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1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±；④3a>a；⑤2010年8月1日是中国人民解放军建军83周年的日子．
其中命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ①，②，③，⑤是命题，④不是．
答案 C
2．若A，B是两个集合，则下列命题中的真命题是( )
A．如果A?B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么(A)∩B＝?
C．如果A?B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A?B
答案 A
3．有下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若x，y∈R，且xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 仅有③是真命题．
答案 A
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
答案 D
5．下列四个命题：
①f(x)＝＋；
②函数是定义域到值域的映射；
③函数y＝2x(x∈N)的图像是一些孤立的点；
④已知a，b，c成等比数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列．
其中错误的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 因为①中f(x)的定义域为?，所以它不是函数，故①错；②正确；③正确；④错误，因为当a，b，c中有负数时，log2a，log2b，log2c不一定有意义．因此选B.
答案 B
6．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件p：________，结论q：________；是________(填“真”或“假”)命题．
答案 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 假
7．给出下列语句：
①菱形是平行四边形；
②一个整数不是奇数就是偶数；
③证明方程x2＋x＋1＝0没有实数根；
④5比3大吗？
⑤若a＋b为有理数，则a，b都是有理数；
⑥全校的学生和老师．
则其中是命题的语句是________，是假命题的语句是________．
答案 ①②⑤ ⑤
8．给出下列命题：①在△ABC中，若·＞0，则∠A是锐角；②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；③不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|a
解析 ①由向量夹角和向量的数量积的定义，·>0，知和的夹角为锐角，则∠A是钝角；②正确；③∵a与3a的大小不确定，∴不等式x2－4ax＋3a2<0的解集不一定是{x|a答案 ②④
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9．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论，可组成的真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 依据题意可得3个命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
可以判断3个命题都是真命题．
答案 D
10．设P：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，Q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
解 若P真，则0又若Q真，由?a>.
若Q假，a≤，
又P和Q有且仅有一个正确，当P真Q假时，0当P假Q真时，a≥1，
故综上所述得a∈∪[1，＋∞)．
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11．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x答案 A
12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
答案 C
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1．命题：“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析 ∵ac2>bc2，则a>b为真命题，∴它的逆否命题为真命题．而逆命题“若a>b，则ac2>bc2”为假命题，∴否命题为假命题．因此，真命题有两个．
答案 B
2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
答案 B
3．“若x，y∈R，且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是( )
A．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R，且x，y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x，y∈R，且xy≠0，则x2＋y2≠0
答案 B
4．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为( )
A．若一个数是负数，则它的平方是正数
B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
C．若一个数的平方是正数，则它是负数
D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数
答案 C
5．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠0)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
答案 A
6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 ∵原命题为真命题，它的逆命题“函数y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题．
∴逆否命题是真命题，否命题是假命题．
答案 C
7．命题“若A∪B＝B，则A?B”的否命题是________，逆否命题是________．
答案 若A∪B≠B，则A?B 若A?B，则A∪B≠B
8．“若不等式x2＋px＋q>0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题为________________；否命题为____________________；逆否命题为______________________．
答案 若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q>0的解集为R
若不等式x2＋px＋q≤0的解集为R，则p2－4q>0
若p2－4q>0，则不等式x2＋px＋q≤0的解集为R
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9．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解 原命题的逆否命题为真命题，
∵m>0，
∴Δ＝9＋8m>0.
∴方程2x2＋3x－m＝0有实根．
故原命题为真命题．
又原命题与其逆否命题等价．
∴命题“m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题．
10．判断命题“已知a、x∈R，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解 原命题的逆否命题为：
已知a，x∈R，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7
∵a<1，∴4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．
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11．(2010·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是奇函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
答案 B
12．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
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1．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是( )
A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0
C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝0
解析 ∵x2＋(y－2)2＝0?x＝0，且y＝2?x(y－2)＝0，故选A.
答案 A
2．aA．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.<－1
解析 a答案 A
3．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x<1 B．x>1
C．x>3 D．x<4
解析 x>2?x>1，而x>1Dx>2，故选B.
答案 B
4．已知平面α和两条不同直线m，n，则m∥n的一个必要条件是( )
A．m∥α，n∥α
B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n?α
D．m，n与α成等角
答案 D
5．a>b的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2 B．|a|>|b|
C.< D．a－b>1
解析 ∵a－b>1?a>b＋1?a>b，而a>bDa>b＋1.
∴a－b>1是a>b的充分不必要条件．故选D.
答案 D
6．设a，b，c∈R，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 排除选项A、B、D知，C正确．
答案 C
7．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是__________________，结论是__________________
_______________________________________________．
答案 x2＋(y－2)2＝0 x(y－2)＝0
8．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些p是q的充分条件？
(1)若x2＋ax＋b＝0有解，则Δ≥0；
(2)若f(x)＝2x2＋3x＋1，则函数f(x)在上是增函数；
(3)若a是有理数，则是无理数．
解 ∵命题(1)与(2)为真命题，而(3)为假命题，
∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件．
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9．指出下列条件中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形；
(2)p：A∩B＝A；q：A?B.
解 (1)∵∠C＝90°?△ABC为直角三角形．
∴p?q.
∵△ABC是直角三角形，也可能∠B＝90°，
∴qD?/p.
∵p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(2)∵A∩B＝A?A?B，
∴pDq.
又A?B?A∩B＝A，∴q?p.
∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
10．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件是否是必要条件？证明你的结论．
证明 若a2－b2＝1，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.
∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件，
证明如下：
若a4－b4－2b2＝1，
则a4－b4－2b2－1＝0，即
a4－(b2＋1)2＝0，
∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
∵a2＋b2＋1≠0，
∴a2－b2＝1.
∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．
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11．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a?α，b⊥β，α∥β
D．a?α，b∥β，α⊥β
答案 C
12．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图像不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
答案 A
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1．已知集合A，B，则“A?B”是“A∩B＝A”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
2．在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 当A＝150°时，sinA＝，
∴A>30°D?/sinA>，
而sinA>?A>30°，
∴A>30°是sinA>的必要不充分条件．
答案 B
3．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
4．数列{an}前n项和Sn＝3n－t，则t＝1是数列{an}为等比数列的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 对比等比数列前n项和公式Sn＝＝qn－知，令t＝＝1时，Sn＝3n－1?{an}为等比数列．若Sn＝3n－t为等比数列{an}的前n项和，则t＝1.
∴t＝1?{an}为等比数列．
答案 C
5．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 ω＝2时，周期T＝＝＝π，当T＝π时，ω可以等于－2.所以“ω＝2是函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的充分不必要条件．
答案 A
6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析 由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈C D?/x∈A.
∴x∈C是x∈A的必要不充分条件．
答案 B
7．若命题“若p，则q”为真，则綈p是綈q的________条件．
解析 依题意p?q，则綈q?綈p.
∴綈p是綈q的必要条件．
答案 必要
8．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
解析 依题意知，AD?/B，而綈A?綈B，
∴ADB，且B?A.
∴A是B的必要不充分条件．
答案 必要不充分
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9．已知条件p：x>1，或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的什么条件？
解 解法1：记A＝{x|綈p}＝{x|－3≤x≤1}，
B＝{x|綈q}＝{x|5x－6≤x2}＝{x|x≥3，或x≤2}，
显然A?B，故綈p是綈q的充分不必要条件．
解法2：命题q：5x－6>x2即x2－5x＋6<0，
∴2而p：x>1，或x<－3，
设A＝{x|21，或x<－3}，
∵A?B，故q是p的充分不必要条件．
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
10．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0 ①，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0 ②，求使方程①②都有实数根的充要条件．
解 方程①有实数根的充要条件是
即m≤1且m≠0.
方程②有实数根的充要条件是
Δ2＝(－4m)2－4(4m2－4m－5)≥0，即m≥－.
∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m≤1，且m≠0，即－≤m<0，或0品 味 高 考
11．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 当a>0时，|a|＝a>0成立，当|a|>0时，a>0，或a<0.∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．
答案 A
12．(2010·山东)设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由递增数列的定义知，a1答案 C
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1．复合命题：平行线不相交的形式是( )
A．p∨q B．p∧q
C．綈p D．都不是
答案 C
2．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
答案 B
3．命题p与非p( )
A．可能都是真命题
B．可能都是假命题
C．一个是真命题，另一个是假命题
D．只有p是真命题
答案 C
4．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
解析 p∨q的否定是綈p且綈q，依题意知，綈p和綈q都是真命题，所以p和q均为假命题．
答案 B
5．若命题p：x∈A∪B，则綈p是( )
A．x?A，且x?B B．x?A，或x?B
C．x?A∩B D．x∈A∩B
答案 A
6．已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”和“綈p”形式的复合命题中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．
答案 B
7．分别用“p且q”“p或q”“非p”填空，并判断真假．
(1)“既是有理数又是实数”是________形式．________.
(2)“三角形的一边大于两边之差，而小于另两边之和”是________形式．________.
(3)“10或25是5的倍数”是________形式．________.
(4)“异面直线不相交”是________形式．________.
答案 (1)“p且q” 假命题
(2)“p且q” 真命题
(3)“p或q” 真命题
(4)“非p” 真命题
8．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析 ∵p是假命题，q也是假命题，∴“p且q”“p或q”均是假命题．
答案 非p
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9．分别写出由下列各命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解 (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等；
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等；
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－3与－1都是x2＋4x＋3＝0的解；
p∨q：－3或－1是x2＋4x＋3＝0的解；
綈p：－1不是x2＋4x＋3＝0的解．
10．写出下列命题的否定和否命题．
(1)－1是偶数或是奇数；
(2)自然数的平方是正数．
解 (1)否定：－1不是偶数且不是奇数．
否命题：若一个数不是－1，则它不是偶数也不是奇数．
(2)否定：自然数的平方不是正数．
否命题：不是自然数的数的平方不是正数．
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11．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析 ∵p为真命题，q为假命题．
∴綈p为假命题，綈q为真命题．
∴(綈p)∨(綈q)为真命题．
答案 D
12．(2010·浙江宁波调研)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，命题p：若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则β⊥α，则下列命题是真命题的是________．
①p或q ②p且q ③綈p或q ④p且綈q
解析 p是假命题，l，m可能异面．q是假命题．因为m不一定与α垂直，故α与β不一定垂直，所以③是真命题．
答案 ③
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1．如果命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，那么( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
答案 B
2．下列命题中既是“p且q”形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
答案 D
3．若命题p：x＝2，且y＝3，则綈p：( )
A．x≠2，或y≠3 B．x≠2，且y≠3
C．x＝2，或y≠3 D．x≠2，或y＝3
答案 A
4．给出命题p：3>1，q：4∈{2,3}，则在下列三个复合命题：“p且q”“p或q”“非p”中，真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 ∵p为真命题，q为假命题，
∴p且q为假，p或q为真，非p为假．
答案 C
5．设语句p：x＝1，綈q：x2＋8x－9＝0，则下列各选项为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．若p，则綈q D．若綈p，则q
解析 綈q：x2＋8x－9＝0?x＝1，或x＝－9.
∴p?綈q.
答案 C
6．已知命题p：0是自然数，命题q：是无理数，则命题綈p，綈q，p∧q，p∨q中，假命题是________．
解析 命题p为真命题，命题q是假命题，由此可判断綈p是假命题，綈q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为真命题．
答案 綈p，p∧q
7．选用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空：
(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件；
(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件；
(3)p：|x－2|<3，q：x2－4x－5<0，则p是q的________条件．
解析 (1)由p∨q为真命题推不出p∧q一定是真命题，但由p∧q为真命题一定可以推出p∨q为真命题．
(2)綈p为假命题，则p是真命题，∴p∨q为真命题；但p∨q是真命题，p的真假不确定，∴綈p不一定是假命题．
(3)解不等式|x－2|<3得－1答案 (1)必要不充分
(2)充分不必要
(3)充要
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8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0解 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
∴x≥3，或x≤－1.即p：x≥3，或x≤－1.
∴綈p：－1∴綈q：x≥4，或x≤0.
由p且q为假，p或q为真知p、q一真一假，
当p真q假时，由得x≥4，或x≤－1.
当p假q真时，由得0∴实数x的取值范围是{x|x≤－1，或09．已知p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，p∧q和綈q都是假命题，求x的值．
解 ∵綈q为假，∴q为真．
又p∧q为假，∴p为假．
由题意得
即 ∴
∴x＝－1,0,1,2.
10．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，∴－2函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，即a<1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则∴1≤a＜2.
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a＜2，或a≤－2}．
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11．(2010·新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：
p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 p1是真命题，p2是假命题．则綈p1是假命题，綈p2是真命题．所以q1：p1∨p2为真命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
答案：C
12．(2010·海淀区模拟)下列判断正确的是( )
A．x2≠y2?x≠y或x≠－y
B．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数”
C．若“p或q”为假命题，则“綈p且綈q”是真命题
D．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，必有a>0，且Δ≤0
解析 假命题p或q的否定为真命题，即綈p且綈q为真命题．
答案 C
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基 础 强 化
1．“a∥α，则a平行于平面α内的任一直线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．真命题
解析 由全称命题的定义知，是全称命题，应选A.
答案 A
2．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图像都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个x0，使不等式x－3x0＋6＜0成立
解析 易知选项B适合，故选B.
答案 B
3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy
解析 显然选项A正确．
答案 A
4．在下列特称命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 易知①②③都是真命题，故选A.
答案 A
5．在下列全称命题中假命题的个数是( )
①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 易知，命题①与②是假命题，故选C.
答案 C
6．下列四个命题：
①?n∈R，n2≥n；②?n∈R，n2其中真命题的序号是________．
答案 ④
7．设A，B为两个集合，下列命题：
①A?B?对任意x∈A，有x?B；②A?B?A∩B＝?；③A?B?A?B；④A?B?存在x∈A，使得x?B.
其中真命题的序号是________．
答案 ④
8．用量词符号“?”“?”表示下列各题：
(1)有的实数不能写成小数的形式；
(2)对任意实数α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)?x∈R，x不能写成小数的形式．
(2)?α∈R，sin2α＋cos2α＝1.
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9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，用量词符号“?”“?”表示下列命题，并判断真假．
(1)在△ABC中，有＝＝；
(2)至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(3)有的四面体是正四面体；
(4)长方体的体对角线交于一点．
解 (1)(4)是全称命题，(2)(3)是特称命题．
(1)?△ABC，＝＝.真命题．
(2)?x∈R，x2＋1＝0.假命题．
(3)?四面体，是正四面体．真命题．
(4)?长方体，其体对角线交于一点．真命题．
10．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)存在不相等的实数a，b，c，使得a，b，c既是等差数列，又是等比数列；
(2)对于一切x>1的实数，函数f(x)＝
log2≥1；
(3)方程x2－8x＋15＝0有一个根为奇数；
(4)对于任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
解 (1)是特称命题，且是假命题．
∵a、b、c既是等差数列，又是等比数列
∴2b＝a＋c，b2＝ac.
∴(a＋c)2＝4b2＝4ac，即(a－c)2＝0.
∴a＝c，这与a≠c相矛盾．
故不存在不相等的实数a，b，c，使得a，b，c既是等差数列又是等比数列．
(2)是全称命题，是真命题．
∵x>1，
∴x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－1＝，
即x＝2时，等号成立．
又f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝log2(x＋＋1)≥log24＝2≥1，
故该命题是真命题．
(3)是特称命题，是真命题．
∵x＝3就是方程x2－8x＋15＝0的一个奇数根，
∴是真命题．
(4)是全称命题，是假命题．
∵当a＝0，b≠0时，方程ax＝b无解．
∴是假命题．
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11．(2010·湖南)下列命题中假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1
D．?x∈R，tanx＝2
答案 B
12．下列四个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，()x<()x；
p2：?x∈(0,1)，logx>logx；
p3：?x∈(0，＋∞)，()x>logx；
p4：?x∈(0，)，()x其中的真命题是( )
A. p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析 结合函数的图像，容易判断p1，p3为假，p2，p4为真．
答案 D
技能演练
基 础 强 化
1．“a⊥α，则a垂直于平面α内的任一直线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．真命题
答案 A
2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析 全称命题的否定是特称命题，因此A，B不正确．全称命题“?x，P(x)”的否定是特称命题“?x，綈p(x)”，因此D正确．
答案 D
3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，sinx≥1
B．綈p：?x∈R，sinx≥1
C．綈p：?x∈R，sinx>1
D．綈p：?x∈R，sinx>1
答案 C
4．下列语句中，判断正确的个数是( )
①全称命题“?n∈Z,2n＋1是奇数”是真命题
②特称命题“?x∈R，x2是无理数”是真命题
③命题“?n∈Z,2n＋1是奇数”的否定是“?n∈Z，2n＋1不是奇数”
④命题“?x∈R，x2是无理数”的否定是“?x∈R，x2是有理数”
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
5．已知命题p：?x∈R，cosx≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，cosx≥1
B．綈p：?x∈R，cosx≥1
C．綈p：?x∈R，cosx>1
D．綈p：?x∈R，cosx>1
答案 C
6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
7．命题“函数都有最大值”的否定是________．
答案 有的函数没有最大值
8．命题“至少有一个正数满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案 ?x∈R＋，方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0不成立
能 力 提 升
9．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?n∈A，n<12；
(2)q：?n∈{奇数}，使n∈A.
解 (1)綈p：?n∈A，使n≥12.
∵当n＝12时，綈p成立．
∴綈p是真命题．
(2)綈q：?n∈{奇数}，n?A.綈q是假命题．
10．若p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0，如果?x∈R，p(x)为假命题，q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
解 由于sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，又?x∈R，p(x)为假命题，即对任意x∈R，sinx＋cosx>m不成立，所以m>.
又对任意x∈R，q(x)为真命题，即对任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，所以Δ＝m2－4<0，
即－2故?x∈R，p(x)为假命题，q(x)为真命题，
应有品 味 高 考
11．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
答案 对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
12．有四个关于三角函数的命题：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny
p3：?x∈[0，π], ＝sinx
p4：sinx＝cosy?x＋y＝
其中的假命题是( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p2，p3
解析 p1：因为sin2＋cos2＝1，
所以对x∈R，不存在x满足sin2＋cos2＝.
p2：对x，y∈R，sin(－0)＝sin－sin0＝1.
p3：当x∈[0，π]，则sinx≥0，
所以 ＝＝＝sinx.
p4：sinx＝cosy?x＋y＝kπ＋.故选A.
答案 A
