(共12张PPT)
习 题
2.3 等腰三角形
1.若等腰三角形的一个内角是30°，求这个等腰三角形的其他内角.
① 当30°角为等腰三角形的顶角时，
等腰三角形的两个底角的度数为：（80°-30°）÷2=75°.
故这个等腰三角形的其他内角为75°、75°；
② 当30°角为等腰三角形的底角时，另一个底角也为30°，
则等腰三角形的顶角的度数为：180°-30°×2=120°.
故这个等腰三角形的其他内角为30°、120°.
证明：
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=5，CD=2，求△ABC的面积.
A
B
C
D
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC的延长线上，且CD=CE，求∠D的度数.
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵CD=CE，
∴∠CED=∠D.
∵∠ACB=∠CED+∠D，
∴∠D=30°.
4.如图，CD是等腰直角三角形ABC的斜边AB上的高，DE是△DBC的边BC上的高，试找出图中所有的等腰直角三角形.
∵CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，
∴∠A=∠B=45°，∠ACD=∠BCD=45°，△ADC和
△BDC都是等腰直角三角形。
由于DE 是等腰直角△BDC的斜边上的高，同理可得，△BDE和 △CDE都是等腰直角三角形。
故图中的等腰直角三角形有5个：
△ABC、△ADC、△BDC、△BDE、 CDE.
证明：
5.上午10时，一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处.从A，B两点观望灯塔C，测得∠DAC=40°，∠DBC=80°，求从B处到灯塔C的距离.
∵∠CBD是△ABC的一个外角
∴∠CBD=∠CAB+∠C.
∵∠CBD=80°，∠CAB=40°
∴∠C=40°.∴BC=AB=40海里。
故从B处到灯塔C的距离为40海里。
证明：
6.已知：如图，∠B=∠C，AB//DE，EC=ED.
求证：△DEC为等边三角形.
A
B
E
C
D
证明：∵∠B=∠C，AB∥DE，
∴∠DEC=∠C，
∵EC=ED，
∴∠C= ∠EDC,
∵∠DEC=∠C=∠EDC=60°，
∴△DEC为等边三角形.
7.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD.
求证：BD=DE.
证明：
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，且AD=DC=BC.求△ABC各内角的度数.
∵AD=DC
∴∠A=∠ACD
∵∠BDC是△ACD的外角
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A
∵DC=BC
∴∠B=∠BDC=2∠A
∵AB=AC
∴∠ACB=∠B=2∠A
∵△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°
∴∠A+2∠A+2∠A=180°
∴∠A=36°
∴∠B=∠ACB=72°
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C，
从而得：∠C=（180°-∠A）÷2
∵BD⊥AC，
∴∠C=90°- ∠CBD，
∴（180°-∠A）÷2=90°-∠CBD
证明：
10.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点.
求证：△DEF是等边三角形.
本课结束(共30张PPT)
2.3 等腰三角形
第1课时 等腰（边）三角形的性质
1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质；
（重点）
2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明
和计算.（重点、难点）
学习目标
我们前面已经学习了三角形的一些性质，
那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
课前回顾
定义及相关概念
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
一、等腰三角形的性质
探 究 一
A
B
C
AB = AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
等腰三角形是轴对称图形.
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
探 究 二
任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C，点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线 对称.
AB
AB
B
AD
由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段 ，从而AD是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线 ，
因此∠BDA ∠CDA= °，从而AD是底边BC上的
.
由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线 ，因此
∠B ∠C.
DC
中线
高
=
90
DA
CB
=
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”).
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).
总结归纳
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
明辨是非
（√）
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
（1）∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
X
X
X
X
√
√
判一判
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE.
证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF=CF，
∴ BF-DF=CF-EF，
DF=EF，
即 BD=CE.
F
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
典例精析
（2）设∠A=x，请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
练1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
∵ ∠A + ∠ABC + ∠ C = 180 °，
∴ x + 2x + 2x = 180 °，
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x，
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得 x=36 ° ，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
动 脑 筋
A
B
C
△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°.
二、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°
A
B
C
A
B
C
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分 线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
练习 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
议 一 议
三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
(1)AD与BC是否垂直，试说明理由；
(2)这时BC处于水平位置，为什么？
（1）∵D是BC的中点；
∴BD= DC；
∵AB= AC;
∴AD⊥BC(三线合一)
（2）这时BC处于水平位置，是因为重锤线与地平线垂直.
A
D
C
B
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
练 习
3.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
C
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为
；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为
.
75°， 30°
72°，72°或36°，108°
30°，30°
5.如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的高，
∠BAC = 49°，BC=4求 ∠BAD 的度数及DC的长.
A
B
C
D
∵AB=AC，AD ⊥BC，
6.如图，点P为等边△ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，
求∠DPC的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°.
∵AD=AP,
∴∠APD=∠ADP=80°，
∴∠DPC =∠ADP-∠C=20°.
7.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于60°
课堂小结
本课结束(共26张PPT)
2.3 等腰三角形
第2课时 等腰（边）三角形的判定
1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；
（重点）
2.进一步理解、体会推理论证的方法；
3.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用.（重点、 难点）
学习目标
探 究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有
什么关系吗？
B
C
A
我测量后发现AB与AC相等.
一、等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
得∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得：
∠ADB=∠ADC.
D
1
2
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
从而点B与点C重合，
于是AB=AC.
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
知识要点
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明： ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ △ADE为等腰三角形.
典例精析
练习 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行线=等腰三角形
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
1、如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
变式训练
是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD，
∵AD∥BC，∠EDB=∠CBD，
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
定理1：三个角都60°的三角形是等边三角形.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
二、等边三角形的判定定理
证明定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC
由三角形内角和定理得:∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
如果是底角∠B=60°（或∠C=60°）呢？
动 脑 筋
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BA，CA 的延长线上，且AD=AE．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵∠EAD =∠BAC =60°，
又AD = AE，
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
变式1：如图,在等边三角形ABC中，AD=AE．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
变式2:上题中,若将条件AD=AE改为DE∥BC， △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
△ADE还是等边三角形，理由如下：
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
练 习
2.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm，EC =2cm，则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
9
第2题图
第3题图
4.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
A
B
C
O
5.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE (等角对等边)．
7.已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.
求证：△ACE是等边三角形.
A
D
B
E
C
证明：∵CD平分∠ACB
∴∠BCD=∠ACD
∵AE//DC
∴∠EAC=∠ACD，∠E=∠BCD
∴∠E=∠EAC
∴△ACE是等腰三角形
∵∠ACE=60°
∴△ACE是等边三角形.
8.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF//BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
等腰(边)三角形的判定
等腰三角形的判定
等角对等边
注意是指同一个三角形中
等边三角形的判定
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
课堂小结
本课结束
