(共18张PPT)
第二十七章 相 似
第58课时 图形的相似
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.能够_________________的两个图形称为全等图形．全等图形的_____________和______________都相同．
完全重合
大小
形状
12
探究新知
______________相同的图形叫做相似图形.
判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的______________、______________无关.
知识点一 图形相似的概念
形状
大小
位置
1. 观察下列每组图形，相似图形是( )
C
知识点二 成比例线段
相等
2. 以下四组线段，成比例的是( )
A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5
C. 3，4，6，8 D. 5，6，7，8
C
知识点三 比例尺的计算
比例尺＝______________，在“比例尺”“图上距离”“实际距离”三个量中，知道其中任意两个量，就可以求出第三个量，但应注意单位的统一.
1.5
课堂导练
【例1】在下面的图形中，相似的一组是( )
思路点拨：根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
C
1. 在如图27－58－1所示的各组图形中，属于相似图形的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
C
B
D
【例3】在比例尺为1∶2 000 000的地图上，港珠澳大桥的主桥图上距离为1.48 cm，那么港珠澳大桥的主桥实际长度为多少千米？
解：设港珠澳大桥的主桥实际长度为x cm，
则1∶2 000 000＝1.48∶x.
解得x＝2 960 000.2 960 000 cm＝29.6 km.
答:港珠澳大桥的主桥实际长度为29.6 km.
思路点拨：设港珠澳大桥的主桥长度为x cm，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列出比例式，即可求得结果.
3. 相距24 km的甲、乙两地，在一幅比例尺为
1∶400 000的地图上的距离是多少厘米？
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第二十七章 相 似
第60课时 相似三角形的简单性质
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则线段d＝______________cm．
8
2.如图27－60－1，△ABC≌△CDA，若∠BAC＝94°，
∠B＝55°，则∠CAD的度数为______________．
31°
探究新知
相似三角形的三个对应角分别______________，三组对应边______________，相似比一般用k表示.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
找相似三角形对应元素的方法技巧：相似三角形中，公共角、______________ 角是对应角，最大(小)的角对应______________的角，最长(短)的边对应______________的边；对应角所对的边是对应边.
知识点一 相似三角形的简单性质
相等
成比例
对顶
最大(小)
最长(短)
1. 如图27－60－2，已知△ADE∽△ABC，若∠B＝∠ADE，则对应角∠C＝∠______________，对应边的比例
式为__________________________.
AED
知识点二 相似三角形简单性质的综合运用
先利用相似三角形的性质得到______________的比相等或______________相等，再借助方程思想、勾股定理或三角形内角和等知识，求出其他的边、角或证出线段垂直、平行等结论.
对应边
对应角
2.如图27－60－3，已知△ABC∽△AMN，点M是AC中点，∠A
＝90°，AB＝6，AC＝8,则MN＝______________.
课堂导练
【例1】 如图27－60－4，已知△OAB∽△OCD，且DC∥AB，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.
思路点拨：根据找相似三角形对应元素的方法技巧解题即可.
1. 如图27－60－5，已知△ABC∽△DBA，∠BAC＝∠BDA，写出其余的对应角和对应边的比例式.
【例2】（人教九下P27习题3）如图27－60－6，已知△ABC∽△DEF，求未知边x，y的长度．
思路点拨：直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
2.（原创题）如图27－60－7，已知△DEF∽△ABC，求∠D和∠E的度数以及DF的长．
思路点拨：首先利用相似三角形的对应边的比相等，求得AB的长，然后利用勾股定理求出BC的长即可.
3. 如图27－60－9，已知△ABC∽△DEF，AB＝6， BF＝2，CE＝14，CA＝10，DE＝15. 求线段DF，FC的长.
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专题五 核心素养
1．（模型思想、应用意识）如图Z27－5－1是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10 mm”刻度，点A正对“30 mm”刻度线，DE∥AB.若量得AB的长为6 mm，则内径DE的长为__________mm．（ ）
A．3 B.2
C．1 D.4
B
30°
3．（模型思想、推理能力、应用意识）（人教P43习题8改编）如图Z27－5－3，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB
的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为
______________.
AB＝3CD
18
5．（几何直观、应用意识）（2021·南通）如图Z27－5－5，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，求楼高BC.
（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF.
∴∠DFC＝∠AED.又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE.∴△DFC∽△AED.
解：（1）四边形BEDF为平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF.∴BE∥DF.
∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形.
8．（几何直观、推理能力、创新意识）（2021·杭州）如图Z27－5－8，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）；
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，
点F重合），点D在线段AE上（不与点A，
点E重合），∠ABD＝∠CBE，
求证：BG2＝GE·GD.
（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC.
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC.
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第二十七章 相 似
第66课时 相似三角形的应用（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.如图27－66－1，A,B在河的两侧，若BC＝CD，AB⊥MN于点B，ED⊥MN于点D，DE＝100 m，
河宽AB＝______________ m．
100
2.如图27－66－2，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝22 m，
则AB＝______________m．
44
探究新知
先从实际问题中构造出______________三角形模型，然后利用相似三角形对应
边的比______________
求解. 常见模型如图27－66－3.
知识点一 利用三角形的相似测量物体高度
相似
相等
1. 如图27－66－4，小东用长2 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O. 此时，OD＝3 m，DB＝6 m，则旗杆AB的高为______________m.
6
知识点二 利用三角形的相似测量河宽(距离)
一般步骤：
(1)______________：将实际问题抽象为数学问题，并画出平面图形；
(2)______________：根据已知条件，证明两个三角形相似；
(3)______________：利用相似三角形的性质，求出边长，得到数学问题的答案；
建模
证明
计算
(4)作答：得到实际问题的答案. 常见模型如图27－66－5.
2.如图27－66－6，A,B两点被一条河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上.随后测得DE＝20 m，则A，B两点间的距离是( )
A.60 m
B.50 m
C.40 m
D.30 m
C
课堂导练
【例1】（人教九下P43习题10改编）小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图27－66－7所示，他把镜子放在水平地面上的点C，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A的像，量得BC＝10 m，
CF＝2 m．已知EF，AB均与地面BF垂直，
小明的眼睛距离地面1.5 m
（即EF＝1.5 m），请你求出松树AB的高．
思路点拨：根据镜面反射的性质得出△CFE∽△CBA，再根据其相似比解答．
1. 如图27－66－8，一实验中学某班学生在学习完“利用相似三角形测高”后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度. 若标杆BE的高为1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，求学校体育馆CD的高度.
【例2】（人教九下P40例5改编）某校九年级数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度.如图27－66－9，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25 m，
BD＝12 m，DE＝35 m，求河的宽度AB.
思路点拨：先证明△ABC∽△ADE，然后根据对应边的比相等求AB的长度．
2. 如图27－66－10，为了计算河两岸间的宽度，小明在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河岸的另一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，BC与AE的交点为点D. 测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，请求出两岸之间AB的距离.
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第二十七章 相 似
第61课时 相似三角形的判定（一）
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.若如果两个三角形的角分别______________，边
______________，则这两个三角形叫做相似三角形.
相等
成比例
2.全等三角形的判定方法有______________________________________________.
“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”
探究新知
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段______________；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的______________)，所得的对应线段______________.
知识点一 平行线分线段成比例定理
成比例
延长线
成比例
C
知识点二 相似三角形的判定定理——平行线法
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形______________.几何语言：
如图27－61－2，
∵______________，
∴△ADF∽△ABC.
相似
DF∥BC
2. 如图27－61－3，在□ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，则图中与△DEF相似(不包括本身)的三角形共有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
知识点三 利用相似三角形进行简单的计算
方法：先由已知条件判定两个三角形______________，再运用相似三角形的简单性质得到对应角______________或对应边______________，后进行相关计算或证明.
相似
相等
成比例
3. 如图27－61－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，且BD＝6 cm，DA＝3 cm，BE＝4 cm，则BC＝______________cm.
6
课堂导练
8
【例2】如图27－61－7，在△ABC中，点D在AB上，DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于点F，求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC.∴△ADE∽△EFC.
思路点拨：根据平行线判定三角形相似的
方法，先找到平行线所截的三角形从而找
到对应的相似三角形.
2. 如图27－61－8，已知AB∥CD∥EF，找出图中所有相似三角形.
解：△AOB∽△DOC，
△AOB∽△FOE，
△DOC∽△FOE.
【例3】如图27－61－9，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的长.
思路点拨：根据平行得出三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AC的长.
3. 如图27－61－10，已知AB∥CD，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的长和∠D的度数.
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第二十七章 相 似
第65课时 相似三角形的周长和面积
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
2.如图27－65－2，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D，E各点均为格点，则图中△______________（用字母表示）∽△ABC．
DEB
探究新知
相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于______________.
一般地，相似三角形对应线段的比等于______________.
知识点一 相似三角形对应线段的性质
相似比
相似比
1.如果两个三角形相似且相似比9∶16，那么这两个三角形对应边上的高的比是( )
A．81∶256 B.9∶16
C．3∶4 D.16∶9
B
知识点二 相似三角形周长的性质
相似三角形周长的比等于______________.
相似比
2. 已知两个相似三角形的相似比为1∶7，那么这两个三角形的周长之比为______________.
1∶7
知识点三 相似三角形面积的性质
相似三角形面积的比等于________________________.
相似比的平方
3. 两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的面积之比为______________.
4∶9
知识点四 相似三角形性质的综合运用
综合运用相似三角形的性质时，一要找准______________关系，找准______________；二要熟记相似三角形对应线段的比和周长的比都等于______________，面积的比等于_______________________.
对应
相似比
相似比
相似比的平方
4. 已知两个相似三角形的面积比是4∶25，其中较小的三角形的周长为18 cm，则较大的三角形的周长为_____________cm.
45
课堂导练
【例1】如果两个相似三角形对应边之比1∶9，那么它们的对应中线之比是( )
A．1∶2 B.1∶3
C．1∶9 D.1∶81
思路点拨：根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
C
1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是( )
A. 1∶2 B. 1∶4
C. 1∶6 D. 1∶8
A
D
2. 若△ABC与△DEF相似，且相似比为3∶1，△ABC的周长为18，则△DEF的周长为( )
A. 54 B. 6
C. 3 D. 2
B
【例3】如果两个相似三角形对应高的比是1∶2，其中较小三角形面积是12，那么另一个三角形面积是______________.
思路点拨：设另一个三角形面积为x，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，计算得到答案.
48
3. 若两个相似三角形的面积的比是9∶25，则对应边上的中线的比为______________.
3∶5
【例4】两个相似三角形周长的差是4 cm，面积的比是16∶25，那么这两个三角形的周长分别是多少？
解：∵两个相似三角形的面积的比是16∶25，
∴这两个三角形的相似比是4∶5，周长的比是4∶5.
设其中一个三角形的周长为4x cm,
则另一个三角形的周长为5x cm.
由题意，得5x－4x＝4.解得x＝4.
∴4x＝16,5x＝20.
∴这两个三角形的周长分别是16 cm，20 cm.
思路点拨：由相似三角形的面积的比是16∶25得出两个三角形的相似比，进而得出周长比，列方程求解即可.
4.（原创题）如图27－65－3，点D在边BC上，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若S△ABC∶S△ADE＝16∶25，DE＝10，
CD＝2，求BD的长．
（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD.
∴∠BAC＝∠DAE.
又∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE.
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
S△ABC∶S△ADE＝16∶25，
∴BC∶DE＝4∶5.
∵DE＝10，∴BC＝8.
∵CD＝2，∴BD＝BC－CD＝6．
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第二十七章 相 似
第62课时 相似三角形的判定（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.如图27－62－1，已知AB＝AC，BD＝CD，则直接能使△ABD≌△ACD的根据是( )
A．SAS B.ASA
C．AAS D.SSS
D
2.如图27－62－2，设AD与BC相交于点O，已知OA＝OD.下面条件中，并不能判断△AOB≌△DOC的条件是( )
A．∠A＝∠D
B.∠B＝∠C
C．OB＝OC
D.AB＝CD
D
探究新知
三边______________的两个三角形相似.
几何语言:
如图27－62－3，
∵____________________________________，
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点一 相似三角形的判定定理——三边法
成比例
A
知识点二 相似三角形的判定定理——两边及其夹角法
两边______________且______________的两个三角形相似.
几何语言:如图27－62－4，
∵_______________________，
______________,
∴△ABC∽△A′B′C′.
成比例
夹角相等
∠A＝∠A′
2. 如图27－62－5，点D在△ABC的AB边上，当ADAC＝
______________时，△ACD与△ABC相似.
课堂导练
【例1】如图27－62－6，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，
并说明理由．
思路点拨：先计算出两个三角形的各边长，然后利用三边对应成比例的两三角形相似判断△ABC与△DEF相似．
1. 如图27－62－7，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
【例2】如图27－62－8，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1．求证：△ABC∽△EDC．
思路点拨：根据公共角∠C的两边成比例判断即可．
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第二十七章 相 似
第67课时 相似三角形的应用（二）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.如图27－67－1，小芳和爸爸一起散步，
爸爸的身高是1.8 m，他在地上的影子
长2.1 m，若小芳的身高只有1.2 m，则她的影长为( )
A.1.2m B.1.4m
C.1.6m D.1.8m
B
2.如图27－67－2，为了测量河宽AB，小明将一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点O,D,B和点O,C,A分别在同一条直线上.量得CD＝10 m，OC＝15 m，OA＝45 m，则河宽AB为______________m.
30
探究新知
利用相似三角形的性质解决实际问题的核心是构造______________三角形(必要时可以作辅助线)，在构造的三角形中，被测物体一般是其中的一边，而其余的边容易测量. 常见模型如图27－67－3.
知识点一 作辅助线构造相似三角形解决实际问题
相似
1.小明想要利用标杆测量学校旗杆的高度，如图27－67－4，已知标杆高度CD＝3 m，标杆和旗杆的水平距离BD＝15 m，小明的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，小明到标杆的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高
度为______________m.
13.5
知识点二 利用“相似三角形对应高的比等于相似比” 解决实际问题
像物理学中有关“小孔成像”的问题，我们可以构造相似三角形，再运用“相似三角形对应高的比等于______________”进行求值.常见模型如图27－67－5.
相似比
我军边防部队发现河对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图27－67－6所示.若此时眼睛到食指距离l约为70 cm，食指AB长约为7 cm，旗杆CD高度为28 m，则对方与我军距离d约为______________m.
280
课堂导练
【例1】（人教九下P40例6改编）如图27－67－7，为了测量古塔的高度，小红将标杆CD竖直插在地面上，然后自己往后退，使眼睛通过杆的顶端C刚好看到塔顶A.已知小红眼睛到地面高度EF＝1.5 m，标杆
CD＝2.4 m，测得DF＝2 m，
DB＝32 m，E，G，H在同一直线
上且EH⊥AB.求古塔的高AB.
思路点拨：根据给出的条件,得到△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．
1. 如图27－67－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使三角形纸板的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，
CD＝10 m，求树高AB.
【例2】如图27－67－9，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
思路点拨：先根据题意得出△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质得到相似比，计算即可得出答案.
2. 如图27－67－10，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1 m，胶片的高BC为0.038 m.若需要投影后的图像DE高为1.9 m，则投影机光源离屏幕大约为多少米？
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第二十七章 相 似
第69课时 位似（二）
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01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.在平面直角坐标系中，将
点A（－2，1）向右平移4个单位长
度，再向下平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为 ______________．
（2，－2）
2.如图27－69－1，四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，且OE＝2AE，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为 ______________．
4∶9
探究新知
一般地，在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的新图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为______________或_____________________.
知识点一 位似变换中对应点的坐标变化规律——位 似中心是原点
(kx，ky)
(－kx，－ky)
1.如图27－69－2，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－3，2），（－2，3），以原点O为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将△OAB放大，则点B的对应点B′的坐标为( )
A．（6，－9）
B.（9，－6）
C．（6，－4）
D.（4，－6）
A
知识点二 位似变换与坐标变换的综合运用
(1)弄清楚___________________及位似变换是放大还是缩小;
(2)可以先作位似图形，后写对应关键点的坐标；也可以利用位似变换中对应点的坐标变化规律，先计算对应点的坐标，后描点连线画图;
(3)以原点为位似中心的位似图形的坐标变化，一定要注意______________的变化，简要地说，若两图形在原点同侧，则符号不变;若在原点异侧，则符号相反.
位似中心
符号
2. 在平面直角坐标系中，点E(－4，2)，F(－2，－2). 以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△EFO缩小，得到△E′F′O，则点E的对应点E′的坐标是______________________________.
(－2，1)或(2，－1)
课堂导练
【例1】（人教九下P50练习2改编）在△ABO中，点A（－6，0），点B（－4，－2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比1∶2把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为
_____________________________．
思路点拨：根据位似变换的性质计算即可得出答案,要注意答案有两种情况．
（－8，－4）或（8，4）
1. 如图27－69－3，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心. 相似比为2∶3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标
是__________________.
【例2】如图27－69－4，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度). (1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到
的△A1B1C1，点C1的坐标
是______________；
(2，－2)
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
(3)四边形AA2C2C的面积是______________平方单位.
解：(1)如答图27－69－1，△A1B1C1即为所求.
7.5
(2)如答图27－69－1，△A2B2C2为所求.
思路点拨：(1)先画图，再根据图象找出所求点的坐标即可；(2)根据相似比找到A2,B2,C2,再顺次连接即可得到△A2B2C2；(3)根据四边形AA2C2C的面积＝△AA2C的面积＋△A2C2C的面积解答即可.
2. 如图27－69－5,在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，4)，B(6，0).
(1)以原点O为位似中心，在点O
的异侧画出△OAB的位似图形
△OA1B1，使它与△OAB的相似
比是1∶2；
(2)写出点A1,B1的坐标.
解：(1)如答图27－69－2,△OA1B1即为所求.
(2)A1(－1，－2)，B1(－3，0).
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第二十七章 相 似
第64课时 相似三角形的性质和判定的综合
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.如图27－64－1，在△ABC中，DE∥BC，
若AD∶DB＝3∶2，AE＝
6 cm，则EC的长为
______________ cm．
4
2.如图27－64－2，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A，B，P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件
是______________________________．
（填写一个条件即可）
BP＝2CP(答案不唯一)
探究新知
综合运用相似三角形的性质和判定，计算线段的长时，需要先找到图中的______________三角形，利用相似三角形对应边的比相等得出______________，再进一步求出线段的长度.
知识点一 相似三角形的性质和判定的综合计算
相似
比例式
1. 如图27－64－3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝3，CE＝1，那么BD的长为______________.
4
知识点二 利用相似三角形证明等比式或等积式
方法：若要证明等积式ad＝bc,则转化为比例式
_________________________，再观察a，b(或a，c)与c，d(或b，d)是否分别在两个三角形中，如果在两个三角形中，可证明这两个三角形______________，否则可转化其中的某条线段，再证明三角形相似.
相似
2.如图27－64－4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，
BD＝2，那么BF∶DE的值是 ______________．
知识点三 圆中的相似三角形
在圆中证明三角形相似时，要善于利用“圆心角定理”“圆周角定理” 及其推论和“圆内接四边形的对角互补”等性质，寻找到相等的______________角或______________角，为三角形相似创造条件.
圆心
圆周
9
课堂导练
【例1】如图27－64－6，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD的长为______________.
思路点拨：先证明△ABC∽△DAC，
得出比例式，代入数据即可求出CD的长.
4
1. 如图27－64－7，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E，交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为
______________.
思路点拨：根据垂直的定义,得∠AEB＝∠ADC＝90°，再证明△AEB∽△ADC即可.
【例3】如图27－64－10，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．求证:
（1）△ABC∽△ADE；
（2）AD是⊙O的切线．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.由题意,得四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠AEC＝180°．
∵∠AED＋∠AEC＝180°，
∴∠B＝∠AED.∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠AED.
∴△ABC∽△ADE.
（2）如答图27－64－1，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB,OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．∴∠AMC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠DAO＝∠AMC＝90°.
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
思路点拨：（1）根据平行四边形的性质与内接四边形的性质，找到对应角之间的关系，进而得出结论；
（2）连接半径AO并延长，交BC于点M，连接OB,OC．可得AM垂直平分BC．进而根据切线的判定定理即可得出结论．
3.如图27－64－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆交斜边AB于点D，E为BC的中点，连接DE，CD．过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝5，DF＝3，求⊙O的半径．
【例4】如图27－64－12，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，BC＝CD，CF⊥AD，垂足为F．直线CF交AB的延长线于点E，连接AC．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AC2＝AB·AF．
思路点拨：（1）连接OC，利用等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质即可证明OC∥AF，进而得出结论；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后证明△ACF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可得出结论．
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专题四 模型拓展——四大相似模型
类型一：X字型（8字型）——有对顶角
(1)
已知：AB∥CD，
基本结论：△AOB∽△DOC.
(2)
已知：∠A＝∠D或∠B＝∠C，
基本结论：△AOB∽△DOC.
2．如图Z27－4－2，已知∠B＝∠C，OA＝4，OD＝3，
OC＝8，求OB的长.
类型二：A字型——有公共角
(1)
已知：DE∥AB，
基本结论：△ADE∽△ABC.
3．如图Z27－4－3，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝4，求DB的长．
类型二：A字型——有公共角
(2)
已知：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，
基本结论：△ADE∽△ACB.
(3)
已知：∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，
基本结论：△ACD∽△ABC.
4．如图Z27－4－4，已知D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠AED＝∠C，AE＝5，AC＝9，DE＝6．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求BC的长．
（1）证明：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE.
类型三：双垂直型（射影定理）
已知:在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
基本结论：△ACD∽△CBD∽△ABC.
6．如图Z27－4－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）若AC＝4，BC＝3，求BD的长．
（1）证明:∵∠ACB＝
90°，CD 是AB 边上的高，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD.
类型四：K字型——一线三等角（直线同侧有三个相等的角）
已知：∠A＝∠B＝∠DPC，
基本结论：△APD∽△BCP.
（1）证明:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC.
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE.
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第二十七章 相 似
第59课时 相似多边形的性质及判定
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.观察下列每组图形，相似图形是( )
D
2.下列三角形与图27－59－1全等的三角形是( )
C
探究新知
相似多边形的对应角______________，对应边______________.相似多边形______________的比叫做相似比.
知识点一 相似多边形的性质
相等
成比例
对应边
1.如图27－59－2所示的两个四边形相似，若∠B＝55°，∠C＝70°，∠A′＝125°，则∠D＝______________.
110°
知识点二 相似多边形的判定
判断两个多边形相似，必须同时具备：对应角______________，对应边______________.
相等
成比例
2.如图27－59－3，有甲、乙和丙三个矩形，其中相似的是( )
A. 甲和丙
B. 甲和乙
C. 乙和丙
D. 三个矩形都不相似
A
知识点三 在网格(格点)中画相似图形
将一个图形放大或缩小后所得到的图形，与原图形是______________的.我们可以综合运用相似多边形的概念及其性质等知识画图，并判定画出的图形是否与原图形相似.
相似
3. 小聪在图27－59－4的格点图中，画了两个矩形，这两个矩形之间的关系是______________.
相似
课堂导练
【例1】如图27－59－5，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似.
(1)图中α的度数为______________；
（2）它们的相似比是______________；
(3)图中x的值为______________，
y的值为______________.
83°
12
思路点拨：(1)根据相似多边形对应角相等求出∠A′,∠B′,再根据四边形的内角和求出α的度数;(2)根据相似多边形对应边成比例求出相似比; (3)根据(2)中相似比列比例式计算即可.
1.如图27－59－6，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE和矩形DEFC相似，且相似比为1∶2，求AD的长.
【例2】两个矩形的边长如图27－59－7所示.求证：矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似.
思路点拨：根据对应角相等，对应边成比例证明即可.
2. 试判断如图27－59－8所示的两个矩形是否相似.
【例3】在如图27－59－9的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的顶点都在格点上，下列图形中相似的是( )
A.①和②
B.①和③
C.②和④
D.③和④
B
思路点拨：根据对应角相等，对应边成比例进行判断即可.
3. 如图27－59－10的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，使新图形的各顶点仍在格点上.
解：如答图27－59－1.
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章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明.
课程标准
5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
知识导航
图形的相似 形状相同的图形称为相似图形，相似用符号“∽”表示，如△ABC∽△A′B′C′
如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形相似多边形
相似三角形 的判定 (1)平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似;
(2)三边法：三边成比例的两个三角形相似;
(3)两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(4)两角法：两角分别相等的两个三角形相似相似
三角形 的性质 (1)相似三角形(多边形)的对应角相等，对应边成比例;
(2)相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比等于相似比;
(3)相似三角形周长的比等于相似比;
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形 的应用 (1)利用影长测量物体的高度;
(2)利用相似测量河的宽度(测量距离)
位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心
位似图形的性质：(1)两个图形必须是相似图形；(2)对应点的连线相交于一点,即经过位似中心；(3)对应边互相平行或在同一条直线上;(4)任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
位似 位似变换中对应点的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的新图形，且它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)
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第二十七章 相 似
第68课时 位似（一）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
1.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
D
2.如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的对应角的平分线的比为（ ）
A．1∶2 B.1∶4
C．1∶8 D.1∶16
B
探究新知
如果两个图形不仅是______________图形，而且对应顶点的连线___________________，对应边______________或在同一条直线上，那么像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做______________.这时这两个图形关于这点______________.
知识点一 位似图形
相似
相交于一点
互相平行
位似中心
位似
1.如图27－68－1是视力表的一部分，它们均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④
B.②和③
C．①和②
D.②和④
B
知识点二 位似图形的性质
(1)位似图形的对应角______________，对应边______________;
(2)位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过________________________;
(3)位似图形的对应边______________或在同一条直线上;
(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______________.
相等
成比例
位似中心
互相平行
相似比
2. 如图27－68－2，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF ∶OC＝1∶2，则△DEF与△ABC的周长之比是______________,面积之比是______________.
1 ∶2
1 ∶4
知识点三 位似图形的画法
一般步骤：
(1)确定_______________________;
(2)分别连接位似中心和能代表原图的___________并延长;
(3)根据______________，确定能代表所作的位似图形的关键点;
(4)顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小后的图形.
位似中心
关键点
相似比
3. 如图27－68－3是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
课堂导练
【例1】如图27－68－4，图形中是位似图形的有( )
A.0个 B. 1个 C.2个 D. 3个
C
思路点拨：根据位似图形的概念直接判断.
1.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是( )
D
【例2】如图27－68－5，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则以下说法错误的是( )
A.AB∥A′B′
B.△ABC∽
△A′B′C′
C.AO∶AA′＝1∶2
D.直线CC′经过点O
思路点拨：根据位似图形的性质判断即可.
C
2. 如图27－68－6，△ABC与△DEF是位似图形，相似比是2∶3，已知AB＝4，则DE＝______________.
6
【例3】（人教九下P48练习2改编）画图：在图27－68－7中，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍.
解：如答图27－68－1，△A′B′C′与△A″B″C″即为所求.
思路点拨：连接OA并延长，使OA′＝2OA，则A′就是A的对应点，同理可以作出B，C的对应点，顺次连接A′，B′，C′，△A′B′C′就是所求三角形；但要注意位似图形一般有两个,在OA延长线上和OA反向延长线上均有A的对应点．
3. 在如图27－68－8所示的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.
(1)画图：以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，得到△A′B′C′；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似
比为______________.
2∶1
解：(1)如答图27－68－2,△A′B′C′即为所求.
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第二十七章 相 似
第63课时 相似三角形的判定（三）
目录
01
温故知新
02
探究新知
03
课堂导练
温故知新
C
2.如图27－63－1，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是
___________________________________.（填写一个条件即可）
探究新知
两角______________的两个三角形相似.
几何语言:
如图27－63－2，
∵______________,
______________,
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点一 相似三角形的判定定理——两角法
分别相等
∠A＝∠A′
∠B＝∠B′
1.∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是( )
D
知识点二 相似三角形性质和判定的简单运用
方法步骤：
(1)先判定两个三角形______________. 根据已知条件，在“平行线法”“两角法” “两边及其夹角法”“三边法”中灵活选用适当的判定方法进行判定；
(2)再运用相似三角形的简单性质得到对应角______________或对应边______________，后进行相关计算或证明.
相似
相等
成比例
3
课堂导练
【例1】如图27－63－4，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：BDE∽△EFC．
证明：∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，
∠DEB＝∠C，∠EFC＝
∠DEF.∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠EFC.∴△BDE∽△EFC．
思路点拨：根据平行线的性质找到三角形中对应角的等量关系，再利用“两角法”证明三角形相似．
1. 如图27－63－5，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∴∠EDB＋∠BED＝120°，
∠CAE＋∠AEC＝120°.
∵∠AED＝60°，
∴∠BED＋∠AEC＝180°－∠AED＝120°.
∴∠BED＝∠CAE.
∴△AEC∽△EDB.
【例2】如图27－63－6，在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C.
(1)求证：△ADB∽△ABC；
(2)若AB＝6，AD＝4，求AC的长.
(1)证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC.
思路点拨： (1)从图中易发现两个三角形的公共角相等,用“两角法”判定三角形相似；
(2)根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据得方程，计算即可.
2. 如图27－63－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，MN⊥AM，MN交CD于点N.
(1)求证：△ABM∽△MCN；
(2)若AB＝6，BM＝2，求DN的长.
(1)证明：∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°.
∴∠AMB＋∠CMN＝90°.∵∠C＝90°,
∴∠CMN＋∠MNC＝90°.
∴∠AMB＝∠MNC.
∴△ABM∽△MCN.
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专题三 中考新题型
【考情讲述】
近两年广东省、深圳市均将与相似知识有关的综合题作为重点解答题或最后一道压轴题，且还考查了其他与相似相关或具有相似实质的三角函数题，广州市也是多题考查.纵观近年来广东省与全国命题趋势发现，有关相似应用题的考查有所淡化，而相似综合题的考查则加重加难了.在今年的中考备考时，需强化相似知识的复习，积累经验，努力提高综合解题能力，借以适应这种形势的变化！
【中考真题】
（2021·广东）如图Z27－3－1，在边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
A
A
2.（2020·广州）如图Z27－3－3，在正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF·ED的值为______________．
16
3.（2021·内江）如图Z27－3－5，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，
则线段EF的长为______________.
5.（2021·深圳）如图Z27－3－8，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
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专题一 本章易错点例析
1.如图Z27－1－2，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，求线段AC的长.
易错点2.用错“相似三角形面积的比等于相似比的平方”
【例2】如图Z27－1－3，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1∶25 B.1∶4
C．1∶5 D.1∶24
2.如图Z27－1－4，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，求四边形DBCE的面积.
错解分析：解题时，不能区分“相似”与“∽”的含义，主观地认为只有一种对应关系，不加以分类，从而导致答案缺失，不完整.一般地，若“相似”没有明确指出对应关系，则常常需要对元素间的关系加以分类讨论.
谢 谢
易错点1.找错相似三角形的对应边
【例1】如图Z27一1一1，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角
线AC,BD交于点0，你能证明△AOB∽△D0C吗？若能，请
证明；若不能，请说明原因
错解：能.证明如下：.AD/BC,
AM0D△C0B..0
OD
OB
oc
.∠A0B=∠D0C,..△A0B∽△D0C
错解分析：解答时，错误地认为0A与0B,OD与0C是对应边
正确的方法是：结合图形和题意，将△A0D的边都作为比
例式中的分子，△C0B的对应边都作为分母，防止出现顺
序混乱，造成对应元素出错
正解：不能.理由如下：由△AOD∽△COB得
是
因此不能得到△A0B∽△D0C
OB
oc
解：BC=8,AD是中线：
CD
=1BC=4.在人CBA和人C
AC
.AC2=DC·BC=4X8=32
DC
A
错解：D.
错解分析：错误地认为相似三角形面积的比也等于相似比，
即D
,进而得出
BE
1而错选D.正确的应该是根据
AC
25
EC
24
面积之比得到DEAC=15再进行解答
正解：B
解：DP/BC,。.△ADP∽△ABC
又，DB=2AD
AD
AB
S
AADE
AABC
6
个DE的面积为1，.SABC
=9
°.
四边形OE一SAAC
易错点3.忽略分类讨论导致漏解
【例3】如图Z27一1一5，在△ABC中，AB=6,AC=4,P是
AC的中点，过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的
三角形与△ABC相似，则AQ的长是多少？
错解：.AC=4,P是AC的中点，.AP=
解得AQ=3..AQ的长为3.(共22张PPT)
专题二 中考重难点
一、相似三角形的判定和性质
【例1】（2021·哈尔滨）如图Z27－2－1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
B
B
2.（2021·阜新）如图Z27－2－5，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 ______________．
2∶1
A
【例4】（2021·滨州）如图Z27－2－7，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）DF2＝EF·AB.
证明：（1）如答图Z27－2－1，连接OD.
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°.∴OD∥AC.
∴∠ODA＝∠DAC.∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.∴∠DAC＝∠OAD.
∴AD平分∠BAC.
二、相似三角形的应用
【例5】（2021·盘锦）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图Z27－2－9获得，
设井深为x尺，所列方程正确的是( )
A
A
【对接中考】
5.（2021·河北）如图Z27－2－11①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图Z27－2－11②所示，此时液面AB的长是( )
A．1 cm B.2 cm
C．3 cm D.4 cm
C
6.（2021·吉林）如图Z27－2－12，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为______________m．
2.7
三、位似
【例7】（2020·河北）在如图Z27－2－13所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
A
7.（2021·嘉兴）如图Z27－2－15，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是______________.
（4,2）
8.（2021·黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2,1），B（2,0），O（0,0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为____________________________________.
（4,2）或（－4，－2）
谢 谢
