球有20－4－2－3＝11(个)，数量最多，
∴摸出黄球的可能性最大.
3.（创新题）事件发生的可能性有大有小，请把下列事件发生的可能性按从小到大的顺序排列：_______________．
（填序号）
①书包里有9本不同科目的教科书，随手摸出一本，恰好是数学书；
②花2元买了一张彩票，就中了500万大奖；
③抛了两枚硬币，都是正面向上；
④若a＋b＝0，则a和b互为相反数．
②①③④
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第二十五章 概率初步
第51课时 用频率估计概率
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 某班有男生和女生各若干人，若随机抽取1人，抽到男生的概率是0.4，则抽到女生的概率是___________．
0.6
2. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为0.25，则口袋中白球的个数是____________个.
15
探究新知
知识点一 用频率估计概率
试验总次数
概率
1. 在进行某批乒乓球的质量检验时，当抽取了2 000个乒乓球时，发现优等品有1 866个，则这批乒乓球出现“优等品”的概率的估计值是______________.(结果精确到0.01)
0.93
知识点二 通过频率估计概率进行相关计算
当试验的所有结果不是有限个，或各种可能的结果发生的可能性不相等时，虽然事件发生的概率不等于其发生的频率，但一般可以通过事件发生的频率来估计概率，从而进行相关的计算.
2. 一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个黑球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.6，则估计袋子中黑球的个数为______________个.
2
知识点三 用频率估计概率的模拟试验
用模拟试验代替实际调查，既省时又省力，但必须设计出符合要求的方案，通常有以下两种比较常见的模拟方式：(1)摸球(或卡片)；
(2)计算器产生______________.模拟试验的原则：替代试验必须在同等条件下进行，不同的研究对象应选择不同的模拟试验工具，___________________要足够多.
随机数
试验次数
3. 如图25－51－1是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果．由此可以估计，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是______________．（结果精确到0.001）
0.440
课堂导练
【例1】掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为3点”出现的频率越来越稳定于0.3. 那么掷一次该骰子，估计“朝上一面为3点”的概率为______________.
思路点拨：在大量反复试验下，频率稳定值≈概率.
0.3
1. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
C
【例2】一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外无其他差别，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色再放回袋子. 通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为______________.
思路点拨：从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可.
24
2. 一个不透明的口袋中装有橙色和白色两种乒乓球共60个，这些乒乓球除颜色外无其他差别，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个乒乓球，记下颜色再放回口袋中，不断重复这一过程，通过多次试验后，摸到白色的频率约为35%，估计袋中橙色乒乓球约有______________个.
39
【例3】（人教九上P144练习1改编）某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 16 10
进球次数m 6 8 9 7 12 7
_______ _______ _______ _______ _______ _______
0.75
0.80
0.75
0.78
0.75
0.70
（1）完成表格；(结果精确到0.01)
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解：（2）根据表中数据，得这位运动员投篮一次，进球的概率约为0.75．
思路点拨：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为频率＝频数与试验总次数之比.
3. 在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球. 下表是多次活动汇总后统计的数据.
摸球的 次数n 150 200 500 900 1 000 1 200
摸到白球 的次数m 51 64 156 279 307 366
0.34 0.32 0.312 0.31 0.307 0.305
(1)请估计：当大量重复试验后，摸到白球的频率将会接近______________；假设再摸一次，摸到红球的概率是______________； (结果精确到0.1)
0.3
0.7
(2)试估计口袋中红球的个数.
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第二十五章 概率初步
第49课时 用列举法求概率（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，2，3，5，5．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数
字是5的概率为______________．
2. 某班女生与男生的人数比为3∶2，从该班学生中随机选
取一名学生是女生的概率为______________．
探究新知
可用列表法或画树状图法求有放回两步型事件的概率.
当可能出现结果的数目较多时，为不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，通常用列表法.
知识点一 用列举法求概率（有放回两步型）
A
知识点二 用列举法求概率（相互独立两步型）
可用列表法或画树状图法求相互独立两步型事件的概率.
2. 连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率
是______________．
课堂导练
【例1】不透明布袋中装有除颜色外无其他差别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，求两次都摸出白球的概率.
思路点拨：用列表法或画树状图法列出所有等可能的结果数，找出符合条件的结果数即可用概率公式求得答案.
1. 一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母外无其他差别.小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下字母. 用列表法求两次摸出的小球上的字母相同的概率.
解：列表如下.
第二次 第一次
a b c
a (a，a) (b，a) (c，a)
b (a，b) (b，b) (c，b)
c (a，c) (b，c) (c，c)
【例2】（人教九上P138练习2改编）在4张看上去无差别的卡片上分别写有1，2，3，4，随机抽取1张后，放回混匀，再随机抽取1张，求第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率.
解：列表如下.
第二次 第一次
1 2 3 4
1 1
2 2 1
3 3 1
4 4 2 1
思路点拨：当可能出现的结果数目较多时，通常用列表法.
2. 一个盒中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回搅匀，再随机摸出一个小球. 请用画树状图法求两次取出的小球标号之和大于6的概率.
【例3】有A，B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，3，4；B组的两张分别写有5，6．它们除数字外无其他差别.现分别从A组，B组各抽取一张，求抽取的两张卡片的数字之和是偶数的概率.
解：列表如下.
B组 A组
2 3 4
5 7 8 9
6 8 9 10
思路点拨：用列表法将两张卡片的数字之和列出来即可解答.
3.（创新题）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，求掷得面朝上的点数之和是5的概率.
第二次 第一次
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
解：列表如下.
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专题一 本章易错点例析
易错点1.求事件发生的概率出错
【例1】大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字外无其他差别的小球，各自设计一种游戏确定谁得到门票．小双设计的方案如下：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）小双设计的游戏方案是否公平？不必说理．
错解：P（大双摸到偶数）＝P（小双摸到奇数），
∴小双设计的游戏方案公平.
错解分析：不能从“摸到偶教”“摸到奇数”的角度考虑，因为“摸到偶数”“摸到奇数”的机会并不均等.
正解：小双设计的游戏方案不公平．可能出现的所有结果画树状图如图Z25－1－1.
∵共有9种等可能的结果，其中小双积分多的结果有4种，大双积分多的结果有3种，
∴小双设计的游戏方案不公平.
1. 小明和哥哥得到了一张音乐演唱会的门票，两人都很想前往，可门票只有一张．哥哥想了一个办法：拿8张扑克牌，如图Z25－1－2，将数字为3，4，7，9的四张给小明，将数字为2，5，6，8的四张留给自己，并按如下游戏方式进行确定：小明和哥哥从四张扑克牌中随机抽出一张，将抽出得到的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小明获胜，该小明去；如果和为奇数，则哥哥获胜，该哥哥去．
（1）你认为该游戏规则是否公平？请用画树状图法或列表法予以说明；
（2）如果该游戏规则不公平，请你改变一下游戏方案，使得游戏规则公平；如果该游戏规则公平，请你制订一个不公平的游戏规则．
解：（1）该游戏规则不公平．列表如下：
小明的数字 哥哥的数字
2 5 6 8
3 （2，3） （5，3） （6，3） （8，3）
4 （2，4） （5，4） （6，4） （8，4）
7 （2，7） （5，7） （6，7） （8，7）
9 （2，9） （5，9） （6，9） （8，9）
（2）将小明的奇数数字扑克牌与哥哥的偶数数字扑克牌对换一张．(答案不唯一)
易错点2.用频率估计概率出错
【例2】小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小颖说：“根据试验结果，得一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
2. 某射击运动员在相同条件下射击了160次，其成绩记录如下：
射击次数 20 40 60 80 100 120 140 160
射中9环以上的次数 15 33 ____ 63 79 97 111 130
射中9环以上的频率 0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 ____ 0.79 0.81
48
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率（结果精确到0.1），并简述理由．
解：（2）P（射中9环以上）＝0.8.
理由如下：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率是0.8．
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专题二 中考重难点
一、随机事件
【例1】（2021·淮安）下列事件是必然事件的是( )
A．没有水分，种子发芽
B．月球绕着地球转
C．打开电视，正在播广告
D．声音可以在真空中传播
B
【对接中考】
1.（2021·泰州）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则( )
A．P＝0 B．0＜P＜1
C．P＝1 D．P＞1
C
B
D
三、用频率估计概率
【例3】（2021·呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有______________只，现年20岁的这种动物活到25岁的
概率是______________．
0.8a
【对接中考】
3.（2021·宜昌）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色外无其他差别的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图Z25－2－2所示，经分析可以
推断盒子里个数比较多
的是______________．
（填“黑球”或“白球”）
白球
C
B
五、概率的综合题
【例5】（2021·沈阳）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是_____________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
解：（2）列表如下.
小安 小辰
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
【对接中考】
5.（2021·青岛）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：如图Z25－2－3是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》；否则合唱《红旗飘飘》.若指针刚好落在分割
线上，则需要重新转动两个转盘，
请用列表法或画树状图法说明这个
游戏是否公平．
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章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率.
2. 知道通过大量的重复试验，可以用频率估计概率.
课程标准
知识导航
概率 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件. 必然事件与不可能事件统称确定性事件
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)
用列举法 求概率 列表法：
（1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，求出概率
画树状图法：
（1）列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是其中一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
（2）画树状图法一般是选择一个元素，再和其他元素分别组合，依次列出所有可能的结果，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n
用频率估计概率 当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率
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第二十五章 概率初步
第48课时 用列举法求概率（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 在一个口袋中装有4个白球和11个红球，它们除颜色外无其他差别，则事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是______________；
0
2. 小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次
时，正面向上的概率是______________．
探究新知
知识点一 用简单列举法求概率（ 一步型）
1. 一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字－1，2，－3，4．摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为
_____________．
知识点二 运用概率公式进行相关计算
2
课堂导练
【例1】掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率.
(1)点数为偶数；
(2)点数大于2且小于5.
思路点拨：根据概率公式，找准两点：①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目.后者与前者的比值就是其发生的概率.
1. 一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的红球和黄球共10个，其中红球有6个. 从袋中任意摸出1个球.
(1)“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
解：(1)由题意，得“摸出的球是白球”是不可能事件，它的概率是0.
【例2】暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘（如图25－48－1，转盘被均匀地分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元，
100元，50元的购物券，凭购物券可以在
该商场继续购物．若某顾客购物300元．
（1）他此时获得购物券的概率是
______________；
（2）他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
思路点拨：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）分别求出获得200元，100元，50元的购物券的概率，比较大小即可得出答案．
2.（创新题）如图25－48－2是小明自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个实数．若自由转动转盘，当它停止转动时，请解答下列问题：
（1）指针指向正数的概率是
______________；
（2）指针指向无理数的概率是
______________；
（3）指针指向能被2整除的数
的概率是______________；
（4）求指针指向的数绝对值小于6的概率．
5
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第二十五章 概率初步
第47课时 概 率
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到______________（填“红”或“白”或“黑”）球的可能性最大．
黑
2.“抛一枚硬币，落地后反面朝上”是___________事件．
随机
探究新知
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的______________ ，称为随机事件A发生的概率， 记为Ｐ(Ａ).概率从______________上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
知识点一 概率的意义
数值
数量
1. 某机构发行福利彩票，在300万张彩票中，中奖率是1%，那么下述推断：①买10万张彩票一定不中奖；②买30万张彩票一定中奖；③买30万张彩票一定不中奖；④买30万张彩票可能会中奖．其中正确的是____________．（填序号）
④
知识点二 求简单事件的概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件Ａ包含其中的m种结果，那么事
件Ａ发生的概率Ｐ(Ａ)＝______________.
由于m，n满足0≤m≤n，所以事件A的概率满足_______≤
P(A)≤_______.
0
1
2. 一个不透明的袋子中装有6个除颜色外无其他差别的小球，其中4个红球，2个白球. 从袋中任意摸出1个球，则摸
出的球是红球的概率为______________.
知识点三 几何概率
面积类型的概率计算公式：如果随机试验是向S区域内掷一点P，那么掷在区域A(A在S内)内的概率Ｐ＝
______________.
3. 如图25－47－1，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是
_____________.
课堂导练
B
1. 对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是( )
A. 某市明天将有75%的时间下雨
B. 某市明天将有75%的地区下雨
C. 某市明天一定下雨
D. 某市明天下雨的可能性较大
D
【例2】（人教九上P132例2改编）如图25－47－2，转盘被等分成六个扇形，并在上面写上数字1，2，3，4，5，6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：
（1）指针指向4的概率是______________；
（2）指针指向数字是奇数的概率是
______________.
2.（创新题）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图25－47－3，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，
求其中奖的概率．
【例3】如图25－47－4，若圆盘的半径为2，中间有一边长为1的正方形，向圆盘内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在中
间正方形内的概率是______________.
思路点拨：用中间正方形的面积除以圆盘的面积即可.
3. 如图25－47－5是用相同正方形地砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块地砖的下面，则宝物在阴影部分区域的
概率是______________.
谢 谢
