(共33张PPT)
第3章 图形的相似
小结与复习
如果选用一个长度单位量得两条线段 a ，b 的长度分别为 m，n .那么两条线段的比 .
四条线段 a，b，c，d 中，如果a与b的比等于 c 与 d 的比，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段.
1. 线段的比和成比例线段的定义
要点梳理
比例的基本性质─
比例的合比性质─
比例的等比性质─
比例的更比性质—
2. 比例的性质
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
A
C
B
那么称线段AB被点C
点C叫做线段AB的
AC与AB（或BC与AC）的比叫做
黄金比
≈ 0.618
黄金分割
黄金分割点
黄金比
3. 黄金分割
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
4. 图形的相似
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
5. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
6. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
7. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
8. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
G
C
E
D
F
●P
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的
边长为 x mm.
M
考点一 相似三角形的判定和性质
考点讲解
∵ EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵ AM = AD－MD = 80－x，
解得 x = 48.
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
A
B
C
D
E
F
G
H
M
则
∴
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC =∠ACB = 60°，
∠ACF = 120°．
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE = 60°，
∴∠BAC = ∠ACE．
例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
又∵∠ADB = ∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC = AB = 6，
∴ AM = CM = 3.
∵ AD = 2CD，
∴CD = 2，AD = 4，MD = 1.
A
B
C
D
F
E
M
在 Rt△BDM 中，
由(1) △ABD ∽△CED得，
即
∴
针对训练
1．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定△ADC ∽△ACB．
(1) ；
(2) ；
(3) .
∠ACD =∠B
∠ACB =∠ADC
B
C
A
D
或 AC2 = AD · AB
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ．
36 和 39
3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = .
B
C
A
E
2 或 4.5
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC = 1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .
1 : 9
例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．
2m
1.2m
3.6m
考点二 相似的应用
2m
1.2m
3.6m
解：如图，CD = 3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
∴ BC = 6m.
在 Rt△ABC 中，
∵ ∠A = 30°，
∴ AB = 2BC = 12 m，
即树长 AB 是 12 m.
即
∴
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高．
根据 ，即可算出 AB 的高．
你还有其他方法吗？
理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED =∠AEB，∠D =∠B = 90°，易得△ABE∽△CDE.
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
A
B
O
C
D
2m
6m
1.8m
针对训练
解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴
∴
解得 CD = 5.4m.
故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
针对训练
考点三 位似的性质及应用
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
A
B
C
D
B
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 .
D
A
E
B
C
C
4 : 3
16 : 9
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 .
(4，－3)
5. 找出下列图形的位似中心.
6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
A
B
C
(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 线段 AA′ 的长度是 .
7. 如图，△ABC 在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标；
解：如图所示，
B (2，1).
x
y
O
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
x
y
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′的面积 S.
x
y
O
A′
B′
C′
解：
课堂小结
应 用
见章末复习
课后作业
本课结束(共24张PPT)
复习题3
第3章 图形的相似
1.已知 求下列算式的值：
（1） ； （2） .
解：∵ ，
∴ .
2.已知 a，b，c，d 是比例线段．
（1）若 a = 2，b = 5，c = 6，求 d ；
（2）若 a = 1.5，c = 3，d = 4.5，求 b ；
（3）若 a = 5，b = 8，d = 44，求 c .
解：∵ a，b，c，d 是比例线段，
∴ a∶b = c∶d
（1）2∶5 = 6∶d，∴ d = = 15 ；
（2）1.5∶b = 3∶4.5，∴ b = = 2.25 ；
（3）5∶8 = c∶44，∴ c = = 27.5 ；
3.如图，l1∥l2∥l3，直线AC分别与 l1，l2，l3 相交于点 A，B，C，直
线 DF 分别与 l1，l2，l3 相交于点 D，E，F . 已知 ，DE = 6，求 DF 的长．
解：∵ l1∥l2∥l3，
∴
∵ ，DE = 6，
∴
∴ EF = 4，
∴ DF = DE + EF = 6 + 4 = 10.
4.根据图中已知条件，试求 D，E 两点之间的距离．
C
A
A
B
D
E
14.2m
28.4m
9.8m
解：根据图形可得∠ACB =∠ADE = 90°，
∠CAB =∠DAE，
∴ △ACB∽△ADE.
∴
∴
解得 ED = 19.6 m.
故 D，E 两点之间的距离为19.6 m.
5.如图，AE与BD相交于点C，已知 AC = 5，BC = 3，EC = 10，DC = 6.
求证：AB//DE.
证明：∵AC = 5，BC = 3，BC = 10，DC = 6，
∴
∴ ，∠ACB =∠ECD，
∴ △ACB∽△ECD.
∴ ∠CAB =∠CED.
∴ AB// DE.
6.如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路．已知AB = 14km，AD = 28km，BD = 21km，BC = 42km，DC = 31.5km，问公路 AB 与 DC平行吗？说明你的理由.
解：公路AB与CD平行，
理由如下：∵ ， ，
∴
∴△ABD∽△BDC，
∴ ∠ABD =∠BDC，
∴AB//CD，即公路AB与CD平行.
7.已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为 2∶3，△ABC的周长和面积分别为 16 和 25 ，求△DEF的周长及面积．
解：∵△ABC与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:3.
∴△ABC与△DEF的周长之比为2：3，面积之比为4:9.
又∵△ABC的周长和面积分别为16和25，
∴△DEF的周长及面积分别为24 和 56.25.
8.为了测量一棵树的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律(图中∠1=∠2)，把一面镜子放在离树(AB)8m的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，
此时量得 DE = 3m.已知观测者目高
CD = 1.5m，求树 AB 的高度．
解：∵∠1 =∠2，
∴∠CED =∠AEB.
∵∠CED =∠AEB，∠CDE =∠ABE = 90°，
∴△CED ∽△AEB.
∴
解得AB = 4m.
故树AB的高度为4m.
∴ .
9.如图，一教学楼 AB 的高为20m，教学楼后面水塔 CD 的高为30m.已知 BC = 30m，小张的目高 EF 为1.6m.当小张站在教学
楼前 E 处时，刚好看到教学楼顶端 A 与水塔顶
端 D 在一条直线上，求此时他与教
学楼的距离 BE .
解：过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，
如图所示：∵ AM∥DN，
∴△AMF∽△DNF.
N
M
B
C
A
D
F
E
小张
结合已知可得BE=FM，BC=MN=30 m，EF = BM = CN = 1.6 m，FN=FM+MN=BE+BC= (BE+30) m，
∴ .
结合已知可得 BE = FM，BC = MN = 30 m，
EF = BM = CN = 1.6 m，
FN = FM + MN = BE + BC = (BE + 30) m，
∴ DN = CD – CN = 30 – 1.6 = 28.4 m，
AM = AB – BM = 20 – 1.6 = 18.4m.
解得 BE = 55.2 m.
故此时他与教学楼的距离 BE 为55.2 m.
∴ .
10.如图，在平面直角坐标系中，已知五边形OABCD的顶点坐标依次为
(0，0)，(4，0)，(5，5)，(2，5)，(0，3).
（1）以坐标原点O为位似中心，把各顶
点坐标分别放大为原来的1.5倍，所得五
边形与原五边形OABCD是位似图形吗？
解：把各顶点坐标分别放大为原来的1.5倍，
可得 (0，0)，(6，0)，(7.5，7.5)，
(3，7.5)，(0，4.5)，
画出五边形OA′B′C′D′；
A′
B′
C′
D′
根据位似图形的概念可得五边形OA′B′C′D′和原五边形OABCD是位似图形.
（2）以坐标原点O为位似中心，把各顶点坐标分别缩小为原来的，所得五边形与原五边形OABCD是位似图形吗？
根据位似图形的概念可得五边形
OA′′B′′C′′D′′都和原五边形OABCD是
位似图形.
解：把各顶点坐标分别缩小为原来的，
可得可得 (0，0)，(3.2，0)，(4，4)，
(1.6，4)，(0，2.4)，
画出五边形OA′′B′′C′′D′′；
A′′
B′′
C′′
D′′
11.我们可以按以下方法找到线段的黄金分割点：
如图，设 AB 是已知线段，以 AB 为边作正方形 ABCD；取 AD 的中点E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF = EB；以线段 AF 为边作正方形AFGH，交 AB 于点 H ，则点 H 就是线段 AB 的黄金分割点 .
请试着用上述方法找一条已知线段的黄金分割点 .
已知：线段ab.
求作：线段ab的黄金分割点.
仿照已知中的方法作出线段ab的黄金分割点，即点h.
如图所示：
a
b
12.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高．
求证：（1）AC2 = AD·AB;
（2）CD2 = BD·AD.
解：(1)证明：∵∠A =∠A，
∠CDA =∠ACB = 90°，
∴ △ACD∽△ABC，
∴
∴AC2 = AD·AB.
(2) ∵∠B +∠BCD = 90°，
∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠B =∠ACD，
∴∠CDB =∠CDA = 90°，
∴ △CDB∽△ADC，
∴
∴CD2 = BD· AD.
13.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区 ED.已知光线AE//BD，亮区E点与窗口所在墙脚 C 点之间的距离 EC = 8.7m，窗口高 AB =1.8m，求窗口底边离地面的高 BC .
解：∵AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE.
∴
又∵ DC = EC – ED = 8.7 – 2.7 = 6m，
AC = BC+AB = BC + 1.8，
∴
解得 BC = 4m.
故窗口底边离地面的高BC为4m.
14.如图，正方形 ABCD 的边长是2，BE = CE，MN = 1，线段 MN 的两端点在 CD，AD 上滑动. 当 DM 为多长时，△ABE 与以 D，M，N 为顶点的三角形相似？请说明理由.
15.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，分别在线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得 ，连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似吗？为什么？
解：四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似.
理由如下：∵ ，∠A′OB′ =∠AOB，
∴△A′OB′∽△AOB.
∴∠OA′B′ = ∠OAB，
∠OB′A′ = ∠OBA.
同理可得 ∠OB′C′ =∠OBC，
∴∠A′B′C′ =∠ABC
同理可得∠B′A′D′ =∠BAD，
∠A′D′C′ = ∠ADC，
∠D′C′B′ = ∠DCB.
又∵
∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
16.如图，将图中的六边形放大为原图形的2倍，画出所得图形，并写出所得图形的各顶点的坐标 .
(1，2)
(2，-1)
(1，-3)
(-1，-2)
(-2，0)
(-1，2)
(-2，4)、(2，4)、
(4，-2)、(2，-6)、
(-2，-4)、(-4，0)
17.某兴趣学习小组到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行了如下一系列操作：
第一步，测量支架底部A，B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，使点
D恰好落在直线AB上，测量CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E,挂上铅垂线EF，使点F
恰好落在直线AB上，测量EF和BF的长 .
已知上述步骤中测得数据如下表：
线 段 AB CD AD EF BF
长度/m 2.5 1 0.8 1.2 0.6
根据以上数据，你能帮他们计算出支架顶端P到地面的距离吗？如能，请计算出结果(精确到0.1m)；如不能，请说明理由．
∵ CD⊥AB，EF⊥AB，PG⊥AB，
∴ CD // EF // PG.
∴ △ADC ∽△AGP，△BEF∽△BGP.
∴ ，
∴ ，
解得 PG = ≈ 8.3m.
故支架顶端P到地面的距离约为 8.3 m.
G
解：过点P作PG垂直地面于点G，如图所示：
本课结束
