技能演练
1.下列语句是命题的是( )
①72＋1≠50 ②5－x＝0 ③存在x∈R，使x2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
答案 B
2．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为( )
A．若一个数是负数，则它的平方是正数
B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
C．若一个数的平方是正数，则它是负数
D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数
答案 C
3．以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面α的一条斜线有且只有一个平面与α垂直；③平行于同一条直线的两个平面平行．其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①错，异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，②正确，③错．
答案 B
4．下列命题中是假命题的是( )
A．任意的锐角三角形ABC中，有sinA>cosB成立
B．命题“若x2－3x＋2＝0，则有x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
C．把y＝sin3x(x∈R)的图像上所有的点向右平移个单位即可得到函数y＝sin(3x－)(x∈R)的图像
D．直线x＝是函数y＝2sin(2x－)的图像的一条对称轴
解析 A正确．因为△ABC为锐角三角形，∴∠A＋∠B>，>∠A>－∠B>0，∴sinA>sin(－B)＝cosB.
B正确．
C正确．函数y＝sin3x的图像上所有点向右平移个单位得到函数y＝sin3(x－)＝sin(3x－)的图像．
D不正确．
答案 D
5．下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”
②“边数相等的正多边形都相似”
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”
④“若x－3是有理数，则x是无理数”
A．①②③④ B．②③④
C．①② D．①③④
答案 A
6．有下列命题：①ax2＋5x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题的序号是________．
答案 ③
7．命题：若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)是________命题(“真”或“假”)．
答案 真
8．“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是________．
答案 若a≤b，则2a≤2b－1
9．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)偶函数的图像关于y轴对称．
解 (1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题．
(2)若一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称，是真命题．
10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)对顶角相等；
(3)若m≤0，或n≤0，则m＋n≤0.
分析 分清条件和结论，利用相关知识点判断真假．
解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
(2)逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角．假命题．
否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．假命题．
逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．真命题．
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0，或n≤0.真命题．
否命题：若m>0，且n>0，则m＋n>0.真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0，且n>0.假命题.
感悟高考
(2010·福建)设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题中：①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；③若l＝，则－≤m≤0.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
技能演练
1.若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
答案 B
2．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2的逆否命题”；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①逆命题：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．
②∵原命题是假命题，∴其逆否命题是假命题．
③否命题：“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，例如x＝4>－3，则有x2＋x－6＝16＋4－6>0.∴为假命题．
④逆命题：“若a，b是无理数，则ab是无理数．”举反例，取a＝()，b＝，则ab＝2是有理数，故为假命题．
答案 B
3．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，b?α，c?α，则下列命题不成立的是( )
A．若α∥β，c⊥α，则c⊥β
B．“若b⊥β，则α⊥β ”的逆命题
C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则b⊥c
D．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题
答案 B
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①的逆命题“面积相等的三角形必全等”是假命题．
②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题．
③当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与逆否命题均为真命题．
答案 C
5．命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac<0，则方程无实根”的否命题的逆否命题是( )
A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac≥0，则方程有二实根
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根，则其Δ＝b2－4ac<0
C．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有二实根，则其Δ＝b2－4ac≥0
D．以上均不对
答案 B
6．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是v，则q是v的________命题．
答案 逆否
7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，是真命题的是________．
答案 逆否命题
8．有下列四个命题：
①“若∠A＝60°，则sinA＝”的逆命题；
②“若∠A＝∠B，则sinA＝sinB”的逆否命题；
③“若a＋b是无理数，则a，b都是无理数”的逆命题；
④“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________．
答案 ②④
9．判断命题“已知a，x∈R，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解 原命题的逆否命题为：
已知a，x∈R，如果a<1，那么关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7
∵a<1，∴4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．
10．设命题“如果a，b，c均为奇数，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有等根”．试判断它的四种命题的真假．
解 设a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1(m，n，p∈Z)，
则b2－4ac＝(2n－1)2－4(2m－1)(2p－1)
＝4[n2－n－(2m－1)(2p－1)]＋1为奇数．
∴b2－4ac≠0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有等根．
即原命题是真命题．
它的逆否命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有等根，则a，b，c不全为奇数”也是真命题．
它的逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有等根，则a，b，c均为奇数”
当a＝1，b＝0，c＝－1时，方程x2－1＝0没有等根，其中b＝0不是奇数．
所以它的逆命题是假命题．
它的否命题“如果a，b，c不全为奇数，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有等根”也是假命题．
技能演练
1.“α＝”是“cos2α＝”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 α＝，cos2α＝cos＝.但cos2α＝，得2α＝2kπ±，k∈Z，则α可以不等于，则“α＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．
答案 A
2．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由?a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分条件，选B.
答案 B
4．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
5．有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3＋b3>0的充要条件．其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 A
6．已知P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝＋}，则“x∈P”是“x∈Q”的________条件．
解析 P＝[1,3]，Q＝[－1,3]，∴P?Q.
则x∈P?x∈Q，但x∈Qx∈P，
故x∈P是x∈Q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
7．(2010·湖北模拟)若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是解析 |x－m|<1，即m－1由题意可知即－≤m≤，
故实数m的取值范围是[－，]．
答案 [－，]
8．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析 当圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点时，有>1，即<2，
∴k2<3，∴－答案 －9．已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
分析 (1)用集合的观点考察问题，先写出綈p和綈q，然后，由綈q?綈p，但綈p綈q来求m的取值范围；
(2)将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．
解 方法1：由x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m，或x<1－m，m>0}．
由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x>10，或x<－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，结合数轴
∴A?B?解得m≥9.
方法2：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q?綈p，且綈p綈q.
∴p?q，且qp，即p是q的充分不必要条件．
结合数轴
∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∴C?D，∴∴m≥9.
所以实数m的取值范围是{m|m≥9}．
10．在直角坐标系中，求点(2x＋3－x2，)在第四象限的充要条件．
解 该点在第四象限?
?－1∴该点在第四象限的充要条件是－1感悟高考
1.(2010·北京)若a，b是非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 f(x)＝x2a·b－a2·x＋b2·x－a·b
＝a·bx2＋(b2－a2)·x－a·b，
若f(x)为一次函数，只须a·b＝0，且b2－a2≠0，
∴a⊥b是f(x)为一次函数的必要不充分条件．
答案 B
2．(2010·广东)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分必要条件
解析 由x2＋x＋m＝0，知(x＋)2＝≥0?m≤.
答案 A
技能演练
1.(2010·陕西延安)若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是( )
A．非p B．p且q
C．p或q D．非p且非q
答案 C
2．有下列说法：
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
3．已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”、“p∧q”和“綈p”形式的命题中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
4．命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>，命题q：在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，则( )
A．p真q假 B．“p∧q”为真
C．“p∨q”为假 D．“綈p∨綈q”为真
解析 x2＋x＋m>0恒成立，只须Δ＝1－4m<0，即m>，∴命题p正确．在△ABC中，∠A>∠B?sinA>sinB，∴命题q正确．故选B.
答案 B
5．命题p：若a，b∈R，则a>1是|a|>1的充分不必要条件；命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
答案 B
6．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<，给出下列四个命题：①p∧q；②p∨q；③綈p；④綈q.其中真命题是________．
解析 命题p为真命题，命题q为假命题，∴p∨q与綈q为真命题，故填②④.
答案 ②④
7．命题p：菱形的对角线互相垂直，则p的否命题是________，綈p是________．
答案 不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直
菱形的对角线不互相垂直
8．已知命题p：(x＋2)(x－6)≤0，命题q：－3≤x≤7，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数x的取值范围为________．
解析 由题条件可知p与q一真一假，p为真命题时，x满足－2≤x≤6，∴满足条件的x的范围是[－3，－2)∪(6,7]．
答案 [－3，－2)∪(6,7]
9．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0解 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
∴x≥3，或x≤－1.即p：x≥3，或x≤－1.
∴綈p：－1∴綈q：x≥4，或x≤0.
由p且q为假，p或q为真知p，q一真一假，
当p真q假时，由
得x≥4，或x≤－1，
当p假q真时，由得0∴实数x的取值范围是{x|x≤－1，或010．已知p：|3x－4|>2，q：>0，求綈p和綈q对应的x的取值范围．
解 p：|3x－4|>2，则綈p：|3x－4|≤2，
解得≤x≤2.
q：>0，即x2－x－2>0，
綈q：x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.
感悟高考
(2010·新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 由题知，p1为真命题，p2为假命题，
∴q1，q4为真命题，故选C.
答案 C
技能演练
1.(2010·山东日照质检)命题“?x>0，x2＋x>0”的否定是( )
A．?x>0，使得x2＋x>0
B．?x>0，x2＋x≤0
C．?x>0，都有x2＋x≤0
D．?x≤0，都有x2＋x>0
答案 B
2．(2010·北京东城区期末)下列四个命题中的真命题为( )
A．?x0∈Z,1<4x0<3
B．?x0∈Z,5x0＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
答案 D
3．(2010·福建高二质检)已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，sinx≥1
B．綈p：?x∈R，sinx≥1
C．綈p：?x∈R，sinx>1
D．綈p：?x∈R，sinx>1
答案 C
4．命题“存在点P(x0，y0)，使x＋y－1≤0成立”的否定是( )
A．不存在点P(x0，y0)，使x＋y－1>0成立
B．存在点P(x0，y0)，使x＋y－1>0成立
C．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1>0成立
D．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1<0成立
答案 C
5．给出下列四个命题：
①p：?x∈R，有x4>x2；
②q：?α∈R，使sin3α＝3sinα；
③r：?x∈R，使得|x＋1|≤1且x2>4；
④s：?φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．
以上命题的否定为真命题的序号是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①③
解析 ①x＝1时，x4＝x2，∴p是假命题，綈p是真命题．
②当α＝0时，sin(3×0)＝3sin0，∴q为真命题，綈q为假命题．
③由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x>2，或x<－2，命题r是假命题，綈r为真命题．
④当φ＝时，函数y＝sin(2x＋)是偶函数，故s为真命题，綈s为假命题．
答案 D
6．已知命题p：?x∈R，x2≥0，则綈p：________.
答案 ?x∈R，x2<0
7．已知命题：“存在x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．
答案 [－8，＋∞)
8．(2010·福建莆田月考)下列命题是真命题的是________．
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②若命题p：?x∈R，x2＋x＋1＝0，则綈p为?x∈R，x2＋x＋1≠0；
③全称命题“?x∈R，x2是有理数”是真命题；
④?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.
答案 ①②④
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3；
(2)q：?x∈R，x2＋x－4>0.
解 (1)綈p：?x，y∈Z，x＋y≠3，
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此綈p是假命题．
(2)綈q：?x∈R，x2＋x－4≤0，
当x＝0时，x2＋x－4＝－4≤0，
因此綈q是真命题．
10．(2010·湖南长沙月考)已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对?x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立，记集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x||x－t|≤1}．
(1)当t＝1时，求(A)∪B；
(2)设命题p：A∩B≠?，若綈p为真命题，求实数t的取值范围．
解 由题意(－1，－8)为二次函数的顶点，
∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
A＝{x|x<－3，或x>1}．
(1)B＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．
∴(A)∪B＝{x|－3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}
＝{x|－3≤x≤2}．
(2)B＝{x|t－1≤x≤t＋1}．
?
∴实数t的取值范围是[－2,0].
感悟高考
(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析 特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词．
答案 对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
