(共22张PPT)
总结与复习
第2章 一元二次方程
一、一元二次方程的基本概念
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a ≠ 0)
要点梳理
2.一般形式：
1.定义：
一次项： ax2 一次项系数：a
二次项： bx 二次项系数：b
常数项： c
3.项数和系数：
4.注意事项：
(1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2；
(3) 二次项系数不为0； (4) 整式方程．
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a ≠ 0)
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥ 0）
(x+m)2 ＝ n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a ≠ 0 ， b2 - 4ac ≥ 0)
(x + m) (x + n)＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx – 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m ≥ 1 D. m ≠ 0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m – 1 ≠ 0，即m ≠ 1，故选A.
A
1.方程 5x2 – x – 3 = x2 – 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
0
考点讲练
针对训练
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x = 0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x = 0代入就可以得到以m为未知数的方程m2 – 1 = 0，解得m =±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于x的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 – 1 = 0有一个根为0，则m = .
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
-1
考点二 一元二次方程的根的应用
2. 一元二次方程x2 + px – 2 = 0的一个根为2，则p的值为 .
-1
针对训练
【易错提示】(1) 配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；
(2) 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检
验三边长能否成三角形的好习惯
解析 （1）配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0的两根，再根据三角形的三边关系定理，
得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
例3 (1)用配方法解方程 x2 - 2x – 5 = 0 时，原方程应变为（ ）
A. (x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9
C. (x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程
x2﹣13x + 36 = 0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B． 15 C．18 D．13或18
A
A
考点三 一元二次方程的解法
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
A
针对训练
4.用公式法和配方法分别解方程：x2 – 4x – 1 = 0(要求写出必要解题步骤).
公式法：a = 1，b = -4，c = -1
方程有两个不想等的实数根
4.用公式法和配方法分别解方程：x2 – 4x – 1 = 0(要求写出必要解题步骤).
配方法：移项，得 x2 - 4x = 1
配方，得 x2 - 4x + 22 = 1 + 22
(x - 2)2 = 5
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a，b，c的值.
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2 + x = 0 B. 5x2 – 4x – 1 = 0
C.3x2 – 4x + 1 = 0 D. 4x2 – 5x + 2 = 0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程 x2 – x + m = 0 有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．
D
0
针对训练
例5 已知一元二次方程x2 - 4x - 3 = 0的两根为m，n，则m2 - mn + n2 = .
25
解析 根据根与系数的关系可知，m + n = 4，mn = -3.
m2 – mn + n2 = m2 + n2 – mn
= (m + n)2 - 3mn
= 42 - 3 ×(-3) = 25.故填25.
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（ ）
A. 7 B. -2 C. D.
A
针对训练
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
（1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
市场销售问题
考点六 一元二次方程的应用
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
4
32
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润 = 单件利润×销售量.
解：（1）32 - (x - 24) ×2 = 80 - 2x；
（2）由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.
解得 x1 = 25，x2 = 35.
由题意 x ≤ 28，∴ x = 25，即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是 x ，根据题意得
5(1 - x)2 = 3.2
解得 x1 = 1.8 (舍去)， x2 = 0.2 = 20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
平均变化率问题
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形)
解：设小道进出口的宽为 x cm
(30 - 2x)(20 - x) = 532
x2 - 35x + 34 = 0
x1 = 1 x2 = 34（舍去）
答：小道进出口的宽度应为1米.
解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
平移转化
方法总结
课堂小结
见章末复习
课后作业
本课结束(共26张PPT)
第2章 一元二次方程
复习题2
1．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 5x2 = 49； (2) 6x2 - 7x2 = 3x + 5；
解：(1) 方程化为一般形式得 5x2 – 49 = 0，
故二次项系数是 5，一次项系数是 0，
常数项是 - 49；
(2) 方程化为一般形式得 - x2 - 3x - 5 = 0，
故二次项系数是 -1，一次项系数是 - 3，
常数项是 - 5；
解：(3) 方程化为一般形式得 0.01t2 - 5t + 1 = 0，
故二次项系数是 0.01，一次项系数是 - 5，
常数项是 1；
(3) 0.01t2 - 3t = 2t - 1； (4) (2y - 1)(2y + 5) = 6y + 4.
(4) 方程化为一般形式得 4y + 2y – 9 = 0，
故二次项系数是 4 ，一次项系数是 2 ，
常数项是 -9 .
2．解下列方程：
(1) 49x2 - 144 = 0； (2) (1 - x)2 = 1； (3) x2 + 8x + 16 = 0；
根据完全平方公式可得 (x + 4)2 = 0，
所以 x + 4 = 0，
解得 x = - 4，
(4) x(7 - x) = 4x2； (5) x(x - 2) - 3x2 = 0； (6) x2 - 4x + 4 = 64.
(5) 整理，得 x2 + x = 0，
因式分解，得 x(x + 1) = 0，
从而有 x = 0 或 x + 1 = 0，
解得 x1 = 0，x2 = -1，
整理，得 x2 – 4x – 60 = 0，
因式分解，得 (x – 10)(x + 6) = 0，
从而有 x – 10 = 0 或 x + 6 = 0，
解得 x1 = 10 或 x2 = – 6，
3．解下列方程：
(1) 2x2 - 6x - 3 = 0； (2) x(x + 5) = 24；
（2）x2 + 5x = 24
x2 + 5x – 24 = 0
(x + 8)(x – 3) = 0
则 x + 8 = 0 或 x – 3 = 0
解得 x1 = -8 ，x2 = 3
(3) x(x + 1) + 2(x - 1) = 0； (4) (x - 3)2 + 2x(x - 3) = 0；
（4）(x - 3)(x – 3 + 2x) = 0
(x - 3)(3x - 3) = 0
则 x – 3 = 0 或 3x – 3 = 0
解得 x1 = 3， x2 = 1
(5) 3(x - 2)2 = x(x - 2).
解：（5）3(x - 2) - x(x - 2) = 0
(x - 2)[3(x - 2) - x] = 0
(x - 2)(3x – 6 - x) = 0
(x - 2)(2x - 6) = 0
则 x – 2 = 0 或 2x – 6 = 0
解得 x1 = 2，x2 = 3.
4．不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况．
(1) 4x2 + 6x + 9 = 0； (2) y2 = y + 5.
＊ 5．设 x1，x2 是方程 2x2 - 6x + 3 = 0的两根，求下列各式的值：
(1) x1 + x2； (2) x1·x2； (3) x12 + x22.
解：这里 a = 2，b = - 6，c = 3，
＊ 6．若方程 x2 - 3x - 1 = 0 的两根为 x1，x2，求 的值.
解：这里 a = 1，b = - 3，c = -1，
7．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．
8．北京奥运会的主会场“鸟巢”给世人留下了深刻的记忆．据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从最初的54000 t减少到42000 t．求平均每次用钢量降低的百分率 x (精确到1％)．
9．将一块长方形桌布铺在长为1.5m、宽为1m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍．求桌布下垂的长度．
10．如图为一张方格纸，纸上有一三角形（上色部分），其顶点均位于网格线的交点上．若上色部分的三角形面积为15.75cm2，则此方格纸的面积为多少？
根据题意可得16x2 - 4x2 - 2x2 - 3x2 = 15.75
解得 x1 = 1.5，x2 = -1.5（不合题意，舍去)，
所以 16x2 = 16×1.5×1.5 = 36 cm2.
答：此方格纸的面积为 36 cm2.
11．现有一块矩形钢板ABCD，长 AD ＝ 7.5m，宽 AB＝5m．在这块钢板上截除两个正方形得到如图所示的模具(阴影部分所示).已知 BE＝DF，且模具的面积等于原矩形钢板的面积的一半，求 DF 的长(精确到0.1m)．
12．如图，在RtΔABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm．现有两点P，Q分别从点 A 和点 C 同时出发，沿边AB，CB向终点B移动. 已知点P，Q的速度分别为 2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 设P，Q两点移动时间为 x s. 问是否存在这样的 x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由.
解： ∵ ∠B = 90°，AC = 10，BC = 6，
∴ AB = 8
∴ BQ = x，PB = 8 - 2x；
假设存在 x 的值，使得四边形
APQC的面积等于16cm2，
13．解下列方程：
（1）(3x + 5)2 - 6(3x + 5) + 9 = 0；（2）x2 + ax - 2a2 = 0 (a为常数)．
解：(x + 2a)(x - a) = 0，
解得 x1 = - 2a，x2 = a.
14．已知a，b，c分别是ΔABC的三边，其中a = 1，c = 4，且关于 x 的方程 x2 - 4x + b = 0有两个相等的实数根，试判断ΔABC的形状．
＊ 15．设x1，x2是关于x的方程 x2 - 4x + k + 1 = 0 的两个实数根．请问：是否存在实数 k ，使得 x1·x2 > x1 + x2 成立？试说明理由.
∴ k > 3
而 k ≤ 3，因此，不存在实数k，
使得x1·x2 > x1 + x2成立.
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
17．如图，一长方形地，长为 x m，宽为120m，建筑商将它分为甲、乙、丙三个区域，甲、乙为正方形.现计划甲区域建筑住宅区，乙区域建筑商场，丙丙区域开辟为公园．若已知丙区域的面积为3200m2，试求x的值.
解： ∵甲和乙为正方形，
∴结合图形可得丙和乙的长为：x - 120，
丙的宽为：120 - (x - 120) = 240 - x，
∴丙的面积为：(x - 120)(240 - x) = 3200，
解得：x1 = 200，x2 = 160，
∵ (160 - 120) = 1600 < 3200，
∴x = 160不符合题意，舍去.
∴x = 200.
18．有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究：
（1）请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论；
（2）若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？
本课结束
