(共24张PPT)
1.2 反比例函数的
图象与性质
1.了解反比例函数 的相关性质.
(重点、难点）
2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．
（重点、难点）
3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题．
学习目标
探 究
O
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2
-3
-4
-5
-6
例1：画反比例函数 的图象.
解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为：
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 …
典例精析
描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
y
x
O
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
总结归纳
问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？
x
y
x
y
双曲线
O
O
二、双曲线的概念及性质
是轴对称图形，也是
以原点为对称中心的中心对称图形．
1、如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是( )
A. (1，3) B. (3，1)
C. (1，-3) D. (-1，3)
x
y
C
O
练 一 练
2、点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”）
<
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故y1练 习
1.画出下列反比例函数的图象：
x -3 -2 -1 1 2
y 1 2 3 -3 -2
（1）列表
作图：
x -2 -1 1 2
y 2 -2
（2）列表
作图：
3. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
2. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.
m ＞ 2
4.已知反比例函数的图象的一支如图所示．
(1)判断k是正数还是负数；
(2)求这个反比例函数的表达式；
(3)补画这个反比例函数图象的另一支．
解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数．
(2)设反比例函数的表达式为 将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略．
5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化
(3) 画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(3) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
能力提升：
7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结
本课结束(共25张PPT)
1.2 反比例函数的
图象与性质
第3课时 反比例函数图象与性质的
综合应用
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于
坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难
点)
3. 体会“数”与“形” 的相互转化，学习数形结合的思想
方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
(重点、难点)
学习目标
动 脑 筋
典例精析
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
一、反比例函数与一次函数的综合
合作探究
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
练一练
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (-3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3，4)，则点 P (-3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.
P
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
练一练
－k + b =2，
解得
练 习
(3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
x
y
O
B
A
把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2.
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2.
x
y
O
B
A
A
y
O
B
x
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
本课结束(共26张PPT)
1.2 反比例函数的
图象与性质
学习目标
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
复习引入
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图象，并且知道一次函数的图象是一条直线，
探 究
提示：画函数的图象步骤一般分为：
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
一、反比例函数的图象和性质
列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，让x分别取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值y，列成下表。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 5 6 …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-4
-6
6
4
3
2
1.5
1.2
1
O
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2
-3
-4
-5
-6
描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
观察图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？
y轴左边的各点是否也有相同的规律？
当 x > 0 时，函数值y随自变量x的增大而减小；
当 x < 0 时，也有这一规律．
我们可以证明：
O
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2
-3
-4
-5
-6
绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明确端点．曲线的发展趋势只能靠近
坐标轴,但不能和坐标轴相交．
方法归纳
做 一 做
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
… …
列表如下：
-1
-1.5
-3
3
1.5
1
描点、连线：
议 一 议
可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限。
对于y轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小；对于y轴左边的点也有这一性质。
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
1. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
练一练
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
O
x
y
2.如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当x1＞x2时，y1＜y2.
练 习
1.画出下列反比例函数的图象：
x -3 -2 -1 1 2 3
y -2 -4 4 2
（1）列表
作图：
x -2 -1 1 2
y -2 2
（2）列表
作图：
2. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
3.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
课堂小结
本课结束(共10张PPT)
1.2 反比例函数的
图象与性质
习 题
列表：
描点、连线：
x … -1 1 …
y … 3 6 -6 3 …
列表：
描点、连线：
（3）这个函数图象位于二、四象限，
函数值随自变量得增大而增大.
本课结束
y
0
X
1.画出反比例函数y=5的图象
2.画出反比例函数y=-3的图象
2x
3.已知点(3，-3)在反比例函数y=k的图象上.
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点A(-1,9),B(-3,2)是否在这个函数的图象上
(3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
4。(1)已知反比例函数y=k-2的图象位于第一、三象限，求k的取值
范围；
(2)已知点(-2，)，(-3，y)在函数y=-2
的图象上，试比较函数值
y1,y2的大小.
5.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k(k为常数，k≠0)的图象的
一个交点的横坐标是2.求当x=-3时，反比例函数y=
的对应函数值.
C
·。
5
-4
3
-2
3-2
一
1
1
32
2
3
y
=
1o 8
-1
5-4
5-3
-
5-2
103
-5
5
g
52
53
小y
432
1
0
5432
12345
7多
2
-3
45
1
X
-1
-2
1
1-4
1-2
1
4
32
3
6
-6
3
3
2
作r
0
解：（1)把3，-3)代入函数得，-3=
解得=-9，则解析式为y=
(2)把x=-1代入解析式得，
把x=3代入解析式得y一
则点A在函数图象上，点B不在函数图象上；
解：(1)2
的图象位于第一，三象限
。.k-2>0
解得k>2
中，k=-2<0
'.在每一象限y都随x的而增大
23
解：当=2时，y=2,则交点坐标为2,2)，
把(2,2)代入y=中，得到k=4,则=生：
当-3时，y=
6.如图，点A在某反比例函数的图象上，且点
A的横坐标为a(a>0),AC⊥x轴，垂足为点C,
且△A0C的面积为2.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点(-a,y),（-2a,y2)在该反比例函数
的图象上，试比较y1与y2的大小
7.指出下列图象中，哪些是y=kx与y=k(k
第6题图)
为常数，k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象.
C%x 2
(1)
(2)
49X4
(3)
(4)
