技能演练
1.已知两定点F1(－4,0)，F2(4,0)，点P是平面上一动点，且|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线
C．椭圆 D．线段
答案 D
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
答案 C
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．不确定
答案 B
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析 将方程化为标准方程为＋＝1，∴k>0.
又因为焦点在y轴上，∴>2，即k<1，故0
答案 D
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF1|等于( )
A. B.
C. D．4
解析 由PF2⊥x轴，得|PF2|＝，
|PF1|＝2a－|PF2|＝.
答案 C
6．与椭圆x2＋4y2＝4有公共的焦点，且经过点A(2,1)的椭圆的方程为________．
解析 椭圆x2＋4y2＝4的标准方程为＋y2＝1，
∴c＝＝＝.
设椭圆的方程为＋＝1.(a2＞3)，
把点A(2,1)代入＋＝1，
解得a2＝6，或a2＝2(舍去)，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
解析 ∵|PF1|＋|PF2|＝2×3＝6，且|PF1|＝4，
∴|PF2|＝2.
在△F1PF2中，|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝－，∴∠F1PF2＝120°.
答案 2 120°
8．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B点且与圆A内切，则圆心P的轨迹方程为________．
解析 ∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－|PB|，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝6.
∴a＝5，c＝3，b2＝52－32＝16.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标．
解 椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又A(1，)在椭圆C上，
∴＋＝1，解得b2＝3.
∴c2＝a2－b2＝1.
∴椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F(±1,0)．
10．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝
6||，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(x－1，y)，由·＝6||，得－3(x－4)＝6，平方化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
感悟高考
(2010·湖北)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．
解析 依题意知，点P在椭圆内部．画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时(|PF1|＋|PF2|)min＝2，当P在椭圆顶点时，取到(|PF1|＋|PF2|)max＝(－1)＋(＋1)＝2，故范围为[2,2)．
答案 [2,2)
技能演练
1.椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
答案 D
2．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A. B.或18
C. 18 D.或6
答案 B
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
5．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同交点，则a的取值范围是( )
A．(－，) B．(－3,3)
C．(－2,2) D．(－4,4)
答案 C
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析 由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于________．
解析 由题可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝c.
∴e＝＝.
答案
8．过椭圆＋＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 右焦点的坐标为(3,0)，当x＝3时，代入椭圆方程得＋＝1，∴y2＝，∴|y|＝.
故|AB|＝2|y|＝.
答案
9．椭圆过(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝
当b2＝a2－c2＝3
故椭圆的方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27.
故椭圆的方程为＋＝1，
∴所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
10．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形．
∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
感悟高考
(2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析 设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
则2a＋2c＝2×2b，
即a＋c＝2b?(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，
整理得5c2＋2ac－3a2＝0，
即5e2＋2e－3＝0?e＝，或e＝－1(舍)，选B.
答案 B
技能演练
1.点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2解析 点A(a,1)在椭圆内部，则＋<1，
即a2<2，∴－答案 A
2．(2010·福建厦门月考)直线y＝x＋2经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝－2，∴b＝2，
c＝2，∴a＝＝2，∴e＝＝＝.
答案 B
3．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是( )
A. B.
C. 1 D.
解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y＝x的距离为d＝＝.
答案 B
4．若椭圆a2x2－y2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a为( )
A. B.
C. D.
解析 由a2x2－y2＝1，得＋＝1，
∴a＜0，∵焦点(－2,0)，
∴＋＝4，即4a2－2a－1＝0，
解得a＝，或a＝(舍去)．
答案 A
5．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．4,8 B．6,8 C．8,12 D．2,6
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，两圆的半径为R，由题意可知|PM|＋|PN|的最大值为|PF1|＋|PF2|＋2R，最小值为|PF1|＋|PF2|－2R，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，R＝1，所以|PM|＋|PN|的最大值为8，最小值为4.
答案 A
6．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为________．
解析 由题意可知∴
b2＝a2－c2＝12－3＝9.
∴椭圆方程为＋＝1，或＋＝1.
答案 ＋＝1，或＋＝1
7．设P为椭圆＋y2＝1上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足＝(＋)，则||＋||＝________.
解析
如图所示，F0为椭圆的右焦点，连接PF0，
由＝(＋)，
可知M为PF的中点，
则||＝||，
∴||＋||＝||＋||＝(||＋||)＝a＝2.
答案 2
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以坐标原点O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，∵四边形OAPB是正方形，且PA，PB为圆O的切线，
∴△OAP是等腰直角三角形，
故b＝c，a＝c，∴e＝.
答案
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(2，－3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆以M(－1,2)为中点的弦所在直线的方程．
解 (1)由椭圆经过点N(2，－3)，
得＋＝1，
又e＝＝，解得a2＝16，b2＝12.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)显然M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，
则＋＝1，＋＝1.
相减得＋＝0.
整理得kAB＝－＝，
则所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，
即3x－8y＋19＝0.
10．已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
解 (1)设P(x，y)，依题意，有＝，整理，得＋＝1，
∴动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M，N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，
6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2 ＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
感悟高考
1.(2010·福建)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析 由题意，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3(1－)，
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y
＝x0(x0＋1)＋3(1－)＝＋x0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
∵－2≤x0≤2，∴当x0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6，选C.
答案 C
2．(2010·安徽)如图椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1.(a>b>0)
由e＝，得＝，b2＝a2－c2＝3c2，∴＋＝1.
将A(2,3)代入，有＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程为y＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.直线AF2的方程为x＝2.
由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．
设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有＝|x－2|，
若3x－4y＋6＝5x－10，
得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．
于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.
∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为
2x－y－1＝0.
技能演练
1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
解析 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．
答案 D
2．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.
答案 A
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由题意可知
|AF1|＋2a＝|AF2|，|BF1|＋2a＝|BF2|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＋4a＝2|AB|＋4a＝26.故选D.
答案 D
4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 由双曲线的方程知，a＝，b＝，
∴c＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
将x＝－3代入双曲线的方程得y2＝.
不妨设点M在x轴上方，则M(－3，)．
∴|MF1|＝，|MF2|＝.
设点F1到直线F2M的距离为d，
则有|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，∴d＝.
答案 C
5．已知P为双曲线－＝1上任意一点，A(5,0)，B(－5,0)，则kPA·kPB为( )
A. B.
C．－ D.
解析 设P(x0，y0)，则－＝1，∴y＝9(－1)．
又kPA·kPB＝·＝
＝＝.故选D.
答案 D
6．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．
答案 －＝1
7．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是________．
解析 由题可知∴－2答案 (－2，－1)
8．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析 由双曲线方程－＝1知，渐近线方程为y＝±x，右焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d＝＝.
答案
9．设双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，点M在双曲线上，若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
解 由题意知a2＝4，b2＝9，∴c2＝13.
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
则由双曲线定义知|r1－r2|＝2a＝4，
∴(r1－r2)2＝r＋r－2r1r2＝16. ①
又∵∠F1MF2＝90°，
∴r＋r＝|F1F2|2＝4c2＝52. ②
∴由①②得r1r2＝18.
∴S△F1MF2＝r1r2＝9.
10．设A，B，C三点是红方三个炮兵阵地，A在B正东6 km处，C在B北偏西30°，相距4 km处，P为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．
解
如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
∵kBC＝－，BC中点为D(－4，)，
∴直线PD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，∴P(8,5)．
因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
感悟高考
1.(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析 由双曲线方程可知a2＝1，b2＝，∴c2＝.∴c＝，故右焦点坐标为(，0)．
答案 C
2．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是________．
解析 由题可知M的坐标为(3，±)，右焦点F(4,0)，∴|MF|＝＝4.
答案 4
技能演练
1.双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
答案 C
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 由题意知·＝1，
化简得a2＋b2＝m2
∴以a，b，m为边长的三角形为直角三角形．
答案 B
4．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
答案 D
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
6．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________．
答案 －＝1
7．双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________．
解析 由题意知a＝2，
当焦点在x轴上时，有＝2
∴b＝4，双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，有＝2
∴b＝1，双曲线方程为－x2＝1.
答案 －＝1或－x2＝1
8．若双曲线＋＝1的离心率为2，则k的值为________．
解析 ∵＋＝1是双曲线，
∴k＋4＜0，k＜－4.
∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．
∴c2＝a2＋b2＝5－k.
∴＝＝2.
∴5－k＝36，k＝－31.
答案 －31
9．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率．
分析 只知渐近线方程，并不知焦点在哪个轴上，因此应分情况解答．
解 设具有渐近线y＝±x的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，即－＝1.
若λ＞0，焦点在x轴上，a2＝16λ，b2＝9λ，
c2＝a2＋b2＝25λ，
∴e2＝＝，e＝；
若λ＜0，焦点在y轴上，a2＝－9λ，b2＝－16λ，
c2＝a2＋b2＝－25λ，
∴e2＝＝＝，∴e＝.
∴e＝，或e＝.
10．求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1，或－＝1(a>0，b>0)．
由题知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1，或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝，且a＝3，∴b＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝，且a＝3，∴b＝2.
∴所求双曲线方程为－＝1.
感悟高考
(2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
答案 (±4,0) x±y＝0
技能演练
1.已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由9y2－m2x2＝1(m＞0)，
得－＝1，知顶点(0，)．
渐近线方程为y＝x，
则顶点到该渐近线的距离d＝＝.
解得m2＝16，∴m＝4.
答案 D
2．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知线段F1F2被点(b,0)分成5?1两段，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 由题可知b＋c＝5(c－b)，∴3b＝2c.
∴9b2＝4c2＝9(c2－a2)．
∴5c2＝9a2，∴e2＝，e＝.
答案 C
3．(2010·北京西城)已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c>0)，它们所表示的曲线可能是( )
解析 方程ax2＋by2＝ab可化为＋＝1，
直线ax＋by＋c＝0的斜率为－.
A中，直线的斜率－<0，纵截距－>0，∵c>0，∴b<0，a<0，∴方程＋＝1表示双曲线，其中b>0，a<0，矛盾，A错．
B中，由方程＋＝1可知，b<0，a>0，直线中－>0，－>0，则b<0，a>0，故B正确．
答案 B
4．(2010·福建福州月考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析
设A(c，y0)代入双曲线方程得－＝1，∴y＝.
∴|y0|＝，∴|AF|＝.
∵△ABE是钝角三角形，
∴∠AEF>45°.
则只须|AF|>|EF|，即>a＋c，∴b2>a2＋ac，
即c2－a2>a2＋ac，c2－ac－2a2>0.
∴e2－e－2>0，解得e>2，e<－1(舍去)．故选D.
答案 D
5．(2010·北京西城)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足·＝0，＋的值为( )
A．2 B.
C．4 D.
解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为m，不妨设P在第一象限，由题可得
①2＋②2得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，
∴a2＋m2＝2c2.
又＋＝()2＋()2＝＝2.故选A.
答案 A
6．若动点P(x，y)到定点F(5,0)的距离是它到直线x＝的距离的倍，则动点P的轨迹方程为________．
解析 设P(x，y)，则＝，
化简整理得16x2－9y2＝144.
答案 16x2－9y2＝144
7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.
解析 因为渐近线方程为y＝x，∴b＝.
∴双曲线方程为x2－y2＝2.
∴点P的坐标为(，±1)．
又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(，1)．
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝0.
答案 0
8．(2010·广东月考)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0，且b＝3可得a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a?|PF1|－3＝2?|PF1|＝5.
答案 5
9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解 双曲线的方程可化为－＝1，
∴a2＝9，b2＝16，∴c＝5.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
∴cos∠F1PF2＝
＝.
又|PF1|·|PF2|＝32，
∴cos∠F1PF2＝＝0.
∴∠F1PF2的大小为90°.
10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
解 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
依题意c＝，∴方程可以化为－＝1，
由得
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
感悟高考
(2010·浙江)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
解析 设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，
在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b，则4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，∴(2b－a)2＝a2＋b2.
∴3b2－4ab＝0，即3b＝4a.
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即y＝±x，故选C.
答案 C
技能演练
1.(2010·北京朝阳)抛物线x2＝－8y的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
答案 B
2．(2010·广东河源)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B.
C. D．0
答案 B
3．(2010·湖南高二期末)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
4．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 点(3,5)在直线2x＋3y－21＝0上，所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线．
答案 D
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
答案 B
6．已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则点P的轨迹方程为________．
解析 由题意可知点P到(3,0)的距离与到x＝－3的距离相等，故P的轨迹是抛物线，p＝6，∴方程为y2＝12x.
答案 y2＝12x
7．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到直线x＝－1的距离为________．
解析 如图所示，B(1,0)是抛物线y2＝4x的焦点，直线l：x＝－1是抛物线的准线，过A作AA′⊥l于A′，则|AA′|＝AB＝6.则M到直线x＝－1的距离为＝4.
答案 4
8．若抛物线y2＝8x上一点A到焦点的距离为6，则该点的横坐标为________．
解析 设横坐标为x0，抛物线的准线为x＝－2，
则x0＋2＝6，x0＝4.
答案 4
9．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
解 由抛物线定义，设焦点为F(－，0)．
则准线为x＝，过M作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝10.即 －(－9)＝10，
∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(－9,6)，或M(－9，－6)．
10．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，
由点B在抛物线上，
得()2＝－2p(－)，
p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
由点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小整数值为13 m.
感悟高考
1.(2010·上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程为________．
解析 由定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p＝4，所以其方程为y2＝8x.
答案 y2＝8x
2．(2010·安徽)抛物线y2＝8x的焦点坐标是________．
解析 抛物线y2＝8x，所以p＝4，所以焦点为(2,0)．
答案 (2,0)
技能演练
1.直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
解析 由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.
答案 B
2．已知点M(－4,1)，F为抛物线C：y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P的坐标是( )
A．(0,0) B．(－1,2)
C．(－，1) D．(－2,2)
解析
如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，
∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.
∴当|PF|＋|PM|取小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为(－，1)．
答案 C
3．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a为( )
A．－1 B．1
C．－ D．－2
解析 抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a＋1＝0，∴a＝－1.
答案 A
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
解析 根据抛物线定义，点P到准线的距离转化为到焦点F(，0)的距离，故为(0,2)和(，0)的距离为.
答案 B
5．已知抛物线y＝4ax2(a>0)的准线与圆x2＋y2＋mx－＝0相切，且此抛物线上的点A(x0,2)到焦点的距离等于3，则m＝( )
A．± B．±
C．±1 D．0
解析 抛物线y＝4ax2的准线方程为y＝－，
由题知2＋＝3，∴a＝.
∴抛物线的准线为y＝－1，
圆的方程可化为(x＋)2＋y2＝＋，
由圆与抛物线的准线相切可得
＝1，即m＝±，故选A.
答案 A
6．P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上任一点，则P到焦点的距离是________．
解析 抛物线的准线为y＝－，
∴P到焦点的距离为y0＋.
答案 y0＋
7．抛物线y＝4x2上一点P，则P到直线y＝4x－5的距离的最小值为________．
解析 设P(x，y)，则d＝
＝＝≥＝.
答案
8．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义可知x0＋＝6，∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
9．已知点A(x，y)在抛物线y2＝4x上运动，求z＝x2＋y2＋3的最小值．
解 ∵A在抛物线上，∴x≥0，
z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3，
二次函数z＝x2＋2x＋3的对称轴为x＝－1.
∴在[0，＋∞)上是增函数．
∴当x＝0时，z有最小值3.
10．一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线的方程．
解 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
将直线方程y＝2x－4代入，并整理得
2x2－(8＋p)x＋8＝0.
设方程的两个根为x1，x2，则根据韦达定理有
x1＋x2＝，x1x2＝4.
由弦长公式，得
(3)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即9＝()2－16.
整理得p2＋16p－36＝0，
解得p＝2，或p＝－18，此时Δ>0.
故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.
感悟高考
1.(2010·重庆)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析 由抛物线的定义可知|AF|＝|AA1|＝|KF|＝2，∴AB⊥x轴，故|AF|＝|BF|＝2.
答案 2
2．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
方法1：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，所以3＋＝4，p＝2.
方法2：作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，∴－＝－1，p＝2.
答案 C
技能演练
1.平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是( )
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．不存在
解析 当点F在直线l上时为过点F与l垂直的为直线，当点F不在直线l上时为抛物线．
答案 C
2．顶点在原点对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝－12x
C．y2＝16x D．y2＝12x
解析 直线与x轴的交点坐标为(4,0)，∴抛物线的焦点为(4,0)，∴＝4，p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x.
答案 C
3．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 因为点(3,2)在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点．
答案 B
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 由题可知，抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，∴a＝±8，故选B.
答案 B
5．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A，B两点，其中A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于( )
A．7 B．3
C．6 D．5
解析 将A(1,2)分别代入抛物线与直线方程可得
p＝2，a＝2，∴可得x2－5x＋4＝0，∴x2＝1，x2＝4.|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝7.
答案 A
6．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________．
解析 由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，
所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，
则A点坐标为(r，r)，
于是有(r)2＝2×r，解得r＝4，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
答案 (x－4)2＋y2＝16
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线m交抛物线于A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
解析 分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，
得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6.
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3.
∴F为线段AC的中点．
故F到准线的距离p＝|AA1|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x.
答案 y2＝3x
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，则点A的坐标为________．
解析 如图，由题意可得|OF|＝1，
由抛物线定义，得|AF|＝|AM|，
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3:1，
∴＝
＝3.
∴|AF|＝|AM|＝3，设A(x0，y0)．
∴x0＋1＝3，x0＝2，代入y2＝4x，可得y＝8.
解得y0＝±2，
∴点A的坐标是(2，±2)．
答案 (2，±2)
9.
如图，l1，l2是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称．M到l1，l2的距离分别是2 km、4 km，N到l1，l2的距离分别是3 km、9 km.
(1)建立适当的坐标系，求抛物线MN的方程；
(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5 km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km，求该厂离点O的最近距离．(注：工厂视为一个点)
解
(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，N(3,9)．
设MN所在抛物线的方程为
y＝ax2＋c，
则有解得
故所求抛物线MN的方程为
y＝x2(2≤x≤3)．
(2)设抛物线弧上任意一点P(x，y)，则y＝x2(2≤x≤3,4≤y≤9)，厂址为A(0，t)(5由题意|PA|＝≥，
即y＋(y－t)2≥6，
∴y2＋(1－2t)y＋t2－6≥0(*)
－＝t－∈[4,9]．
∴要使(*)恒成立，只须当y＝时成立，
即＋(1－2t)＋t2－6≥0，
即得4t－25≥0，∴t≥，又5∴t的最小值为.
故该厂离点O的最近距离为 km.
10．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解 (1)联立
消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴(y1·y2)2＝x1·x2.
∴x1·x2＝1.∴x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0.∴OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1，0)，
∴S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1× ＝，
解得k2＝，所以k＝±.
感悟高考
1. (2010·重庆)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
解析 设BF＝m，由抛物线的定义知
AA1＝3m，BB1＝m，
∴△ABC中，AC＝2m，AB＝4m，kAB＝，
直线AB方程为y＝(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)
直线方程与抛物线方程联立消去y得3x2－10x＋3＝0，
所以AB中点到准线距离为
＋1＝＋1＝.
答案
