(共10张PPT)
习 题
4.3一元一次不等式的解法
1.解下列不等式：
3x > 11 +4
3x > 15
x > 5；
4x-3x < 6+5
x < 11；
3(3x-5)-7(x+4) ≥ 21，
9x-15-7x -28 ≥ 21，
9x-7x ≥ 21+28+15，
2x ≥ 64，
x ≥ 32.
3.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
5x+1=7x+5； (2)1-2x＞6x+5；
5x-7x ≥ 5-1，
-2x ≥ 4，
x ≥ -2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
2x-3 < 4x-1，
2x-4x < -1+3，
-2x < 2，
x > -1.
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
8(1+x)-6 ≤ 3(4+x），
8+8x-6 ≤ 12+3x，
8x-3x ≤ 12+6-8，
5x ≤ 10，
x ≤ 2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
4.根据图中数轴所表示的不等式的解集，分别写出对应的不等式(未知数为x）
（1）
（2）
x＜2
x ≥ -3
6.关于x的不等式 (a+1)x > a + 1的解集是 x < 1，求 a 的取值范围.
∵ 关于x的不等式 (a + 1)x > a + 1 的解集为 x < 1·
∴ a +1 < 0
解得 a < -1
7.(1)解不等式：5(x-2)+8<6(x-1)+7；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x-ax=3的解，求a的值.
(1) 5(x-2)+8<6(x-1)+7
5x-10+8<6x-6+7
5x-2＜6x+1
-x < 3
x > -3.
由(1)得，最小整数解为 x = -2，
∵ 2×(-2)-a×(-2) = 3
∴ a = 2.
本课结束(共24张PPT)
4.3一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法
1.理解和掌握不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义；
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式．
（重点、难点）
学习目标
动 脑 筋
已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？
本问题中涉及的数量关系是：
工人重 + 货物重 ≤ 最大载重量.
一、一元一次不等式的概念
设能载 x 件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有
75＋25x≤1200.
只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
像75 + 25x ≤1200 这样，
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0
(3) (4)x(x–1)<2x
左边不是整式
化简后是 x2-x<2x
练一练
练习 已知 是关于x的一元一次不等式，
则 a 的值是________．
解析：由 是关于 x 的一元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出 a 的值等于1.
1
为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式
75+25x＜1200 ① 的x的值.如何求呢？
与解一元一次方程类似，我们将根据不等式的基本性质，进行如下步骤：
将①式移项，得
25x ≤ 1200-75，
即 25x ≤ 1125. ②
将②式两边都除以25(即将x的系数化为1)，得
x = 45.
因此，升降机最多装载45件25 kg重的货物.
我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解。例如，5.4，6，3 19都是3x>15的解，这样的解有无数个.
我们把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.例如我们用x >5表示 3x >15的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形如 x ≤ 5a (或 x < a，x > a，x ≥ 2a)的不等式，就可得到原不等式的解集.
二、不等式的解集的概念
你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗
下列各数中，哪些能使不等式x＞5成立？
3，4， 5， 6，7.2，8.5， 9．
有（ ） 个.
无数
概括总结
把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
不等式的解集必须满足两个条件:
1.解集中的任何一个数值都使不等式成立;
2.解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
概念区分
不等式的解 不等式的解集
区 别 定义
特点
形式
联系
满足一个不等式的未知数的某个值
满足一个不等式的未知数的所有值
个 体
全 体
如:x=3是2x-3<7的
一个解
如:x<5是2x-3<7的解集
某个解定是解集中的一员
解集一定包括了某个解
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
练一练
判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解； （ ）
(2) 不等式x+1<2的解有无穷多个； （ ）
(3) x=3是不等式3x<9的解 （ ）
(4) x=2是不等式3x<7的解集； （ ）
√
×
×
×
练习 下列说法：①x＝0是2x－1＜0的一个解；②x＝－3不是3x－2＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
下列说法正确的是 ( )
A. x=3是2x+1>5的解
B. x=3是2x+1>5的唯一解
C. x=3不是2x+1>5的解
D. x=3是2x+1>5的解集
A
练一练
解不等式：
4x-1<5x+15
解方程：
4x-1=5x+15
解：移项，得
4x-5x=15+1
合并同类项，得
-x=16
系数化为1，得
x=-16
解：移项，得
4x-5x<15+1
合并同类项，得
-x<16
系数化为1，得
x>-16
三、解一元一次不等式
例1 解下列一元一次不等式 ：
（1） 2-5x < 8-6x ；
（2） .
解：
（1） 原不等式为2-5x < 8-6x
将同类项放在一起
即 x < 6.
移项，得 -5x+6x < 8-2，
计算结果
典例精析
首先将分母去掉
去括号
将同类项放在一起
计算结果
根据不等式性质3
议 一 议
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.
练1 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8，
因为其解集为x＜3，
所以 .
解得 m=－1.
练2： 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8，
因为其解集为x＜3，
所以 .
解得 m=－1.
1. 解下列不等式：
（1） -5x ≤ 10 ；
（2）4x -3 < 10x + 7 .
2. 解下列不等式：
（1） 3x -1 > 2(2-5x) ；
（2） .
x≥10÷(-5)
x ≥ -2
习 题
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
解：
解得 x ≤ 6.
由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.
课堂小结
本课结束(共21张PPT)
4.3一元一次不等式的解法
第2课时 在数轴上表示一元一次
不等式的解集
1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法;
2.准确掌握不等式的解集在数轴上的表示方法，能正确地在数轴上表示出不等式的解集．（重点、难点）
学习目标
用不等式来刻画比－1大的数为 x >－1.
结合数轴与不等式这两者的相关知识，我们是否可以将不等式的解集在数轴上通过点用含有方向的线段来表示呢
如图所示的数轴，如果在上面标注－1，则比－1大的数位于－1的左边还是右边？
0
－1
回顾与思考
动 脑 筋
如何在数轴上表示出不等式 3x＞6的解集呢？
一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来.
容易解得不等式 3x > 6 的解集是 x > 2.
先在数轴上标出表示2的点A
则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2
因此可以像图那样表示不等式的解集x>2.
问题1 如何在数轴上表示出不等式 x ＞2的解集呢？
0
1
2
3
4
5
6
-1
A
把表示2 的点Ａ 画成空心圆圈，表示解集不包括2.
一、在数轴上表示不等式的解集
0
-1
0
1
用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
大于向右画，小于向左画;
>，<画空心圆.
问题2 在数轴上表示x ≤ 5的解集.
-1
0
1
2
3
4
5
6
解集 x ≤ 5 中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
符号“≤”表示“小于等于”，“≥”表示“大于等于”.
归纳总结
用数轴表示不等式解集的方法：
（1）画数轴；
（2）定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心点表示；不包含在解集中，则用空心点表示.
（3）定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画.
例2 解不等式12-6x＞2(1-2x），并把它的解集在数输上表示出来.
解 去括号，得 12-6x ≥ 2-4x.
移项，得 -6x+4x ≥ 2-12.
合并同类项，得 -2x ≥ -10.
两边都除以-2，得 x ≤ 5.
在数轴上表示x ≤ 5的解集.
-1
0
1
2
3
4
5
6
解集 x ≤ 5 中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
典例精析
解
解得 x ≤ 6.
x≤6在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
由图可知，满足条件的正整数有 1 ，2，3，4，5，6.
解：由方程的定义，把 x=3 代入 ax+12=0中，
得 a=－4.
把a=－4代入（a+2）x＞－6中，
得－2x＞－6，
解得 x＜3.
在数轴上表示如图：
其中正整数解有1和2.
练习 已知方程 ax+12=0的解是 x=3，求关于x不等式(a+2)x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？
-1
0
1
2
3
4
5
6
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） 4x-3 < 2x+7 ；
（2） .
解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为
(2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为：
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
-11
练 习
2. 先用不等式表示下列数量关系，然后求出它们的解集，并在数轴上表示出来：
-1
0
1
2
3
4
5
x ≥ 2，
解得 x ≥ 4 .
不等式的解集在数轴上表示为
解：
（2） x与2的和不小于1；
解：
x+2 ≥ 1，
解得 x ≥ －1.
不等式的解集在数轴上表示为
-1
0
1
2
3
4
5
（3） y与1的差不大于0；
y－1 ≤ 0
解得 y ≤ 1
不等式的解集在数轴上表示为
解：
-1
0
1
2
3
4
5
（4） y与5的差大于-2.
y-5 > -2，
解得 y > 3 .
不等式的解集在数轴上表示为
解：
-1
0
1
2
3
4
5
3. 不等式x＞－2与x ≥－2的解集有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
4. 用不等式表示图中所示的解集．
x＜2
x≤2
x≥ -7.5
5.y为何值时，代数式 的值不大于代数式 的值，并求出满足条件的最大整数．
解：依题意，得
去分母得：4(5y＋4)≤21－8(1－y)，
去括号得：20y＋16≤21－8＋8y，
移项得：20y－8y≤21－8－16，
合并同类项得：12y≤－3，
把y的系数化为1得：y≤
在数轴上表示如下：
由图可知，满足条件的最大整数是－1.
不等式解集的表示
应用不等式的基本性质
课堂小结
本课结束
