(共27张PPT)
复习题4
第4章 锐角三角函数
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 12cm，BC = 10cm，分别求∠A，∠B 的正弦、余弦和正切值 .
A
B
C
12cm
10cm
3.已知 tan α = 0.625 ， α 是锐角，求 sin α ，cos α 的 (精确到0.0001).
A
C
B
α
解：如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = α，
4.用计算器求下列锐角的正弦、余弦和正切值（精确到0.0001)：
(1) 3°15′； (2) 68°6′.
解：(1) sin3°15′ ≈ 0.5667；
cos3°15′ ≈ 0.9984；
tan3°15′ ≈ 0.568.
(2) sin68°6′ ≈ 0.9278；
cos68°6′ ≈ 0.3730；
tan68°6′ ≈ 2.4876.
5.已知锐角三角函数值，求相应的锐角 (精确到1°)：
(1) sin α = 0.328 6； (2) cos α = 0.714 3； (3) tan α = 0.293 6.
解：(1) ∠α ≈ 19°；
(2) ∠α ≈ 44°；
(3) ∠α ≈ 16°.
6.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，c = 12cm，求∠B，a，b.
7.在菱形 ABCD 中，已知对角线 AC，BD 的长度分别为 4.8cm，3.6cm，求菱形的边长以及内角∠A，∠B 的大小(角度精确到1°).
A
B
C
D
E
从而 ∠BAE = 36°52′.
于是 ∠ABE = 90°- 36°52′ = 53°8′.
根据菱形的性质可知
∠BAD = 2∠BAE = 73°44′，
∠ABC = 2∠ABE = 106°16′.
答：菱形的边长是 3cm，两个内角分别为 73°44′，106°16′.
8.某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于点O，且 OB = OD.支架CD与水平线AE垂直，AB = 150cm，∠BAC = 30°，另一根支架 DE = 76cm，∠CED = 60°.
(1) 求垂直支架CD的长度；
(2) 求OD的长度．
9.小明(M)和小丽(N)两人一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中E处纠缠在一起，如图所示．若 ∠EMF = 20°，∠ENF = 30°，且小丽、小明之间的距离MN为25m，则点E到地面的距离ED为多少（结果保留两位小数）？
？
10.如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，虚线与地面所形成的夹角为倾角θ.设计者准备将楼梯的倾角由 40°减小至 36°，这样楼梯所占用地面的长度将由 d1 增加到 d2，如图(2)所示．已知 d1 = 4m，求楼梯占用地面增加的长度DC(结果精确到0.01m).
11.如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A处时，地面R 处的雷达站测得 AR 的距离是 4 km，仰角为30°. 5s 后，火箭到达点 B 处，此时地面 R 处的雷达站测得 B 处的仰角为45°. 求火箭从 A 到 B 处的平均速度(结果精确到1m/s).
12.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边AB上的高 CD =3.8cm，AD = 4.6cm，求∠A，∠B 以及 AC，BC，AB 的长度(长度精确到 0.1cm，角度精确到1°).
C
A
B
D
3.8cm
4.6cm
C
A
B
D
3.8cm
4.6cm
13.如图，A，B，C 表示修建在一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知 A，B，C 所处位置的海拔AA1，BB1，CC1 分别为 124m，400m，1100m，钢缆AB与水平线AA2的夹角为30°，钢缆BC与水平线BB2的夹角为45°，求钢缆AB和BC的总长度(结果精确到1m).
14.在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，如图(1)所示 .
A
B
C
a
b
c
A
D
B
C
D
(1) △ABC 的面积 S 与 ∠A，b，c 之间有什么关系？
本课结束(共42张PPT)
小结与复习
第4章 锐角三角函数
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
1. 锐角三角函数
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
要点梳理
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
合作探究
(1) 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系：_________________；
三角关系：___________________；
边角关系：sinA ＝ cosB ＝______，cosA＝sinB ＝____，
tan A＝____________，tanB ＝____________.
a2＋b2 ＝ c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就
可以求出其余的3个未知元素．
解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜
边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一
直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；
②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；
③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三
角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－ α) = .
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于 sin α 与 tan α ，角度越大，函数值越 ；
对于 cos α ，角度越大，函数值越 _ _ _ _ .
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法 ①：
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
方法 ②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α ，有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
(3) 坡度，坡角
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
A
C
M
N
① 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α；
E
② 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③ 量出测倾器的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
① 在测点 A 处安置测倾器，
测得此时 M 的仰角 ∠MCE = α；
A
C
B
D
M
N
E
α
② 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
β
③ 量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b .根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
B
考点讲练
(1) 根据特殊角的三角函数值求值；
(2) 直接运用三角函数的定义求值；
(3) 借助边的数量关系求值；
(4) 借助等角求值；
(5) 根据三角函数关系求值；
(6) 构造直角三角形求值．
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中 要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：
1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且 sin A = cos B，那么△ABC一定是______三角形．
直角
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
针对训练
例2 矩形ABCD中 AB =10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE = ∠BCF，进而在 Rt△BFC 中，有BC = 8，CF = 10，由勾股定理易得 BF 的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF的值，借助∠AFE =∠BCF，可得 tan∠AFE的值．
10
8
解：由折叠的性质可得，CF = CD，
∠EFC =∠EDC = 90°.
∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在Rt△BFC中，BC = 8，CF = CD =10，
由勾股定理易得 BF = 6.
10
8
针对训练
考点二 特殊角的三角函数值
(1) tan30°＋ cos45°＋ tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
4. 计算：
针对训练
分析：题中给出了两个直角三角形，DC 和 sin B可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD = BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
A
B
C
D
考点三 解直角三角形
又 BC－CD = BD，
A
B
C
D
(2) sin B 的值．
A
B
C
D
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD，
在Rt△ACD中，
在 Rt△ABC 中，
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3. 点D为BC边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
考点四 三角函数的应用
例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，
α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长AB = 20m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
F
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
A
B
C
D
E
F
45°
G
H
解：作 DG⊥AB 于 G，EH⊥AB 于 G，
则 GH = DE = 2米，EH = DG = 10米.
(米)，
(米).
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度AF为 米.
G
H
在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°，
解得：x ≈13，
∴大树的高度为：13米.
∴
∴
G
H
8. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在 A、C 之间选择一点 B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为20m.
E
针对训练
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
例7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向A处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45km/h 和 36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO = 58°，此时B处距离码头 O 多远？（参考数据：sin58°≈ 0.85，cos58°≈ 0.53，tan58°≈ 1.60）
9. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．
若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，
甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先
到达B处？请说明理由 (参考数据：
sin55°≈ 0.82，cos55°≈ 0.57，
tan55°≈ 1.43).
针对训练
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得 ∠BCD = 55°，∠BDC = 90°.
∴ BD = CD · tan∠BCD = 40×tan55°≈ 57.2(米)．
BC = CD · cos∠BCD = 40×cos55°≈ 70.2(米)．
∴ t甲 ≈ 57.22÷2＋10 = 38.6(秒)，
t乙 ≈ 70.22÷2 = 35.1(秒)．
∴ t甲 > t乙．
答：乙先到达 B 处．
要点梳理
见章末复习
课后作业
本课结束
