(共30张PPT)
4.3 解直角三角形的应用
第2课时 坡度问题
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌
握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步
提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. (重点、
难点)
观 察
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
如图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
一、坡度问题
（坡度通常写成1:m的形式）．
坡度越大，山坡越陡．
在图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作 α ，显然，坡度等于坡角的正切，即
30
1 ∶ 1
α
l
h
练一练
例2 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2.小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点 C .这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i = 1:2
典例精析
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°，AC = 240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
从而 BC = 240×sin26.57°≈ 107.3（m）．
因此
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
1、 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i =1:2.5
23
6
α
i =1:3
解： 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，
由计算器可算得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 为 22°.
练一练
解：分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，
由题意可知 BE = CF = 23 m ， EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i =1:2.5
23
6
α
i =1:3
∴ AF = 3BE = 3×23 = 69 (m) .
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
故坝底 AD 的长度为132.5m，斜坡 AB 的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i =1:2.5
23
6
α
i =1:3
FD = 2.5CF = 2.5×23 = 57.5 (m) .
∴ AD = AE + EF + FD = 69 + 6+57.5 = 132.5 (m) .
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为 米.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
二、解与方位角有关的问题
解：作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点D.
设 CD = x km.
在 Rt△ACD 中，
例3 如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在点A处测得灯塔C在北偏东60°方向，继续航行1h到达点B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向，已知灯塔C附近30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
北
东
C
B
A
60°
30°
D
E
D
分析 这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30km.如果大于30km，则安全，否则不安全.
北
东
C
B
A
60°
30°
D
同理，在 Rt△ACD 中，
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 海里）？
65°
34°
P
B
C
A
练一练
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos（90°－65°）
= 80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130 海里 ．
65°
34°
P
B
C
A
200km
200km
C
练 习
1.一种坡屋顶的设计图如图所示．已知屋顶的宽度 l 为10m，坡屋顶的高度 h 为3.5m，求斜面 AB 的长度和坡角 α (长度精确到0.1m，角度精确到1°).
2.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说 B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东55°方向；B 船说 C 船在它的北偏西 35°方向；C 船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远40km.求 A，B两船的距离 (结果精确到0.1km).
A. 9m B. 6m C. m D. m
A
C
B
B
4. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔 M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
B
5. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，C 岛在 B 岛的北偏西40°方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 ．
90°
6. 如图，海上 B、C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向，一艘船从 A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43°方向，则 A、B 两岛之间的距离为 ．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈ 0.68， cos43°≈ 0.73，tan43°≈ 0.93)
33.5海里
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
由题意可知
DE = CF = 4 (米)，CD = EF = 12 (米)．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在 Rt△ADE 中，
E
F
∴ AB = AE + EF + BF ≈ 4 + 12 + 6.93 ≈ 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
在 Rt△BCF 中，同理可得
6. 如图有一个古镇建筑 A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
课堂小结
本课结束(共25张PPT)
4.3 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角问题
学习目标
1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，
在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并
从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. (重点、难点)
动脑筋
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点 B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
一、解与仰俯角有关的问题
2
A
C
B
D
E
海平面
如图，BD 表示点 B 的海拔， AE 表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC.
动脑筋
如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1600m，仰角 ∠BAC = 40°，求 A，B 两点之间的水平距离 AC (结果保留整数) .
1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a = 30°，β = 60°.
Rt△ABD 中，a = 30°，AD =120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
练一练
解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
2、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD = 90°，
BC = DC = 40 m.
在Rt△ACD中 ，
∴ AB = AC－BC = 55.2－40 = 15.2 (m).
例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m.求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1 m).
从而，BC = 1000×tan25°≈ 466.3 (m)
BD = 466.3 + 1.7 = 468 (m).
答：上海东方明珠塔的高度 BD 为 468m.
典例精析
如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
变式1
解：如图，由题意可知，∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50m.
∴ ∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50m ，
设AB′ = x m.
D′
A
B′
B
D
C′
C
如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈ 0.8，cos37 °≈ 0.6，tan 37°≈ 0.75）
A
B
37°
45°
400米
P
变式2
A
B
O
37°
45°
400米
P
设PO = x米，
在Rt△POB中，∠PBO = 45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB = PO = x米.
解得 x =1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
即
故飞机的高度为1200米.
练 习
1、如图，一艘游船在离开码头 A 后，以和河岸成 30°角的方向行驶了 500 m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC .
2、如图，某厂长新开发的一种电动车的大灯 A 射出的光线 AB ，AC 与地面 MN 所形成的夹角∠ABN，∠CAN 分别是 8°和 15°，大灯 A 与地面的距离为 1m，求该车大灯照亮地面的宽度 BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.
3. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_________米.
4. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
图①
B
C
A
图②
B
C
A
D
30°
60°
5. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树15米的 E 处，测得
仰角 ∠ACD = 52°，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）.
A
D
B
E
C
20.9 米
6. 如图，在电线杆上离地面高度5m的 C 点处引两根拉线固定电线
杆，一根拉线 AC 和地面成60°角，另一 根拉线 BC 和地面成45°
角．则两根拉线的总长度为 m (结果用带根号的数的
形式表示).
7. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．(tan39°≈ 0.81)
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：由题意，AC = AB = 610（米）.
A
E
B
C
D
39°
45°
A
E
B
C
D
39°
45°
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
故 BE = DE tan39°．
∵CD = AE，
∴CD = AB－DE·tan39°
= 610－610×tan39°≈ 116（米）.
45°
30°
O
B
A
200米
8. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和 45°，求飞机的高度PO .
P
课堂小结
模型一
模型二
模型三
模型四
仰角、俯角问题的常见基本模型：
A
D
B
E
C
本课结束(共15张PPT)
习 题
4.4 解值角三角形的应用
1.如图，有一段斜坡 BC 长为10m，坡角∠CBD = 12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为 5°.
(1) 求坡高 CD (结果精确到0.1m)；
B
D
C
A
5°
12°
(参考数据：sin 12°≈ 0.21，cos12°≈ 0.98，tan5°≈ 0.09.)
(2) 求斜坡新起点A与原起点B的距离(结果精确到0.1m).
B
D
C
A
5°
12°
(参考数据：sin 12°≈ 0.21，cos12°≈ 0.98，tan5°≈ 0.09.)
则 AB = AD－BD = 23.33－9.8 ≈ 13.5，
答：斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5m
2.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是多少？
3.图(1)是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，图(2)是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部 BC 垂直于墙面 CD ，且当导风板所在直线 AE 与竖直线 AB 的夹角 α 为40°时，空调风刚好吹到床的外边沿 E处．若 AB = 0.02m，BC = 0.2m，床铺长 DE = 2.3m，求空调挂机底部位置距离床的高度 CD (结果精确到0.1m).
图（1）
图（2）
(参考数据：sin 12°≈ 0.21，cos12°≈ 0.98，tan5°≈ 0.09.)
4.如图所示，某同学站在距离圣诞树3m的位置 C 处．已知他的目高 CD为1.4m. 若他测得树顶的仰角为30°，求该圣诞树的高度(结果精确到0.1m).
A
B
E
D
C
1.4m
30°
5.如图，塔 AD 的高度为30m，塔的底部 D 与桥 BC 位于同一条水平直线上．由塔顶 A 测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC 分别为60°和30°.求 BD，BC 的长(结果精确到0.01m).
6.如图(a)，A，B 和 C 是三个小岛．一艘船由 A 处出发向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行 3km 到达 C 处．
(1) 求由 A 测得 C 的方位角的大小(结果精确到1°).
∴ ∠CAB ≈ 37°.
故由A 测得C的方向角为北偏东53°.
(2) 如图(b)，直升机由 C 飞往 A ，其飞行高度一直保持在海平面以上的 h km.当直升机飞到 P 处时，由 P 测得 C 和 A 的俯角分别是48°和65°.已知 A，C，P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h (结果精确到0.1km).
7.如图，MN 表示水平地面，由地面上 A 处测得山上 B 处的仰角是25°，由山顶 C 处测得 B 处的俯角是40°.若 AB∶BC = 2∶3，求由 A 处测得 C 处的仰角（结果精确到0.1°).
F
E
D
解：设 AB = 2a，则 BC = 3a，作 BE⊥MN、
CD⊥MN、BF⊥CD 分别于点 E、D、F.
在直角△ABE中，
BE = AB·sin∠BAE = 2a·sin25°≈ 0.85a.
AE = AB·cos∠BAE = 2a·cos25°≈ 1.81a.
在直角△BCF中，
CF = BC·sin∠CBF = 3a·sin40°≈ 1.93a，
本课结束
