2013版【名师一号】高中数学（人教A版）选修1-1第三章 导数及其应用 测试题（含详解）

第三章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)
A．7米/秒　　　　　　 B．5米/秒
C．6米/秒 D．4米/秒
答案　B
2．若二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导数y＝f′(x)的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则y＝f(x)的图像顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　设f(x)＝ax2＋bx＝a(x2＋x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)，f′(x)＝2ax＋b过第一、二、三象限的一条直线，∴b>0，a>0，∴－<0，－<0，∴顶点在第三象限．
答案　C
3．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析　y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，
∴倾斜角为45°.
答案　B
4．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D．－或－
解析　f(x)＝－(x＋1)2＋4.
f(x)的开口向下，对称轴为x＝－1，
当x＝－1，f(－1)＝4>，∴a>－1.
∴f(x)在[a,2]是减函数．
∴f(a)＝，解得a＝－，或a＝－(舍去)．
答案　C
5．已知物体的运动方程是S(t)＝t2＋(t的单位：s，S的单位：m)．则物体在时刻t＝2时的速度v与加速度a分别为(　　)
A. m/s　 m/s2
B. m/s　 m/s2
C. m/s　 m/s2
D. m/s　 m/s2
解析　S′(t)＝2t－
∴v＝S′(2)＝2×2－＝.
令g(t)＝S′(t)＝2t－，
∴g′(t)＝2＋2t－3，∴a＝g′(2)＝.
答案　A
6．若函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x)＝0是f(x)在x0处取得极值的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像为(　　)
答案　D
8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x0的解集为(　　)
A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．?
解析　[]′＝<0，
∴为减函数，∵f(2)＝0，∴＝0.
∴>0的解为0答案　A
9．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为(　　)
A．－3 B．0
C．1 D．3
解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题可知f′()＝3a()2＋2b＋c＝0，
∴＋＋c＝0，∴ac＋2b＝－3，故选A.
答案　A
10．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈[－，]，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．x1>x2 B．x1C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<0
解析　易知函数f(x)为奇函数，
又f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)为增函数，
由f(x1)＋f(x2)>0?f(x1)>－f(x2)
?f(x1)>f(－x2)?x1>－x2?x1＋x2>0.
答案　C
11．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析　设B(x0，x)，由于y′＝3x2，
故切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)，
令y＝0得点A(，0)，
由|OA|＝|AB|，得
()2＝(x0－)2＋(x－0)2，
当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x＝，
故x＝，直线l的斜率为3x＝，
故直线l的倾斜角为60°.
答案　C
12．若a，b在区间[0, ]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是(　　)
A. B.
C. D．1－
解析　易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，
函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0，且其导函数的判别式大于0，即a≠0，且4b2－12a2>0，
又a，b在区间[0，]上取值，则a>0，b>a，
点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，
故所求的概率是.
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，则x0的值为________．
解析　y＝x2－1的导数为y′＝2x，
y＝1－x3的导数为y′＝－3x2，
∴由题可知2x0＝－3x，∴x0＝0，或x0＝－.
答案　0或－
14．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析　f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，∴a<0.
答案　(－∞，0)
15．若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，则不等式f(x)>0的解集是________．
解析　由题可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴∴
∴f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋x2－4(x2－1)．
＝x2(x＋1)－4(x－1)(x＋1)＝(x＋1)(x－2)2，
∴f(x)>0的解为x>－1，且x≠2.
答案　{x|x>－1，且x≠2}
16．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析　由题可知，函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f′(x)＝＝在(－2，＋∞)上小于零，解得a>6.
答案　(6，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．
解　f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3>0，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)min＝－12；
x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
18．(12分)若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
解　由f(x)在R上为增函数知f′(x)≥0，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．
f′(x)＝3ax2－2x＋1.
∵f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0.
即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
即∴a≥.∴a≥.
19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．
解　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0得，x＝－2，或x＝2.
故f(x)的增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，
减区间为(－2,2)．
(1)当x＝－2时，f(x)取得极大值，
故f(－2)＝－＋8＋m＝，∴m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4
又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
20．(12分)(2010·安徽)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0解　由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0知f′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，
得x＝π，或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，)

(，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
π＋2
单调递减
π
单调递增
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，)，极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2.
21．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－3，g(a)＝a3＋5a－7.
(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x∈[－2,0]时，不等式f(x)解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2－2x－3，
定义域为R，
f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)．
令f′(x)>0，得x<－1，或x>2.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.
∵函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，
∴－a∈(－2,0)，即0又∵在(－2，－a)上，f′(x)>0，
在(－a,0)上，f′(x)<0，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－a)
－a
(－a,0)
0
f′(x)
＋
0
－
f(x)
f(－2)
单调递增
极大值
单调递减
f(0)
∴f(x)在[－2,0]上有唯一的极大值点x＝－a.
∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－a)．
∴当x∈[－2,0]时，不等式f(x)∴－a3＋×a2＋2a2－3∴a3＋a2－3<a3＋5a－7.
∴a2－5a＋4<0，解得1综上所述，a的取值范围是(1,2)．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，x2＋lnx<x3是否恒成立，并说明理由．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝x－(x>0)，
∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝
＝.
∴当0当x>时，f′(x)>0.
∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)设g(x)＝x3－x2－lnx(x>1)
则g′(x)＝2x2－x－.
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)＝>0.
即x3－x2－lnx>0，
∴x2＋lnx<x3，
故当x>1时，x2＋lnx<x3恒成立．