(共17张PPT)
5.1 二次根式
第2课时 二次根式的化简
1.能准确利用积的算术平方根的性质进行化简；（重点）
2.能准确将二次根式计算的结果用最简二次根式表示出来.（难点）
学习目标
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
6
6
20
20
一、二次根式的化简
动 脑 筋
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
（2）
＝
＝
一般地，当 a ≥ 0，b ≥ 0时，由于
因此
由此得出：
去述公式从左至右看，是积的算术平方根的性质，利用这一性质，可以化简二次根式。
例4 化简下列二次根式．
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
典例精析
解：
练习 计算：
为什么是﹣x 不是 x
例5 化简下列二次根式．
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
从前面的例题可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
二、最简二次根式
(m>0)是最简二次根式吗 如果不是，你能把它化简吗？
议一议
练习. 化简:
1.化简下列二次根式．
练 习
2.化简下列二次根式．
3. 设 a ≥ 0，b ≥ 0 ，化简下列二次根式.
能力提升
（1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母
课堂小结
本课结束(共29张PPT)
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
学习目标
1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
问题3 什么数有算术平方根
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
复习引入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它
的宽为_____m．
图
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
①根指数都为2；
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
一、二次根式的概念及有意义的条件
说一说
(1) 5的平方根是 ，0的平方根是 ，正实数a的平方根是 .
(2) 运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，从而将飞
船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度v与地
球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加
速度常数g ≈ 9.8 m/s.若已知地球半径R，则第一宇
宙速度v是多少？
归纳总结
二次根号
被开方数
.
注意：a 可以是数，也可以是式.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
练习 下列各式是二次根式吗
不含二次根号
被开方数是负数
当m>0时被开方数是负数
x y＜0
非负数+正数恒大于零
根指数是3
解：由x-1≥0，得
x≥1.
解：由题意得x-2＞0，
∴x＞2.
【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
典例精析
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
练1 若 ，求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
练2 已知y= ，求 3x+2y 的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
解：由题意得 3x-y-1=0 且 2x+y-4=0．
解得 x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
归纳总结
A ≥ 0
A＞0
A≥0且B≠0.
例2 计算：
练习 计算：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
做 一 做
填空：
2
1.2
a
例3 计算：
议 一 议
a（a ≥ 0），
- a（a ＜ 0）.
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
练习 化简：
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
练 习
1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
2. 计算：
3. 计算：
4.若x，y是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜
∴y＜ ，
∴ .
课堂小结
应 用
本课结束(共11张PPT)
习 题
5.1 二次根式
1.当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
2.计算：
3.计算：
4.化简下列二次根式：
5.化简下列二次根式：
6.一个底面是40cm×45 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的陶瓷容器中.当陶瓷容器装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，求陶瓷容器的底面边长.
解：设陶瓷容器的底面边长为xcm.
根据题意可得：20×40×45=10×x2，
化简，得：x2=3600，
所以，x=60，或x=-60(舍去)
答：陶瓷容器的底面边长为60cm.
7.在比萨斜塔上做自由落体实验得知：物体的下落距离 h (m)与下落时间 t (s) 之间的关系约为 h = 4.9t2.当物体从39.2 m的高度下落时，求该物体到达地面所需的时间.
8.化简下列二次根式：
9.在实数范围内，把下列多项式分解因式：
(1) x2-2 ； (2) 2x2-9.
④ 38-n = 9 时，n = 29
⑤ 38-n = 16 时，n = 22
⑥ 38-n = 25 时，n = 13
⑦ 38-n = 36 时，n = 28
⑧ 38-n = 49 时，n = -11(舍去).
综上自然数 n 的值为：38或37或34或29感22或2.
本课结束
