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第二十三章 旋转
第30课时 课题学习图案设计
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 五角星旋转一定角度后能与自身重合，至少需要旋转______________.
72°
2. 把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转______________，可以与自身重合．
60°
探究新知
图形变换有平移、轴对称和旋转这三种基本形式，分析图案的形成过程，需点明______________及平移的______________或旋转______________，用轴对称分析时，需点明对称轴.
知识点一 图案的形成过程
基本图形
次数
角度
1. 如图23－30－1所示的四个图案中，含有旋转变换的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
B
知识点二 图案设计
依据：平移、轴对称、旋转步骤：
(1)明确设计意图；
(2)确定______________图形和______________图案；
(3)运用平移、轴对称、旋转分析整体图案是如何通过“基本图形”变换形成的.
基本
整体
2. 如图23－30－2是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色. 现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
D
课堂导练
【例1】下列图案可以由一个“基本图形”连续旋转90°得到的是( )
C
思路点拨：因为360°÷90°＝4，要使图案可以由一个基本图形连续旋转90°得到，则整个图形应由4个基本图形组成，且有旋转中心. 注意观察每个图案的基本图形，计算出最小旋转角度.
1. 在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图23－30－3，接下去出现 形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形.( )
D
【例2】如图23－30－4，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图23－30－4①的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
(1)这三个图案具有以下共同特征：都是______________对称图形，都不是______________对称图形；
(2)请在图23－30－4②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图23－30－4①中所给出的图案相同.
中心
轴
解：(2)如答图23－30－1.(答案不唯一)
思路点拨：(1)观察三个图案，利用中心对称和轴对称的性质即可解答；
(2)根据中心对称的性质设计图案即可.
2.（创新题）如图23－30－5，请你用三种方法把左边的小正方形平移到右边的图形中，使它们都成为中心对称图形．
解：如答图23－30－2.
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章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
2. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
3. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
课程标准
知识导航
图形的旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度
旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等
中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点
中心对称的性质：
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）中心对称的两个图形是全等图形
中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心
中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，但它们性质相同，应用方法也相似
关于原点 对称的点 的坐标 当两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P′（－x，－y）
课题学习 图案设计 一个基本图形可以通过平移、轴对称和旋转变换出一些复合图案
利用旋转设计图案的关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案
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第二十三章 旋转
第24课时 图形的旋转（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 钟面上的指针在不停转动，从下午3时到下午5时，时针转动了______________度.
60
2. 时针从数字“9”到“12”按______________时针方向旋转了90°．
顺
探究新知
把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个______________，叫做图形的旋转. 其中，这个点叫做______________，转动的角叫做______________.如果图形上的某个点经过旋转后得到新的点，那么这两个点叫做这个旋转的______________.
旋转的三要素：______________、______________和______________.
知识点一 旋转的有关概念
角度
旋转中心
旋转角
对应点
旋转中心
旋转方向
旋转角度
1. 如图23－24－1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转中心是点______________，∠BAD的对应角是______________，线段AD的对应线段是______________.
A
∠CAE
AE
知识点二 求旋转的角度
旋转前、后的任何一对对应点与______________所连线段的夹角都是旋转角，它们的度数都______________.
旋转中心
相等
2. 如图23－24－2，△OAB经过旋转得到△OCD，已知∠BOD＝76°，则旋转中心为点______________，旋转角度为______________．
O
76°
3. 如图23－24－3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过逆时针方向旋转后到达△ACP的位置，则旋转角度是______________.
60°
课堂导练
【例1】如图23－24－4，四边形ABCD是正方形，点P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合.
(1)旋转中心是点______________；
(2)旋转角度为______________；
(3)∠ABP′的对应角是__________；
A
90°
∠ADP
(4)线段BP′的对应线段是______________，线段AP′的对应线段是______________；
(5)连接PP′，则△APP′的形状是_________________.
思路点拨：一个图形由一个位置旋转到另一个位置，如果有固定不动的点，那么这个点就是旋转中心；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
DP
AP
等腰直角三角形
1. 如图23－24－5，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C.
(1)线段AB的对应线段是______________，线段AC的对应线段是_____________，线段BC的对应线段是______________；
(2)∠A的对应角是______________，
∠B的对应角是______________.
A′B′
A′C
B′C
∠A′
∠B′
【例2】如图23－24－6，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为( )
A. 90° B. 120°
C. 60° D. 45°
思路点拨：根据旋转的有关概念得出
旋转中心，找出旋转前后的一对对应点与旋转中心所连线段的夹角即为旋转角.
A
2. 如图23－24－7，点P是等边三角形ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是( )
A. 70° B. 80°
C. 60° D. 50°
C
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第二十三章 旋转
第25课时 图形的旋转（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 下列现象属于旋转的是( )
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的时候
C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D．幸运大转盘转动的过程
D
2. 如图23－25－1，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是( )
A．∠AOC
B．∠AOD
C．∠AOB
D．∠BOC
A
探究新知
旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离______________；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______________；
(3)旋转前、后的图形______________.
知识点一 利用旋转的性质求角度或边长
相等
旋转角
全等
1. 如图23－25－2，△ABC为等边三角形，边长为2 cm，D为BC中点，△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，则∠ABE的度数为______________，BE＝______________cm，若连接DE，则△ADE为______________三角形.
60°
1
等边
知识点二 旋转性质的综合运用
思考途径：
(1)根据旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等可得角或线段相等；
(2)根据旋转前、后的图形______________，可得对应线段、对应角相等；
(3)旋转中心与对应点的连线组成______________三角形；
(4)利用旋转的不变性，可以让图形发生重组，使分散的条件得以集中，解决“共点等边”问题.
全等
等腰
1
课堂导练
【例1】如图23－25－4，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C重合，且B′C交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是( )
A. 80° B. 85°
C. 90° D. 95°
思路点拨：根据旋转的性质得出∠BCB′
的度数，然后根据三角形外角的性质即
可求出∠AEC的度数.
B
A
【例2】如图23－25－6，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°.
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACB＝60°.
∴△CDE是等边三角形.∴∠CDE＝∠ACB＝60°.∴DE∥BC.
思路点拨：(1)由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，进而可得△CDE是等边三角形，结合平行线的判定定理，可证DE∥BC；
(2)由旋转的性质可得AE＝BD，即可求△ADE的周长.
(2)解：∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
∴AE＝BD＝7，且AC＝AB＝8.
由(1)得，DE＝DC.
∴△ADE的周长为AE＋DE＋AD＝AE＋DC＋AD＝AE＋AC＝7＋8＝15.
2.（创新题）如图23－25－7，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF，FC，求线段FC的长度.
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第二十三章 旋转
第26课时 旋转作图
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
探究新知
方法步骤：
(1)连：把图形中的每一个关键点与______________相连；
(2)转：把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(旋转角)；
(3)截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的______________的线段，得到各点的对应点；
(4)连：连接所得到的各对对应点；
(5)写：写出结论，指明作出的图形.
知识点一 以图形上的某一点为旋转中心作图
旋转中心
距离相等
1. 如图23－26－2，画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的图形.
略.
知识点二 以图形外的某一点为旋转中心作图
先确定旋转角的大小和______________，再确定每对______________，最后确定旋转后的图形.
旋转方向
对应点
2. 如图23－26－3，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是( )
A.点H
B.点N
C.点C
D.点M
D
知识点三 网格中的旋转作图
明确旋转中心、______________和旋转角度，以“局部带整体”，即作出几个关键点的______________，再连成图形即可.
旋转方向
对应点
3. 在如图23－26－4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点. △ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使其各顶点仍在格点上，则旋转角的大小是______________.
90°
课堂导练
【例1】如图23－26－5，△ABC是等腰直角三角形，∠C为直角. 画出以点A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形.
解：如答图23－26－1，
△AB′C′即为所求.
思路点拨：延长AC，使AB′＝AB，过点A作AC′⊥AB，截取AC′＝AC，再连接B′C′即可.
1. 如图23－26－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△DBE（A，D两点为对应点），点E恰好在AB上．
（1）画出旋转后的图形；
（2）连接AD，求∠ADE的度数．
解：（1）如答图23－26－3，△DBE即为所求.
【例2】如图23－26－7，四边形ABCD及一点P. 求作四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕点P顺时针旋转90°得到的. (不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图23－26－2，四边形A′B′C′D′即为所求.
思路点拨：连接PA，再过点P作AP的垂线，然后按顺时针方向在这条垂线上截取PA′＝PA，则A′就是A的对应点，同样的方法即可作出其他点的对应点，顺次连接各个对应点，即可得到旋转后的四边形A′B′C′D′.
2.（原创题）如图23－26－8，网格中的小方格均是边长为1的正方形，△ABC的顶点与点O均在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）以点B为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°后得到△A1BC1，画出△A1BC1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
解：（1）如答图23－26－4，△A1BC1即为所求.
（2）如答图23－26－4，△A2B2C2即为所求.
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专题二 中考重难点
一、中心对称
【例1】（2021·河池）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
B
【对接中考】
1.（2021·牡丹江）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
C
二、图形的旋转
【例2】（2021·天津）如图Z23－2－1，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABC＝∠ADC
B. CB＝CD
C. DE＋DC＝BC
D．AB∥CD
D
【例3】（2021·广安）如图Z23－2－2，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
C
B
3.（2021·大连）如图Z23－2－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA′B′的度数为( )
A．α
B．α－45°
C．45°－α
D．90°－α
C
三、关于原点对称的点的坐标
【例4】（2021·抚顺）在平面直角坐标系中，点M（－2，4）关于原点对称的点的坐标是___________________．
（2，－4）
【例5】（2021·桂林）如图Z23－2－5，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（－1，4），B（－3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个
单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋
转180°后的线段A2B2．
解：（1）如答图Z23－2－1，线段A1B1即为所求．
（2）如答图Z23－2－1，线段A2B2即为所求．
【对接中考】
4.（2021·临沂）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－1，1），（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是_____________．
（4，－1）
5.（2021·达州）如图Z23－2－6，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），
C（3，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋
转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，
若点A的对应点A2的坐标为（2，2），
求△A1C1C2的面积．
解：（1）如答图Z23－2－2，△A1B1C1即为所求．
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专题一 本章易错点例析
易错点1.运用图形旋转的定义及性质时出错
【例1】如图Z23－1－1，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是______________.
错解：（－2，0）.
错解分析：只考虑了顺时针旋转的情况，忽略了逆时针旋转的情况，导致缺失了另一个解.
∵点D（5，3）在边AB上，
∴OA＝BC＝AB＝5，BD＝AB－AD＝5－3＝2.
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2.
∴D′（－2，0）.
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2.∴D′（2，10）.
综上所述，点D′的坐标为（－2，0）或（2，10）．
正解：（－2，0）或（2，10）．
1. 如图Z23－1－2，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的度数是____________________．
15°或165°
易错点2.不能正确区分轴对称与中心对称
【例2】下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
错解：B.
错解分析：没有掌握轴对称与中心对称的概念.
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
正解：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
C
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专题三 中考新动向
【考情讲述】
旋转是一种特殊的图形变换，近几年广东省中考考查更多的是折叠，在2021年广州卷重点考查旋转的性质，并结合了勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是能综合利用相关的知识进行计算和分析.
B
【例1】（2021·桂林）如图Z23－3－2，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，求线段BC′的长度．
1.（创新题）如图Z23－3－3，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．求线段OF的长的最小值．
【例2】（2021·衡阳）如图Z23－3－4，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．
（1）试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：（1）四边形AFHE是正方形.理由如下：
∵Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴∠EAF＝90°.
∴Rt△ADF≌Rt△ABE.∴∠AFD＝∠AEB＝90°.
∴∠AFH＝90°.
∴四边形AFHE是矩形.
又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形.
（2）设AE＝x．由（1）得，EH＝FH＝AF＝AE＝x，BH＝7，BE＝EH＋BH＝x＋7，AB＝BC＝13，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，
即132＝x2＋(x＋7)2.
解得x1＝5，x2＝－12(不合题意，舍去).
∴BE＝EH＋BH＝5＋7＝12.
∴DF＝BE＝12.
∴DH＝DF＋FH＝12＋5＝17．
2.（2021·黔西南）如图Z23－3－5①，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图Z23－3－5②，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；
若不正确，请说明理由．
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第二十三章 旋转
第29课时 关于原点对称的点的坐标
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
如图23－29－1，△ABC和△DEF关
于点O成中心对称，要得到△DEF，
需要将△ABC绕点O旋转的度数是______________.
180°
探究新知
在平面直角坐标系中，
(1)关于原点对称的点，它们的横坐标符号______________，纵坐标符号______________ ；
(2)关于x轴对称的点，它们的横坐标______________，纵坐标符号相反；
(3)关于y轴对称的点，它们的横坐标符号______________，纵坐标不变.
知识点一 关于对称的点的坐标的特征
相反
相反
不变
相反
1. 点A的坐标是(1，1)，则点A关于原点O的对称点的坐标为____________________，关于x轴对称的点的坐标为____________________，关于y轴对称的点的坐标为____________________.
(－1，－1)
(1，－1)
(－1，1)
知识点二 平面直角坐标系中的中心对称作图
方法步骤：
(1)确定原图形上的所有关键点的坐标；
(2)根据“关于原点对称的点”的坐标规律，找出对称点的______________并描点；
(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于原点成中心对称的图形.
坐标
2. 在由边长是1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，平面直角坐标系与△ABC的位置如图23－29－2所示，A（－2，1），B（－4，1），C（－1，4）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）直接写出A，B的对应点A1，B1的坐标．
解：（1）如答图23－29－1， △A1B1C1即为所求.
(2)由图象得A1（2，－1），B1（4，－1）．
课堂导练
【例1】点P(－3，2)关于原点对称的点Q的坐标为( )
A. (3，2) B. (－3，－2)
C. (3，－2) D. (－3，2)
思路点拨：根据“关于原点对称的点”的坐标规律即可得出答案.
C
1. 已知点A(1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值为( )
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
A
【例2】（人教九上P69练习3改编）如图23－29－3，AB∥
CD∥x轴，且AB＝CD＝3，点A的坐标为（－1，1），若C（1，－1），
（1）求B，D两点的坐标；
（2）你发现A，B，C，D坐标之间有何特征？
解：（1）∵AB∥CD∥x轴，
点A的坐标为（－1，1），C（1，－1），
∴点B，D的纵坐标分别是1，－1.
∵AB＝CD＝3，
∴B（2，1），D（－2，－1）．
（2）∵A（－1，1），C（1，－1）的横、纵坐标互为
相反数，
∴点A，C关于原点对称.
同理可得点B，D关于原点对称．
思路点拨：（1）根据平行于x轴的直线的特点以及AB＝CD＝3可得出B，D两点的坐标；
（2）对比点A，B，C，D的坐标可得出它们之间的特征．
2. 如图23－29－4，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，完成作图并求△MNP的面积．
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专题五 核心素养
1．（几何直观、推理能力）如图Z23－5－1，将△CDA绕边AC的中点O旋转180°．小颖发现旋转后的△ABC与△CDA构成了平行四边形，她的推理思路如下：
点A，C分别转到点C，A处，而点D转到点B处．由AD＝CB，得四边形ABCD是平行四边形．为保证小颖的推理更严谨，小明想在“由AD＝CB，”和“得四边形……”之间作补充．应补充的是( )
A．且CD＝AB
B．且∠CDA＝∠ABC
C．且CD∥AB
D．且OC＝OA
A
2．（几何直观、模型思想）如图Z23－5－2，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点C的坐标为( )
A．（2，2）
B．（－2，2）
C．（－2，－2）
D．（2，－2）
C
3.（几何直观）如图Z23－5－3，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______________.
3
4．（空间观念、几何直观）如图Z23－5－4，直线l1⊥l2，垂足为O，点A1与点A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称，点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？
解：如答图Z23－5－1，点A1与点A2关于点O成中心对称.
∵点A1与点A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称，
∴OA＝OA1＝OA2，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵直线l1⊥l2，∴∠2＋∠4＝90°.
∴∠A1OA2＝180°.
∴A1，O，A2三点共线.
∵OA1＝OA2，
∴点A1与点A2关于点O成中心对称．
5．（几何直观、创新意识）如图Z23－5－5，等边三角形ABC的3个顶点都在圆O上，这个图形是中心对称图形吗？如果是，指出它的对称中心；如果不是，试把它补成一个中心对称图形．
解：不是中心对称图形.
如答图Z23－5－2.
所补的三角形可以看作是由△ABC绕点O旋转60°而成的．
6．（几何直观、模型思想）如图Z23－5－6，△ABC，△ADE均是顶角为120°的等腰三角形，BC，DE分别是它们的底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
7．（几何直观、推理能力、模型思想）如图Z23－5－7，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方
形重叠部分的面积；
（3）若正方形A′B′C′D′绕着点O旋转，
EF的长度何时最短？（直接写出答案）
（3）解：当OE⊥BC时，OE有最小值，此时EF的长度最短．
8．（几何直观、推理能力、模型思想）如图Z23－5－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角尺的直角顶点放在点O处，将三角尺绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），记三角尺的两直角边与Rt△ABC的两腰AC，BC的交点分别为E，D，四边形CEOD是旋转过程中
三角尺与△ABC的重叠部分
（如图Z23－5－8①所示）．
那么，在上述旋转过程中：
（1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？请证明你发现的结论；
（2）当三角尺旋转角度为______________时，四边形CEOD是矩形；
（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰直角三角形ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D，E（如图Z23－5－8②所示）．
那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由．
45°
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专题四 模型拓展——旋转模型
类型一：等边三角形手拉手模型
已知：△AOB与△COD都是等边三角形，
结论：
①△OAC≌△OBD；
②∠AEB＝∠AOB；
③OE平分∠AED.
1. 如图Z23－4－1，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C按顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是( )
A．BO＝AD
B．∠DOC＝60°
C．OD⊥AD
D．OD∥AB
D
类型二：等腰直角三角形手拉手模型
已知：△AOB与△COD都是等腰直角三角形，
结论：
①△OAC≌△OBD；
②∠AEB＝90°；
③OE平分∠AED.
2. 如图Z23－4－2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，
连接BD，将△ABD绕点A按逆时针
方向旋转，使AB与AC重合，点D
的对应点为点E，连接DE，DE交
AC于点F，则AF的长为_____________cm．
类型三：正方形手拉手模型
已知：四边形AEFG与四边形ABCD都是正方形，
结论：
①△ABE≌△ADG；
②BE＝DG；
③BE⊥DG.
3. 一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图Z23－4－3①所示的位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列问题，请你帮助解答：将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图Z23－4－3②），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
解：能.
证明如下：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°.
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
∴∠EAG－∠BAG＝∠BAD－∠BAG，即∠EAB＝∠GAD.
∴△AEB≌△AGD（SAS）.∴BE＝DG.
类型四：等腰直角三角形半角模型
已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，绕点A逆时针旋转△ABD到△ACF，使AB和AC重合.
结论：
①△AEF≌△AED；
②EF＝DE，CF＝BD.
4. 如图Z23－4－4，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图Z23－4－4中画出△ACF；
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，
EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜
想，并说明理由.
解：（1）如答图Z23－4－1，△ACF即为所求.
类型五：正方形半角模型
已知：在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，绕点A顺时针旋转△ABF到△ADG，使AB和AD重合.
结论：
①△AEF≌△AEG；
②EF＝EG＝BF＋DE.
5. 如图Z23－4－5，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB到点G，使BG＝______________，连接AG；
（2）求证：EF＝BE＋DF．
DF
（2）证明：由（1）得BG＝DF，
∵AD＝AB，∠ADF＝∠ABG＝90°，
∴△ADF≌△ABG（SAS）.
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.
∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°.
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第二十三章 旋转
第27课时 中心对称
目录
01
探究新知
02
课堂导练
探究新知
把一个图形绕着某一个点旋转______________，如果它能够与另一个图形______________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______________.
知识点一 中心对称的概念
180°
重合
对称中心
1. 如图23－27－1所示的四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A. 1组 B. 2组
C. 3组 D. 4组
C
知识点二 中心对称的性质
（1）对称点所连线段都经过______________，而且被______________所平分；
（2）中心对称的两个图形是______________图形.
对称中心
对称中心
全等
2. 如图23－27－2，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，那么AO＝______________，BO＝_____________，CO＝______________，△ABC______________△A′B′C′．
A′O
B′O
C′O
≌
知识点三 中心对称的作图
方法步骤：
(1)连接原图形上的所有关键点和______________；
(2)延长以上线段找对称点，使得关键点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离______________；
(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.
对称中心
相等
3. 如图23－27－3，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.
解：如答图23－27－
1，△DEF即为所求.
课堂导练
【例1】下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
A
思路点拨：根据中心对称的概念，抓住三点：①围绕某一点；②旋转180°；③与另一图形重合. 对各选项分析判断即可得解.
1. 如图23－27－4所示的四组图形中，成中心对称的有( )
A. 1组 B. 2组
C. 3组 D. 4组
C
【例2】如图23－27－5，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是______________.
思路点拨：直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.
2. 若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且点A，B，C的对称点分别为点D，E，F，若AB＝5，AC＝3，则线段EF的取值范围是________________________.
2＜EF＜8
【例3】如图23－27－6，在正方形网格中，已知△ABC和点O均在格点上. 画出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′.
解：如答图23－27－2，△A′B′C′即为所求.
思路点拨：连接AO并延长AO到点A′，使A′O＝AO，同样方法作出点B′，C′，然后顺次连接，从而得到△A′B′C′.
3. 如图23－27－7，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，找出它们的对称中心点O．
解：如答图23－27－3，点O即为所求．
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第二十三章 旋转
第28课时 中心对称图形
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1. 线段AB绕它的中点O旋转180°后能与原来的图形_____________.
重合
2. 将正方形绕着它的中心至少旋转______________可以与它自身重合．
90°
探究新知
把一个图形绕着某一点旋转______________，如果旋转后的图形能够与原来的图形______________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
知识点一 中心对称图形
180°
重合
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
D
知识点二 中心对称与中心对称图形
区别：
(1)研究对象的个数不同，中心对称是指______________个图形，而中心对称图形只研究______________个图形；
(2)中心对称图形的对称中心是图形自身或内部一点，而中心对称不一定；
(3)中心对称的对称点在______________个图形上，而中心对称图形的对称点在______________个图形上；
两
一
两
一
(4)中心对称是指一种位置关系，而中心对称图形是描述一种图形特征.
联系：
(1)都是把图形绕着某一点旋转______________后重合来定义的；
(2)两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这“一个图形”就是中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，那么这“两个图形”成中心对称.
180°
2. 如图23－28－1，□ABCD的对角线交于点O，则下列说法正确的有______________（填序号）.
①□ABCD是中心对称图形；
②△ABC是中心对称图形；
③△AOB与△COD成中心对称；
④△ABD与△CDB成中心对称；
⑤阴影部分图形是中心对称图形.
①③④⑤
知识点三 中心对称图形与轴对称图形的区别
轴对称图形 中心对称图形
对称中心：______________ 对称轴：______________
图形绕对称中心__________180° 图形沿对称轴______________
旋转后与原图形重合 折叠后直线两旁的部分重合
点
直线
旋转
折叠
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 直角三角形 B. 圆
C. 等边三角形 D. 四边形
B
课堂导练
【例1】如图23－28－2所示的四个图形中，是中心对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
思路点拨：根据中心对称图形的概念，抓住三点：①围绕某一点；②旋转180°；③与本身重合从而得出答案.
1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是( )
C
【例2】下列说法错误的是( )
A. 成中心对称的两个图形全等
B. 成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C. 中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D. 中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
思路点拨：根据中心对称图形的概念和性质即可得出结果.
B
2. 如图23－28－3，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任意作直线EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；
②四边形ABCD是中心对称图形；
③△AOE与△COF成中心对称.
其中正确的有( )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
D
【例3】下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A
思路点拨：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.
3. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
B
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