(共49张PPT)
5.1 总体平均数与方差的
估计
1.理解并掌握总体平均数与方差的概念；
2.掌握总体平均数与方差的基本计算．
(重点、难点)
学习目标
（1）要想知道一锅汤的味道怎么办？
（2）要想知道一座矿山（铁矿）的含铁量怎么办
（3）要想知道一批炮弹的杀伤力该怎么办？
（4）合肥市17年的中考，要想估计这届学生的整体水平，应该怎样做？
问题引入
议一议
阅读下面的报道，回答问题 .
从上述报道可见，北京市统计局进行2012年度人口调查采用的是什么调查方式？
一、用样本平均数估计总体平均数
我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性 .
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想 . 用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现 . 实践和理论都表明：对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的 .
说一说
(1)如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？
(2)在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？
可以进行简单随机抽样，
然后用样本去推断总体 .
由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差 .
同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉花纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性较好 .
例如，我们可以从某城市所有家庭中随机抽取一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数 .
问题：果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量．你认为该怎样估计呢？
合作探究
梨的个数？
每个梨的质量？
（1）果农从100 棵梨树中任意选出10 棵，数出这10棵梨树上梨的个数，得到以下数据：
154，150，155，155，159，
150，152，155，153，157．
你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？
所以，平均每棵梨树上梨的个数为154．
梨的质量 x/kg
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
频数
4
16
8
12
（2）果农从这 10 棵梨树的每一棵树上分别随机摘 4 个梨，这些梨的质量分布如下表：
能估计出这批梨的平均质量吗？
所以，平均每个梨的质量约为 0.42 kg．
样本估计总体；
用样本平均数估计总体平均数．
（3）能估计出该果园中梨的总产量吗？
思考：这个生活中的问题是如何解决的，体现了怎样的统计思想？
所以，该果园中梨的总产量约为6 468 kg．
154×100×0.42 = 6468
1、某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
估计该单位的捐款总额.
捐款数额/元 0 3 4 5 6
员工人数 2 9 28 16 5
练一练
捐款总金额约为：62.5×280 = 17500(元)
抽查某商场10月份7天的营业额(单位：万元)，结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5.
试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这7天营业额的平均数为：
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
变式
想一想：某家电商场今年7月15日至7月20日，每天销售某种空调数量(单位：台)为：
6，8，8，10，12，10.
据此预测，下半年销售量可达到1656台，请问是怎样作出预测的？这种预测有道理吗？
用这几天销售量的平均数乘以下半年的天数得到，这样预测没有道理，因为空调的销售量受天气的影响变化很大.且用来求平均数的天数过少，没有代表性.
2、老王家的鱼塘中放养了某种鱼1500条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
（1）鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？
鱼的条数 平均每条鱼的质量/千克
第1次 15 2.8
第2次 20 3.0
第3次 10 2.5
（2）若这种鱼放养的成活率是82%，鱼塘中这种鱼约有多少千克？
（3）如果把这种鱼全部卖掉，价格为每千克6.2元，那么这种鱼的总收入是多少元？若投资成本为14000元，这种鱼的纯收入是多少元？
2.82×1500×82% = 3468.6(kg)
总收入： 3468.6×6.2 = 21505.32 (元)
纯收入： 21505.32 － 14000 = 7505.32 (元)
二、根据方差做决策
动脑筋
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩．如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差）．于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：
种类 每亩水稻的产量/kg
甲 865 885 886 876 893 885 870 905 890 895
乙 870 875 884 885 886 888 882 890 895 896
由于这10亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这10亩水稻的平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量 .
由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值 . 因此，我们还需考虑这两种水稻产量的稳定性 .
利用计算器，我们可计算出这10亩甲、乙品种水稻产量的方差分别为 129.6，59.09. 由于 59.09 < 129.6，即 s乙2 < s甲2 .
因此我们可以估计种植乙种水稻的产量要比种植甲种水稻的产量稳定 .
从而我们可以得出：在该地区，种植乙种水稻更有推广价值 .
为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2)哪个品种的产量较稳定？
变 式
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(2)哪个品种的产量较稳定？
例 一台机床生产一种直径为40mm的圆柱形零件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应不超过0.01.如果超过0.01，则机床应检修调整.
下表是某日8：30-9：30及10：00-11：00两个时段中各随机抽取10个零件量出的直径的数值(单位：mm)
8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9
试判断在这两个时段内机床生产是否正常.
类似地，我们可以推断在 10:00 —11:00 这段时间内该机床生产正常.
由于随机抽取的 8:30 — 9:30 这段时间内生产的10个零件的直径的方差为 0.03 ，远远超过 0.01 的界限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正常.
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
知识要点
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
1、某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员10次测验成绩（单位：m）：
甲 5.85 5.93 6.07 5.91 5.99
6.13 5.98 6.05 6.00 6.19
乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84
5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
做一做
2、某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
练 习
1.小明为了估计自己从起床至到达教室所需的平均时间，他随机记录了自己20天每天从起床至到达教室所需的时间，得到下表：
时间/min 45 46 47 48 49 50 51 52 53
天数 2 1 1 2 4 5 3 1 1
试据此估计小明从起床至到达教室所需的平均时间.
解：平均值计算方法是用总时间除以总天数总时间为：
45×2 + 46 + 47 + 48×2 + 49×4 + 50×5 + 51×3 + 52 + 53 = 983(min)
总天数为：2 + 1 + 1 + 2 + 4 + 5 + 3 + 1 + 1 = 20(天)
所以平均时间为：983÷20 ≈ 49 (min)
故小明从起床到教室大约需要 49 min
2.甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g)分别如下：
甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199
乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201
试根据以上数据判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定.
∴ 甲包装机包装糖果的质量比较稳定.
3.某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命如下表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？
解：据上表得各小组的组中值，于是
使用寿命 x/h
600≤x
＜1 000
1 000≤x
＜1 400
1 400≤x
＜1 800
1 800≤x
＜2 200
2 200≤x
＜2 600
灯泡只数
5
10
12
17
6
因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是 1672 h．
4.为了解某小区居民7月份的用水情况，任意抽查了20户家庭的月用水量，结果如下：
如果该小区有200户家庭，估计该小区居民7月份的用水总量.
用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户数 3 5 2 3 3 2 1 1
解：每户用水量的平均数为：
200户家庭的用水量约为 13.5×200＝2700m3.
5、6月5日是“世界环境日”，某校“绿色”小组进入明光社区进行一次有关“白色污染”方面的抽样调查，调查结果如下：
如果该社区有500户居民，请你估计该社区居民每天要丢弃多少个废塑料袋？
每户居民平均每天丢弃废塑料袋/个 0 3 4 5 6
户数 2 9 28 16 5
解：每户居民每天丢弃废塑料袋的的平均个数为：
500户居民每天丢弃塑料袋个数约为：4.15×500 = 2075个.
6.为了检查一批零件的质量，从中随机抽取10件，测得它们的长度（单位：mm）如下：22.36 22.35 22.33 22.35 22.37
22.34 22.38 22.36 22.32 22.35
根据以上数据，估计这批零件的平均长度.
解：根据以上数据，得
即样本平均数为 22.351
答：这批零件的平均长度大约是 22.351 mm.
7.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
解：样本数据的平均数分别是：
样本平均数相同，
估计这批鸡腿的平均
质量相近．
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
解：样本数据的方差分别是：
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
8.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
农科院应该选择甲种甜玉米种子
9.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，
乙的成绩比甲好；
从方差看，s甲2 = 14.4， s乙2 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，
两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
课堂小结
本课结束(共9张PPT)
习 题
5.1 总体平均数与方差的
估计
1.某校为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该校学生中随机抽取了15名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min)如下：
75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，118，80，90.
试据此估计该校的学生用于课外作业的平均时间 .
解：平均时间为：
(75+80+85+65+95+100+70+55+65+75+85+110+118+80+90)÷15 = 83.2 (min)
2.甲、乙两工人同时加工同一种圆柱形零件，在正常情况下，生产的零件的直径的方差应不超过0.035.在他们所加工的零件中各随机抽取10个进行直径检测，测得数据（单位：mm)如下：
甲 19.9 19.7 19.8 20.0 20.1 19.9 20.2 20.3 20 20.1
乙 20.0 20.2 19.8 19.9 19.7 20.2 20.1 19.7 20.2 20.2
请根据以上数据判断哪台机器生产不正常 .
解：从甲加工的零件中随机抽取的10个零件的直径平均数为：
方差为：
从乙加工的零件中随机抽取的10个零件的直径平均数为：
方差为：
∵ 0.03 < 0.035 < 0.04，
∴ 甲使用的机器生产正常，乙使用的机器生产不正常.
3.某校举办了一次科技知识竞赛，为了评价甲、乙两班学生的竞赛成绩，现分别从这两班各随机抽取了5名学生的成绩．他们的成绩（单位：分）如下：
甲班：50，70，70，80，80
乙班：45，55，80，85，85
如何来评价这两个班的竞赛成绩呢？
由此可估计甲班学生成绩和乙班学生成绩的平均数相等，甲班学生成绩比乙班学生成绩的方差小，
故甲班学生的成绩比较好.
4.某省农科院准备从甲、乙两种杂交小麦中选择一种进行大面积推广，他们应该怎么办？请你帮忙设计一个可行的方案 .
解：随机抽取甲、乙两种小麦各50株，
并测得它们的产量(外界因素相同)，
分别计算两种小麦产量的平均数和方差，
选择平均数大且方差较小的品种进行推广.
本课结束
