技能演练
1.已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
答案 D
2．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x1处的导数
C．在区间[x0，x1]上的导数
D．在x处的平均变化率
答案 A
3．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为( )
A．0 B．1
C．c D．不存在
答案 A
4．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析 ＝
＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案 B
5．已知函数f(x)＝2x2的图像上点P(1,1)及邻近点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则 ＝( )
A．4x B．4
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析 ＝ ＝ (4＋2Δx)＝4.
答案 B
6．某质点的运动方程是S＝t－(2t－1)2，则在t＝1 s时的瞬时速度为________．
解析 ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)
＝[1＋Δt－(2＋2Δt－1)2]－[1－(2－1)2]
＝4(Δt)2－3Δt，
∴ ＝ (4Δt－3)＝－3.
答案 －3
7．函数y＝x2－2x＋3在2到之间的平均变化率为________．
解析 ＝
＝.
答案
8．若f′(x0)＝2，则 ＝________.
解析
＝－·
＝－·f′(x0)＝－1.
答案 －1
9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1,2]时，平均增长率的大小．
解 设f(x)＝2x在x∈[1,2]时的平均变化率为k1，则k1＝＝2，
设g(x)＝3x在x∈[1,2]时的平均变化率为k2，则k2＝＝6，
∵k1
10．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)
＝2a·Δx＋a(Δx)2，
∴f′(1)＝ ＝ (2a＋a·Δx)＝2a＝4
∴a＝2.
技能演练
1.设f(x)＝，则 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ＝ ＝
＝－ ＝－.
答案 C
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析 由导数的定义，知y′＝2x，∴tan＝1，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝，则y0＝，故选D.
答案 D
3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析 由导数的定义知y′＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2.
∴a＝1.
答案 A
4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．h′(a)<0 B．h′(a)>0
C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定
答案 A
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2 B. 1
C. D.
答案 C
6．函数f(x)＝－2x2＋3在点(0,3)处的导数是________．
答案 0
7．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析 从图中可知，切线的方程为＋＝1，
∴切线的斜率为－，∴f′(2)＝－.
当x＝2时，代入方程得y＝，f(2)＝，
∴f(2)＋f′(2)＝－＝.
答案
8．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________．
解析 由导数的定义可知y′＝2x，设P(x0，y0)，
∴y′|x＝x0＝2x0＝3，∴x0＝.
∴y0＝x＝，∴P的坐标为(，)．
答案 (，)
9．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 因为f′(1)＝ ＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.所以所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
10．求双曲线y＝在点(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解 ∵y＝，
∴k＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.
切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
技能演练
1.已知f(x)＝excosx，则f′()的值为( )
A．eπ B．－eπ
C．－e D．以上均不对
答案 C
2．函数f(x)＝的导数是( )
A. B.
C. D.
答案 D
3．曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4
C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1
解析 y′＝3x2－8x，∴y′|x＝1＝－5.
∴切线方程为y－1＝－5(x－1)，∴y＝－5x＋6.
答案 C
4．已知点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A．[0，] B．[，]
C．[，π] D．[0，)∪[，π)
解析 ∵y′＝3x2－1≥－1.∴tanα＝3x2－1≥－1，
∴α∈[0，)∪[，π)．
答案 D
5．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B.
C．2 D．以上答案都不对
解析 ∵y＝x2，∴y′＝2x.
∵抛物线y＝x2的切线与直线x－y－2＝0平行的只有一条，且k＝1，∴y′＝2x＝1，∴x＝.
∴切点为(，)．该点到直线的距离为
d＝＝.
答案 B
6．已知f(x)＝x2＋2sinx，则f′(0)＝________.
解析 f′(x)＝2x＋2cosx，
∴f′(0)＝2×0＋2cos0＝2.
答案 2
7．已知曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行直线y＝4x－1，则P点的坐标为________．
解析 f′(x)＝3x2＋1，直线y＝4x－1的斜率为4，
f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝1，或x0＝－1.
当x0＝1时，f(x0)＝0，
当x0＝－1时，f(x0)＝－4，
∴P点坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案 (1,0)或(－1，－4)
8．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案 －4
9．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．
分析 把直线x＋2y－4＝0平行移动，当与曲线y＝(x<0) 相切时，切点即为所求．
解 由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x<0)相切的切点即为所求．
设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得
k＝y′|x＝x0＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－.
∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－.
∵x<0，∴x0＝－，y0＝－＝－.
∴P(－，－)为所求．
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)的图像过点P(0,1)，∴e＝1.
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.
∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴可得切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.①
∵f′(x)＝4ax3＋2cx，
∴f′(1)＝4a＋2c.
∴4a＋2c＝1.②
由①②得a＝，c＝－.
∴f(x)＝x4－x2＋1.
感悟高考
1. (2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
解析 y′＝－＝－，
∵ex＋≥2，∴－1≤y′<0，
即－1≤tanα<0，∴α∈[，π)．
答案 D
技能演练
1.设f(x)＝x＋(x<0)，则f(x)的单调减区间为( )
A．(－∞，－2) B．(－2,0)
C．(－∞，－) D．(－，0)
解析 f′(x)＝－＝＝
∵x<0，令f′(x)<0，得－答案 D
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，函数f(x)为奇函数
D．?a∈R，函数f(x)为偶函数
解析 当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在，故选C.
答案 C
4．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析 函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝()′＝＝>0，
∴f(x)的单调增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
答案 C
5．在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 从f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，－1)(1，＋∞)是增函数，在(－1,1)是减函数，
∴当x<－1，或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
答案 A
6．下列命题中正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.
解析 ①y＝x3在x∈(－∞，＋∞)为增函数，而y′＝2x2≥0，故①错．②错．③正确．④由f′(x)<0能判断f(x)为减函数，但不能判定f(x)<0.
答案 ③
7．已知导函数y＝f′(x)的图像如下图所示，请根据图像写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．
解析 从图像可知f′(x)>0的解为－15，∴f(x)的递增区间为(－1,2)，(5，＋∞)．
答案 (－1,2)，(5，＋∞)
8．函数f(x)＝lnx－x2的单调增区间是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＝，
令f′(x)>0，即>0，解得0∴f(x)在(0,1)上为增函数．
答案 (0,1)
9．求证：函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
分析 可以利用单调性的定义，也可以借助导数进行证明．
证明 证法1：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1>0，x－1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证法2：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
∵x∈(1，＋∞)，∴f′(x)<0.
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7].
感悟高考
(2010·新课标)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2，若a＝0，求f(x)的单调区间．
解 当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．
技能演练
1.函数y＝2x3－x2的极大值为( )
A．0 B．－9
C．0， D.
解析 y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>，
令y′<0，解得0∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.
答案 A
2．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，
易判断当x＝1时，有极大值y＝3，
当x＝－1时，有极小值y＝－1.故选D.
答案 D
3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有极小值，且函数过原点，则该三次函数为( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
解析 当y′＝0时，x＝1，x＝3，
导函数可能为y′＝3(x2－4x＋3)，
∴原函数可能为y＝x3－6x2＋9x.
答案 B
4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析 y′＝6x2－2ax＋36，
∵x＝2为极值点，
∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0，
解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，
令y′＝0，得x＝2，x＝3，
∴y′>0时，x<2或x>3，
当y′<0时，2∴递增区间是(－∞，2)，(3，＋∞)，故选B.
答案 B
5．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析 由题意f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0得x>3；
令f′(x)<0得0令f′(x)＝0得x＝3.
故函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3<0；
又f(1)＝，f(e)＝－1<0，
f()＝＋1>0，故选D.
答案 D
6．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极小值为________．
解析 y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)
＝6(x－2)(x－3)．
当x<2时，y′>0；当2当x>3时，y′>0.∴当x＝3时有极小值．
∴极小值为f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3.
答案 3
7．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝x2＋2x＋a，
∵f(x)在R上没有极值点，
∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
答案 a≥1
8．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c＝6.
当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
当2，f′(x)>0，
∴当x＝2时有极小值．
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，
当20，
∴当x＝2时有极大值．
∴c＝6符合题意．
答案 6
9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)解 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
∵函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取得极大值，f(1)＝5＋8c.
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c，
∴对于任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9，
因此，c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由题易知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝.
当x变化时，f′(x)和f(x)的值的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.
(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，
得g′(x)＝2x＋－.
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．
即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，
也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．
令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x<0，
∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，
∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.
故实数a的取值范围为[0，＋∞).
感悟高考
(2010·江西)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1·x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，
从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
技能演练
1.下列命题中真命题是( )
A．函数的最大值一定不是该函数的极大值
B．函数的极大值可以小于该函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
答案 B
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1 B．0C．－1解析 设f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
若a＝0，则f′(x)＝3x2，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)是增函数，
∴无最小值，排除A、C.
当a＝时，f′(x)＝3(x2－)，
令f′(x)＝0，x＝±，
∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝时，f(x)有最小值，
排除D，故选B.
答案 B
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.
答案 A
4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的奇函数
解析 求导可得f′(x)＝x＋sinx，
显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，
则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，
当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，
所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案 D
5．若f′(x0)＝0，则x0是( )
A．极大值点 B．极小值点
C．最值点 D．可能是极值点
答案 D
6．函数f(x)＝－x3＋3x在区间[－3,3]上的最小值是________．
解析 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(3)＝－18，f(－3)＝18，
∴f(x)的最小值为－18.
答案 －18
7．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
解析 f′(x)＝2x＋2a.令f′(x)＝0，x＝－a，
∴若f(1)为最小值，只须－a≥1，∴a≤－1.
答案 (－∞，－1]
8．函数y＝x·ex的最小值为________．
解析 f′(x)＝(x·ex)′＝1·ex＋x·ex
＝(x＋1)·ex.
令f′(x)>0得x>－1，
令f′(x)<0得x<－1，
∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
f(x)在(－∞，－1)上单调递减．
∴f(x)min＝f(－1)＝－1·e－1＝－.
答案 －
9．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，a]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3，
由f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
则当x∈[1，＋∞)时，恒有f′(x)≥0，
即3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立．
由Δ＝4a2＋36>0，≤1且f′(1)＝－2a≥0，
解得a≤0.
(2)依题意得f′(－)＝0，即＋a－3＝0，a＝4，
则f(x)＝x3－4x2－3x，
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，
解得x1＝－，x2＝3，
而f(1)＝－6，f(3)＝－18，f(4)＝－12，
故f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.
10．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.
故a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x，
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)．
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8；
∴当x＝时，f(x)取得最小值为－8.
当x＝3时，f(x)取得最大值为18.
感悟高考
(2010·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解 (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵函数g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
∴f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知，g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－0，从而g(x)在[－，]上是增函数．
∴g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
技能演练
1.把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
解析 设矩形的长为x，则宽为4－x，
则面积S＝x(4－x)＝4x－x2，
∴当x＝2时，Smax＝4.
答案 B
2．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A．1:2 B．1:π
C．2:1 D．2:π
解析 设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π()2·x＝(x3－12x2＋36x)(0此时底面周长为4，底面周长:高＝4:2＝2:1.
答案 C
3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析 ∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案 D
4．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长为( )
A. B.
C. D．2
解析 设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，
∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l
＝x2＋，
S′表＝x－＝0，
∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，y′<0，
x∈(，V)时，y′>0，
∴当x＝时，表面积最小．
答案 C
5．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为________．
解析 设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m2，
此时矩形的宽为>0.
∴y＝x·＝－x2＋20x.(0y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，
当00.
当20∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.
答案 200 m2
6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．
解析 由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．
设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.
于是y′＝0.048k－2kx.
令y′＝0，得x＝0.024.
依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．
答案 0.024
7．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2，
又V＝πR2h，则h＝，
∴S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，
由S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得R＝ ，从而h＝＝2 ，即h＝2R，
当R< 时，S′(R)<0，当R> 时，S′(R)>0.
因此，当R＝ 时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值．
答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．
8.
某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地形AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？
(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方形建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
解 (1)依题意三角形NDC与三角形NAM相似，
∴＝，即＝，AD＝20－x，
矩形ABCD的面积为S＝20x－x2，
定义域为0要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，
即20x－x2≥144，
化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，
∴AB长度应在[12,18]内．
(2)仓库体积为V＝20x2－x3(0V′＝40x－2x2＝0，得x＝0，或x＝20，
当00，当20∴x＝20时V取最大值米3,
即AB长度为20米时仓库的库容量最大.
感悟高考
(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析 ∵y′＝－x2＋81，
∴当x>9时，y′<0，当00.
∴函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．
∴x＝9是函数的极大值点．
又∵函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，
∴在x＝9处取得最大值．
答案 C
